वृत्त (Circles)

(क) वृत्त और रेखा की तीन हस्तियाँ:

एक सममिति में एक वृत्त और एक रेखा के बीच तीन रेखाएँ होती हैं:

1. अप्रतिच्छेदी रेखा: रेखा वृत्त को कहीं नहीं छूती (उभयनिष्ठ बिंदु की संख्या $= 0$).
2. छेदक रेखा (सेकेंट): वृत्त को दो अलग-अलग बिंदु पर कटी हुई आर-पार निकल जाती है (उभयनिष्ठ बिंदु की संख्या $= 2$).
3. स्पर्श रेखा (स्पर्शरेखा): रेखा वृत्त को केवल और केवल एक ही बिंदु पर स्पर्श करती है (उभयनिष्ठ बिंदु की संख्या $= 1$).

(ख) अंकों की स्थिति के आधार पर स्पर्श की संख्या (JAC 1 अंक MCQs):

उपपत्ति (प्रमाण):

दिया है: एक वृत्त जिसका केंद्र $O$ है, और एक स्पर्श रेखा $XY$ जो वृत्त को बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है। $OP$ स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिमात्रा है।

सिद्ध करना है: $\mathbf{OP \perp XY}$

रचना: $XY$ पर $P$ के अतिरिक्त कोई अन्य बिंदु $Q$ और $O$ को $Q$ से मिलाइए।

उपपट्टा: बिंदु $Q$ को वृत्त के बाहर होना चाहिए (क्योंकि यदि $Q$ वृत्त के भीतर हुआ, तो $XY$ वृत्त की छेदक रेखा बन जाएगी, स्पर्श रेखा नहीं रहेगी)।
मूलतः $OQ$ की लंबाई वृत्त की त्रिशूल $OP$ से सदैव बड़ी होगी:
$$OQ > OP$$ यह संबंध $P$ के अतिरिक्त रेखा $XY$ के प्रत्येक बिंदु $Q$ के लिए सत्य है।
अर्थात, $OP$ केन्द्र $O$ से रेखा $XY$ के बिन्दुओं की न्यूनतम (सबसे छोटी) दूरी है।
हम जानते हैं कि किसी बिंदु से किसी रेखा की सबसे छोटी दूरी ही उस रेखा पर लंबवत दूरी होती है।
मूलतः:
$$\mathbf{OP \perp XY}$$

इति सिद्धम्।

बोर्ड परीक्षा विवरण संपूर्ण चरणबद्ध उपपट्ट:

1. दिया है (दिया गया है):
केंद्र $O$ वाला एक वृत्त और वृत्त के बाहर एक बिंदु $P$ स्थित है। $P$ से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएं $PQ$ और $PR$ खींची गई हैं, जहां $Q$ और $R$ स्पर्श बिंदु हैं।

2. सिद्ध करना है (To Prove):
$$\mathbf{PQ = PR}$$

3. रचना (निर्माण):
$OP, OQ$ तथा $OR$ का सिद्धांत।

4. उपपत्ति (प्रमाण):
प्रमेय 10.1 के अनुसार, स्पर्श बिंदु पर त्रिशूल स्पर्श रेखा पर लंब होता है:
$$\angle OQP = 90^\circ \qquad \text{तथा} \qquad \angle ORP = 90^\circ$$ अब दो समकोण मॉडल $\triangle OQP$ और $\triangle ORP$ में विचार किग:

• $\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ$ (प्रत्येक समकोण)
• $OP = OP$ (उभयनिष्ठ कर्ण - सामान्य कर्ण)
• $OQ = OR$ (एक ही वृत्त की त्रित्रियाँ - एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

इति सिद्धम् (इसलिए सिद्ध हुआ).

संपूरक कोण संबंध (पूरक कोण):

उपपट्टा:
चतुर्भुज $OQPR$ में चारों ओर अंतःकोणों का योग $360^\circ$ होता है:
$$\angle OQP + \angle QPR + \angle PRO + \angle QOR = 360^\circ$$ $\angle OQP = 90^\circ$ तथा $\angle PRO = 90^\circ$ (प्रथम 10.1 से):
$$90^\circ + \angle QPR + 90^\circ + \angle QOR = 360^\circ$$ $$180^\circ + \angle QPR + \angle QOR = 360^\circ$$ $$\mathbf{\angle QPR + \angle QOR = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ}$$ उदाहरण: यदि दो स्पर्श चट्टानों के बीच का कोण $80^\circ$ हो, तो केन्द्र पर सीधा कोण $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$ बनेगा!

(क) वृत्त के परिगत चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का योग (JAC 4 अंक):

उपपट्टा:
माना वृत्त चतुर्भुज की भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ को क्रमशः $P, Q, R, S$ पर स्पर्श करता है।
तरंग बिंदु से स्पर्श ढांचे की विशेषताएँ समान हैं (प्राइमे 10.2):
$$AP = AS \quad \text{--- (1)}$$ $$BP = BQ \quad \text{--- (2)}$$ $$CR = CQ \quad \text{--- (3)}$$ $$DR = DS \quad \text{--- (4)}$$ गुणांक (1), (2), (3), (4) को जोड़ने पर:
$$(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)$$ $$\mathbf{AB + CD = AD + BC}$$

इति सिद्धम्।

(ख) परिगत समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है (JAC 4 अंक):

यदि $ABCD$ एक समांश चतुर्भुज हो, तो सम्मुख भुजाओं के समान हैं: $AB = CD$ तथा $BC = AD$।
मूल सूत्र में रखें:
$$AB + AB = AD + AD \implies 2AB = 2AD \implies AB = AD$$ बाकी चारों तरफ भुजाए बराबर हो गए, चारों तरफ भुजाए बराबर हैं: $AB = BC = CD = DA$.
मूलतः $ABCD$ एक समचतुर्भुज (रोम्बस) है!