1. सर्वांगसमता का यथार्थ अर्थ (What is Congruence?)
शब्द 'सर्वांगसम' (सर्व + अंग + सम) का अर्थ है जिसके सभी अंग परस्पर समान हों। दो ज्यामितीय आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं यदि वे एक ही आकार (Shape) और एक ही आमाप (Size) की हों।
- समान त्रिज्या वाले दो वृत्त सदैव सर्वांगसम होते हैं।
- समान भुजा वाले दो वर्ग सदैव सर्वांगसम होते हैं।
- दो रेखाखंड सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी लंबाइयाँ समान हों ($AB = CD \iff \overline{AB} \cong \overline{CD}$)।
2. त्रिभुजों की सर्वांगसमता एवं शीर्षों की संगति (Correspondence of Vertices)
मान लीजिए $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ सर्वांगसम हैं। इसका अर्थ है कि यदि $\triangle ABC$ को $\triangle PQR$ पर रखा जाए, तो:
- शीर्ष $A$ शीर्ष $P$ पर गिरेगा ($A \leftrightarrow P$)
- शीर्ष $B$ शीर्ष $Q$ पर गिरेगा ($B \leftrightarrow Q$)
- शीर्ष $C$ शीर्ष $R$ पर गिरेगा ($C \leftrightarrow R$)
अतः 6 संगत संबंध प्राप्त होते हैं:
$$AB = PQ, \quad BC = QR, \quad CA = RP$$ $$\angle A = \angle P, \quad \angle B = \angle Q, \quad \angle C = \angle R$$सावधानी! संगति का क्रम अनिवार्य है: यदि $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ है, तो इसे $\triangle ABC \cong \triangle QPR$ लिखना पूर्णतः गलत होगा, क्योंकि इसका अर्थ बदल जाएगा कि $AB = QP$ जो सत्य नहीं है!
CPCT का स्वर्णिम नियम: CPCT का पूर्ण रूप "Corresponding Parts of Congruent Triangles" (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) है। एक बार जब किन्हीं दो त्रिभुजों को किसी कसौटी से सर्वांगसम सिद्ध कर दिया जाता है, तो उनके शेष सभी संगत अंग (भुजाएँ या कोण) CPCT द्वारा परस्पर समान घोषित कर दिए जाते हैं!