हीरोन का सूत्र (Heron's Formula) (Heron's Formula)

हल: दिया गया है: समबाहु त्रिभुज का परिमाप $= 60 \text{ cm}$। समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाएँ समान ($a$) होती हैं:

$$3a = 60 \implies a = \frac{60}{3} = 20 \text{ cm}$$

समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल सूत्र से:

$$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (20)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 400 = 100\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

$$\text{Area} = 100 \times 1.732 = 173.2 \text{ cm}^2$$

उत्तर: $100\sqrt{3} \text{ cm}^2$ (या $173.2 \text{ cm}^2$)

हल: मान लीजिए भुजाएँ $a = 12x, b = 17x$ तथा $c = 25x$ हैं। परिमाप $= a + b + c = 540 \text{ cm}$

$$12x + 17x + 25x = 540$$

$$54x = 540 \implies x = 10$$

अतः वास्तविक भुजाएँ:

$$a = 12 \times 10 = 120 \text{ cm}$$

$$b = 17 \times 10 = 170 \text{ cm}$$

$$c = 25 \times 10 = 250 \text{ cm}$$

अर्ध-परिमाप ($s$):

$$s = \frac{540}{2} = 270 \text{ cm}$$

अंतर पद:

• $s - a = 270 - 120 = 150 \text{ cm}$
• $s - b = 270 - 170 = 100 \text{ cm}$
• $s - c = 270 - 250 = 20 \text{ cm}$

हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल:

$$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{270 \times 150 \times 100 \times 20}$$

अभाज्य गुणनखंडन द्वारा सरलीकरण:

$$= \sqrt{(3 \times 9 \times 10) \times (3 \times 5 \times 10) \times (10 \times 10) \times (2 \times 10)}$$

$$= \sqrt{(3 \times 3) \times 9 \times (10 \times 10) \times (10 \times 10) \times (5 \times 2 \times 10)}$$

$$= \sqrt{9 \times 9 \times 100 \times 100 \times 100} = 9 \times 10 \times 100 = 9000 \text{ cm}^2$$

उत्तर: $9000 \text{ cm}^2$

हल: दिया गया है:

• आधार $b = 12 \text{ cm}$
• परिमाप $= 32 \text{ cm}$
• मान लीजिए दोनों समान भुजाएँ $a$ हैं।

$$a + a + b = 32 \implies 2a + 12 = 32 \implies 2a = 20 \implies a = 10 \text{ cm}$$

अतः त्रिभुज की तीनों भुजाएँ: $a = 10 \text{ cm}, b = 10 \text{ cm}, c = 12 \text{ cm}$।

अर्ध-परिमाप ($s$):

$$s = \frac{32}{2} = 16 \text{ cm}$$

अंतर पद:

• $s - a = 16 - 10 = 6 \text{ cm}$
• $s - b = 16 - 10 = 6 \text{ cm}$
• $s - c = 16 - 12 = 4 \text{ cm}$

हीरोन के सूत्र से:

$$\text{Area} = \sqrt{16 \times 6 \times 6 \times 4}$$

$$= \sqrt{16} \times \sqrt{6 \times 6} \times \sqrt{4} = 4 \times 6 \times 2 = 48 \text{ cm}^2$$

उत्तर: $48 \text{ cm}^2$

हल: दी गई भुजाएँ: $a = 40 \text{ m}, b = 24 \text{ m}, c = 32 \text{ m}$।

(i) क्षेत्रफल की गणना: अर्ध-परिमाप $s$:

$$s = \frac{40 + 24 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48 \text{ m}$$

अंतर पद:

• $s - a = 48 - 40 = 8 \text{ m}$
• $s - b = 48 - 24 = 24 \text{ m}$
• $s - c = 48 - 32 = 16 \text{ m}$

हीरोन के सूत्र से:

$$\text{Area} = \sqrt{48 \times 8 \times 24 \times 16}$$

$$= \sqrt{(24 \times 2) \times 8 \times 24 \times 16} = \sqrt{24^2 \times 16 \times 16} = 24 \times 16 = 384 \text{ m}^2$$

(ii) सबसे लंबी भुजा के संगत शीर्षलंब: सबसे लंबी भुजा $a = 40 \text{ m}$ है। हम जानते हैं कि:

$$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब}$$

$$384 = \frac{1}{2} \times 40 \times h$$

$$384 = 20 \times h$$

$$h = \frac{384}{20} = 19.2 \text{ m}$$

उत्तर: पार्क का क्षेत्रफल $384 \text{ m}^2$ है तथा सबसे लंबी भुजा के संगत शीर्षलंब $19.2 \text{ m}$ है।

हल: मान लीजिए समलंब $ABCD$ में समानांतर भुजाएँ $AB = 25 \text{ m}$ तथा $CD = 10 \text{ m}$ हैं, तथा असमानांतर भुजाएँ $AD = 14 \text{ m}$ तथा $BC = 13 \text{ m}$ हैं।

रचना: बिंदु $C$ से भुजा $AD$ के समानांतर एक रेखा $CE$ खींचिए जो भुजा $AB$ को बिंदु $E$ पर काटती है ($CE \parallel DA$)।

विश्लेषण:

• चतुर्भुज $AECD$ में $CD \parallel AE$ तथा $AD \parallel CE$ है, अतः $AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है।

$$\implies AE = CD = 10 \text{ m}$$

$$\implies CE = AD = 14 \text{ m}$$

• अब भुजा $EB$ की लंबाई:

$$EB = AB - AE = 25 - 10 = 15 \text{ m}$$

त्रिभुज $\triangle CEB$ का क्षेत्रफल (हीरोन के सूत्र से): त्रिभुज $\triangle CEB$ की भुजाएँ: $14 \text{ m}, 13 \text{ m}$ तथा $15 \text{ m}$ हैं।

$$s = \frac{14 + 13 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ m}$$

$$\text{Area}(\triangle CEB) = \sqrt{21(21 - 14)(21 - 13)(21 - 15)}$$

$$= \sqrt{21 \times 7 \times 8 \times 6} = \sqrt{(7 \times 3) \times 7 \times (2 \times 4) \times (2 \times 3)}$$

$$= \sqrt{7^2 \times 3^2 \times 2^2 \times 4} = 7 \times 3 \times 2 \times 2 = 84 \text{ m}^2$$

समलंब की ऊँचाई ($h$) ज्ञात करना:

$$\text{Area}(\triangle CEB) = \frac{1}{2} \times EB \times h$$

$$84 = \frac{1}{2} \times 15 \times h \implies h = \frac{84 \times 2}{15} = \frac{168}{15} = 11.2 \text{ m}$$

समलंब खेत का कुल क्षेत्रफल:

$$\text{Area}(ABCD) = \frac{1}{2} (AB + CD) \times h$$

$$= \frac{1}{2} (25 + 10) \times 11.2 = \frac{1}{2} \times 35 \times 11.2 = 35 \times 5.6 = 196 \text{ m}^2$$

उत्तर: खेत का कुल क्षेत्रफल $196 \text{ m}^2$ है।