Coordinate Geometry

हल: चिह्न नियमों के आधार पर बिंदुओं की स्थिति: (i) $(-2, 4)$: यहाँ भुज ऋणात्मक ($-2 < 0$) और कोटि धनात्मक ($4 > 0$) है, अर्थात् $(-, +)$। अतः यह बिंदु द्वितीय चतुर्थांश ($Q_{II}$) में स्थित है।

(ii) $(3, -1)$: यहाँ भुज धनात्मक ($3 > 0$) और कोटि ऋणात्मक ($-1 < 0$) है, अर्थात् $(+, -)$। अतः यह बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश ($Q_{IV}$) में स्थित है।

(iii) $(-1, 0)$: यहाँ कोटि $y = 0$ है और भुज $x = -1$ है। चूँकि कोटि शून्य है, अतः यह बिंदु किसी चतुर्थांश में नहीं, बल्कि ऋणात्मक $x$-अक्ष ($OX'$) पर स्थित है।

(iv) $(1, 2)$: यहाँ दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं, अर्थात् $(+, +)$। अतः यह बिंदु प्रथम चतुर्थांश ($Q_I$) में स्थित है।

(v) $(-3, -5)$: यहाँ दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं, अर्थात् $(-, -)$। अतः यह बिंदु तृतीय चतुर्थांश ($Q_{III}$) में स्थित है।

(vi) $(0, -7)$: यहाँ भुज $x = 0$ है और कोटि $y = -7$ है। चूँकि भुज शून्य है, अतः यह बिंदु ऋणात्मक $y$-अक्ष ($OY'$) पर स्थित है।

हल: दिए गए बिंदु के निर्देशांक: $P(x, y) = P(-4, 6)$। यहाँ: (i) भुज (Abscissa): बिंदु का $x$-निर्देशांक होता है। अतः $\text{भुज} = -4$। (ii) कोटि (Ordinate): बिंदु का $y$-निर्देशांक होता है। अतः $\text{कोटि} = 6$। (iii) $x$-अक्ष से लंबवत दूरी: सूत्र $d_x = |y|$ से:

$$d_x = |6| = 6 \text{ इकाई}$$

(iv) $y$-अक्ष से लंबवत दूरी: सूत्र $d_y = |x|$ से:

$$d_y = |-4| = 4 \text{ इकाई}$$

(दूरी सदैव धनात्मक वास्तविक संख्या होती है, इसलिए ऋणात्मक चिह्न नहीं लिखा जाता)।

हल: हम जानते हैं कि दो क्रमित युग्म $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ परस्पर समान होते हैं यदि और केवल यदि उनके संगत घटक समान हों:

$$x_1 = x_2 \quad \text{तथा} \quad y_1 = y_2$$

दिए गए समीकरण में तुलना करने पर: 1. भुजों की तुलना:

$$2a - 3 = 7$$

$$2a = 7 + 3 = 10$$

$$a = \frac{10}{2} = 5$$

2. कोटियों की तुलना:

$$b + 5 = -2$$

$$b = -2 - 5 = -7$$

उत्तर: $a = 5, \; b = -7$

हल: चरण 1: बिंदुओं का आलेखन एवं भुजाओं की लंबाइयों की गणना:

• बिंदु $A(1, 1)$ और $B(5, 1)$ दोनों का $y$-निर्देशांक $1$ समान है। अतः भुजा $AB$ क्षैतिज ($x$-अक्ष के समांतर) है।

$$\text{लंबाई } AB = |5 - 1| = 4 \text{ इकाई}$$

• बिंदु $B(5, 1)$ और $C(5, 4)$ दोनों का $x$-निर्देशांक $5$ समान है। अतः भुजा $BC$ ऊर्ध्वाधर ($y$-अक्ष के समांतर) है।

$$\text{लंबाई } BC = |4 - 1| = 3 \text{ इकाई}$$

• बिंदु $C(5, 4)$ और $D(1, 4)$ दोनों का $y$-निर्देशांक $4$ समान है। अतः भुजा $CD$ क्षैतिज है।

$$\text{लंबाई } CD = |5 - 1| = 4 \text{ इकाई}$$

• बिंदु $D(1, 4)$ और $A(1, 1)$ दोनों का $x$-निर्देशांक $1$ समान है। अतः भुजा $DA$ ऊर्ध्वाधर है।

$$\text{लंबाई } DA = |4 - 1| = 3 \text{ इकाई}$$

चरण 2: आकृति की पहचान: यहाँ सम्मुख भुजाएँ परस्पर समान और समांतर हैं ($AB = CD = 4 \text{ इकाई}$ तथा $BC = DA = 3 \text{ इकाई}$), और क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर भुजाओं के बीच का प्रत्येक कोण $90^\circ$ है। अतः आकृति $ABCD$ एक आयत (Rectangle) है।

चरण 3: क्षेत्रफल की गणना:

$$\text{आयत का क्षेत्रफल} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$$

$$= AB \times BC = 4 \times 3 = 12 \text{ वर्ग इकाई}$$

उत्तर: प्राप्त आकृति एक आयत है जिसका क्षेत्रफल $12 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

हल: चरण 1: दिए गए शीर्षों का विश्लेषण:

• शीर्ष $A(2, 2)$ प्रथम चतुर्थांश में है।
• शीर्ष $B(-2, 2)$ द्वितीय चतुर्थांश में है। भुजा $AB$ की लंबाई $= |2 - (-2)| = |2 + 2| = 4 \text{ इकाई}$। (यह $x$-अक्ष के समांतर है)।
• शीर्ष $C(-2, -2)$ तृतीय चतुर्थांश में है। भुजा $BC$ की लंबाई $= |2 - (-2)| = |2 + 2| = 4 \text{ इकाई}$। (यह $y$-अक्ष के समांतर है)।

चरण 2: शीर्ष $D$ के निर्देशांक: चूँकि $ABCD$ एक वर्ग है:

• भुजा $CD$ क्षैतिज होगी, अतः $D$ की कोटि ($y$-निर्देशांक) $C$ की कोटि के बराबर होगी $\implies y = -2$।
• भुजा $AD$ ऊर्ध्वाधर होगी, अतः $D$ का भुज ($x$-निर्देशांक) $A$ के भुज के बराबर होगा $\implies x = 2$। अतः चौथे शीर्ष $D$ के अभीष्ट निर्देशांक:

$$D = (2, -2)$$

(यह बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश $Q_{IV}$ में स्थित है)।

चरण 3: परिमाप की गणना: वर्ग की प्रत्येक भुजा $s = 4 \text{ इकाई}$ है।

$$\text{वर्ग का परिमाप} = 4 \times \text{भुजा} = 4 \times 4 = 16 \text{ इकाई}$$

उत्तर: शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(2, -2)$ हैं तथा वर्ग का परिमाप $16 \text{ इकाई}$ है।