Linear Equations in Two Variables

वह समीकरण जिसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सके:

विशेष ध्यान देने योग्य बिंदु:

• इसे 'रैखिक' (Linear) इसलिए कहा जाता है क्योंकि इसमें दोनों चरों ($x$ और $y$) की अधिकतम घात सदैव एक ($1$) होती है, और इसका ज्यामितीय आलेख सदैव एक सरल रेखा (Straight Line) होता है।
• यदि किसी समीकरण में केवल एक चर हो, जैसे $2x = 3$, तो इसे भी दो चरों के मानक रूप में लिखा जा सकता है: $$2x + 0\cdot y - 3 = 0 \quad (\text{यहाँ } a = 2, b = 0, c = -3)$$
• इसी प्रकार $y = 5$ को लिखा जा सकता है: $$0\cdot x + 1\cdot y - 5 = 0 \quad (\text{यहाँ } a = 0, b = 1, c = -5)$$

उदाहरण: एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दोगुनी है। इस कथन को निरूपित करने वाला दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण लिखिए।

हल:
मान लीजिए 1 नोटबुक की कीमत $= ₹x$
तथा 1 कलम की कीमत $= ₹y$
प्रश्नानुसार, नोटबुक की कीमत कलम की कीमत की दोगुनी है: $$x = 2y$$ पक्षांतरण करके मानक रूप $ax + by + c = 0$ में लिखने पर: $$x - 2y + 0 = 0$$ यहाँ $a = 1, b = -2, c = 0$ है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ का हल मानों का एक ऐसा क्रमित युग्म $(x_1, y_1)$ होता है, जिसे समीकरण में $x$ और $y$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर बायाँ पक्ष (LHS) दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर हो जाए (अर्थात् समीकरण संतुष्ट हो जाए)।

एक चर वाले रैखिक समीकरण (जैसे $2x + 4 = 0$) का केवल एक अद्वितीय (Unique) हल $x = -2$ होता है।
परंतु दो चरों वाले समीकरण $ax + by + c = 0$ में दो अज्ञात राशियाँ होती हैं। यदि हम चर $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त करें: $$by = -ax - c \implies y = \frac{-ax - c}{b} \quad (b \ne 0)$$ चूँकि हम $x$ का कोई भी वास्तविक मान (धनात्मक, ऋणात्मक, शून्य, भिन्न) चुनने के लिए स्वतंत्र हैं, अतः $x$ के प्रत्येक अद्वितीय मान के संगत $y$ का एक अद्वितीय मान प्राप्त होता है।

हल ज्ञात करने की विधि: समीकरण $x + 2y = 6$ के चार हल ज्ञात कीजिए:
हम $x = 6 - 2y$ लिख सकते हैं:

1. यदि $y = 0$ रखें: $x = 6 - 2(0) = 6 \implies$ हल $(6, 0)$
2. यदि $y = 1$ रखें: $x = 6 - 2(1) = 4 \implies$ हल $(4, 1)$
3. यदि $y = 2$ रखें: $x = 6 - 2(2) = 2 \implies$ हल $(2, 2)$
4. यदि $y = 3$ रखें: $x = 6 - 2(3) = 0 \implies$ हल $(0, 3)$

कार्तीय तल में दो चरों वाले रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल $(x, y)$ एक बिंदु को निरूपित करता है। जब इन सभी बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर आलेखित करके मिलाया जाता है, तो सदैव एक सरल रेखा (Straight Line) प्राप्त होती है।

ज्यामिति और बीजगणित का अटूट संबंध:

• समीकरण का प्रत्येक हल $(x, y)$ उस सरल रेखा पर स्थित एक बिंदु होता है।
• उस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ दिए गए समीकरण का एक निश्चित हल होते हैं।
• जो बिंदु इस रेखा पर स्थित नहीं होता, वह कभी भी इस समीकरण का हल नहीं हो सकता!

1. दिए गए समीकरण से किसी एक चर (सामान्यतः $y$) को दूसरे चर ($x$) के पदों में व्यक्त कीजिए।
2. $x$ के कम से कम $3$ सुविधाजनक मान चुनकर संगत $y$ के मानों की एक तालिका (Table of Values) बनाइए। (यद्यपि एक रेखा खींचने के लिए केवल 2 बिंदु पर्याप्त हैं, परंतु गणना की त्रुटि से बचने हेतु 3 बिंदु लेना गणितीय रूप से अनिवार्य माना जाता है; यदि तीनों बिंदु संरेखीय / Collinear न आएँ तो तुरंत गलती पकड़ में आ जाती है!)
3. ग्राफ पेपर पर $x$-अक्ष और $y$-अक्ष खींचकर उपयुक्त पैमाना (Scale) मानिए।
4. तालिका के बिंदुओं को आलेखित कीजिए और पटरी (Ruler) की सहायता से उन्हें मिलाते हुए दोनों ओर तीर के निशान वाली एक सीधी रेखा खींचिए।
5. रेखा के ऊपर दिए गए समीकरण का नाम लिखिए।

• $x$-अक्ष का समीकरण: $x$-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिंदु की कोटि ($y$-मान) शून्य होती है। अतः $x$-अक्ष का समीकरण सदैव $y = 0$ होता है।
• $y$-अक्ष का समीकरण: $y$-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिंदु का भुज ($x$-मान) शून्य होता है। अतः $y$-अक्ष का समीकरण सदैव $x = 0$ होता है।