Circles

(क) वृत्त और रेखा की तीन पारस्परिक स्थितियां:

एक समतल में एक वृत्त और एक रेखा के बीच तीन संभावनाएं होती हैं:

1. अप्रतिच्छेदी रेखा: रेखा वृत्त को कहीं नहीं छूती (उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या $= 0$)।
2. छेदक रेखा (Secant): रेखा वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती हुई आर-पार निकल जाती है (उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या $= 2$)।
3. स्पर्श रेखा (Tangent): रेखा वृत्त को केवल और केवल एक ही बिंदु पर स्पर्श करती है (उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या $= 1$)।

(ख) बिंदुओं की स्थिति के आधार पर स्पर्श रेखाओं की संख्या (JAC 1 अंक MCQs):

उपपत्ति (Proof):

दिया है: एक वृत्त जिसका केंद्र $O$ है, और एक स्पर्श रेखा $XY$ जो वृत्त को बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है। $OP$ स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या है।

सिद्ध करना है: $\mathbf{OP \perp XY}$

रचना: $XY$ पर $P$ के अतिरिक्त कोई अन्य बिंदु $Q$ लीजिए और $O$ को $Q$ से मिलाइए।

उपपत्ति: बिंदु $Q$ को वृत्त के बाहर होना चाहिए (क्योंकि यदि $Q$ वृत्त के अंदर हुआ, तो $XY$ वृत्त की छेदक रेखा बन जाएगी, स्पर्श रेखा नहीं रहेगी)।
अतः $OQ$ की लंबाई वृत्त की त्रिज्या $OP$ से सदैव बड़ी होगी:
$$OQ > OP$$ यह संबंध $P$ के अतिरिक्त रेखा $XY$ के प्रत्येक बिंदु $Q$ के लिए सत्य है।
अर्थात्, $OP$ केंद्र $O$ से रेखा $XY$ के बिंदुओं की न्यूनतम (सबसे छोटी) दूरी है।
हम जानते हैं कि किसी बिंदु से किसी रेखा की सबसे छोटी दूरी ही उस रेखा पर लंबवत दूरी होती है।
अतः:
$$\mathbf{OP \perp XY}$$

इति सिद्धम्।

बोर्ड परीक्षा हेतु संपूर्ण चरणबद्ध उपपत्ति:

1. दिया है (Given):
केंद्र $O$ वाला एक वृत्त और वृत्त के बाहर एक बिंदु $P$ स्थित है। $P$ से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएं $PQ$ और $PR$ खींची गई हैं, जहाँ $Q$ और $R$ स्पर्श बिंदु हैं।

2. सिद्ध करना है (To Prove):
$$\mathbf{PQ = PR}$$

3. रचना (Construction):
$OP, OQ$ तथा $OR$ को मिलाया।

4. उपपत्ति (Proof):
प्रमेय 10.1 के अनुसार, स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है:
$$\angle OQP = 90^\circ \qquad \text{तथा} \qquad \angle ORP = 90^\circ$$ अब दो समकोण त्रिभुजों $\triangle OQP$ और $\triangle ORP$ में विचार कीजिए:

• $\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ$ (प्रत्येक समकोण)
• $OP = OP$ (उभयनिष्ठ कर्ण - Common Hypotenuse)
• $OQ = OR$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ - Radii of same circle)

इति सिद्धम् (Hence Proved)।

संपूरक कोण संबंध (Supplementary Angles):

उपपत्ति:
चतुर्भुज $OQPR$ में चारों अंतःकोणों का योग $360^\circ$ होता है:
$$\angle OQP + \angle QPR + \angle PRO + \angle QOR = 360^\circ$$ चूंकि $\angle OQP = 90^\circ$ तथा $\angle PRO = 90^\circ$ (प्रमेय 10.1 से):
$$90^\circ + \angle QPR + 90^\circ + \angle QOR = 360^\circ$$ $$180^\circ + \angle QPR + \angle QOR = 360^\circ$$ $$\mathbf{\angle QPR + \angle QOR = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ}$$ उदाहरण: यदि दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $80^\circ$ हो, तो केंद्र पर बना कोण सीधे $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$ होगा!

(क) वृत्त के परिगत चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का योग (JAC 4 अंक):

उपपत्ति:
माना वृत्त चतुर्भुज की भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ को क्रमशः $P, Q, R, S$ पर स्पर्श करता है।
बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाओं की लंबाइयां बराबर होती हैं (प्रमेय 10.2):
$$AP = AS \quad \text{--- (1)}$$ $$BP = BQ \quad \text{--- (2)}$$ $$CR = CQ \quad \text{--- (3)}$$ $$DR = DS \quad \text{--- (4)}$$ समीकरण (1), (2), (3), (4) को जोड़ने पर:
$$(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)$$ $$\mathbf{AB + CD = AD + BC}$$

इति सिद्धम्।

(ख) परिगत समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है (JAC 4 अंक):

यदि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज हो, तो सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं: $AB = CD$ तथा $BC = AD$।
उपरोक्त सूत्र में रखने पर:
$$AB + AB = AD + AD \implies 2AB = 2AD \implies AB = AD$$ चूंकि आसन्न भुजाएं बराबर हो गईं, अतः चारों भुजाएं बराबर हैं: $AB = BC = CD = DA$।
अतः $ABCD$ एक समचतुर्भुज (Rhombus) है!