मानक अंकगणित में, $ab$ का अर्थ $a \times b$ है। लेकिन जब $ab$ दहाई अंक $a$ और इकाई अंक $b$ (जैसे $54$) के साथ दो अंकों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, तो इसका वास्तव में मतलब है:
$$ab = 10 \times a + b = 10a + b$$
यदि आप $ba$ (जैसे $45$) प्राप्त करने के लिए अंकों को उलट देते हैं, तो इसका मान है: $$ba = 10 \times b + a = 10b + a$$
प्रमेय 1: उत्क्रमणीय संख्याओं का अंतर सदैव 9
से विभाज्य होता है$$(10a + b) - (10b + a) = 10a - a + b - 10b = 9a - 9b = \mathbf{9(a - b)}$$
क्योंकि $9$ एक कारक है, अंतर हमेशा $9$ से विभाज्य होता है। $9$ से विभाजित करने पर $(a - b)$ निकलता है, दोनों अंकों के बीच का अंतर!
प्रमेय 2: उत्क्रमणीय संख्याओं का योग सदैव 11
से विभाज्य होता है$$(10a + b) + (10b + a) = 10a + a + b + 10b = 11a + 11b = \mathbf{11(a + b)}$$
क्योंकि $11$ एक गुणनखंड है, योग हमेशा $11$ से विभाज्य होता है। $11$ से विभाजित करने पर $(a + b)$ निकलता है, दोनों अंकों का योग!
उदाहरण: संख्या $83$ लें। इसे इसके विपरीत में जोड़ें, और योग को $11$ से विभाजित करें। भागफल क्या है?
चरण 1: $83$ का उल्टा $38$ है.
चरण 2: योग $= 83 + 38 = 121$.
चरण 3: $11$ से विभाजित करें: $\frac{121}{11} = \mathbf{11}$. ध्यान दें कि यह अंकों के योग के बराबर है: $8 + 3 = 11$!
यह साबित करने में कि 3-अंकीय संख्या $abc$ ($100a + 10b + c$) को उलटना क्यों काम करता है, छात्र अक्सर $abc - cba$ को $0$.
के रूप में लिखते हैं वास्तविकता: $abc - cba = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a - c)$, जो सदैव $99$ का गुणज होता है!
बैंक अकाउंटिंग सिस्टम ट्रांसपोज़िशन त्रुटियों को पकड़ने के लिए "9 से विभाज्य" नियम का उपयोग करते हैं - जब एक अकाउंटेंट गलती से $45$ के बजाय $54$ में प्रवेश करता है, तो अंतर $9$ से विभाज्य होता है, जिससे धोखाधड़ी का पता लगाने वाला सॉफ़्टवेयर तुरंत सतर्क हो जाता है।