1. बहुपद की यथार्थ परिभाषा (What is a Polynomial?)
एक चर $x$ में बीजीय व्यंजक $p(x)$ को बहुपद कहा जाता है यदि चर $x$ के सभी घातांक ऋणेतर पूर्णांक (Non-negative Integers / Whole Numbers) हों। अर्थात् घातांक केवल $0, 1, 2, 3, 4, \dots$ हो सकते हैं।
मानक रूप (Standard Form):
$$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$ जहाँ $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ वास्तविक संख्याएँ (गुणांक) हैं और $a_n \ne 0$ है।सावधान! कौन से व्यंजक बहुपद नहीं हैं?
- $x + \frac{1}{x} = x^1 + x^{-1}$ $\implies$ बहुपद नहीं है (घातांक $-1$ एक पूर्ण संख्या नहीं है)।
- $\sqrt{x} + 3 = x^{1/2} + 3$ $\implies$ बहुपद नहीं है (घातांक $\frac{1}{2}$ भिन्न है, पूर्ण संख्या नहीं)।
- $\frac{1}{x^2 + 2x + 5}$ $\implies$ बहुपद नहीं है (चर हर में है)।
- $y^2 + \sqrt{2}$ $\implies$ बहुपद है! (क्योंकि चर $y$ की घात $2$ पूर्ण संख्या है; गुणांक $\sqrt{2}$ वास्तविक संख्या हो सकता है)।
2. बहुपद की घात (Degree of a Polynomial)
किसी बहुपद में चर (Variable) की उच्चतम घात (Highest Power) को उस बहुपद की घात (Degree) कहा जाता है।
- $p(x) = 4x^5 - 3x^2 + 7x - 9$ में चर की उच्चतम घात $5$ है, अतः घात = $5$।
- अचर बहुपद (Constant Polynomial): किसी भी शून्येतर संख्या जैसे $7$ को $7x^0$ लिखा जा सकता है, अतः अचर बहुपद की घात सदैव शून्य ($0$) होती है।
- शून्य बहुपद (Zero Polynomial): संख्या $0$ को शून्य बहुपद कहते हैं। इसे $0x^1, 0x^2, 0x^5$ कुछ भी लिखा जा सकता है, अतः शून्य बहुपद की घात अपरिभाषित (Not Defined) होती है। (JAC बोर्ड का सर्वाधिक पूछा जाने वाला वस्तुनिष्ठ प्रश्न!)
3. घात के आधार पर बहुपदों का वर्गीकरण
| प्रकार | घात (Degree) | मानक रूप | अधिकतम शून्यक | उदाहरण |
|---|---|---|---|---|
| रैखिक बहुपद (Linear) | $1$ | $ax + b \quad (a \ne 0)$ | $1$ | $2x - 5, \quad 3y + \sqrt{2}$ |
| द्विघात बहुपद (Quadratic) | $2$ | $ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0)$ | $2$ | $x^2 - 4x + 3, \quad 5t^2 - 7$ |
| त्रिघात बहुपद (Cubic) | $3$ | $ax^3 + bx^2 + cx + d \quad (a \ne 0)$ | $3$ | $2x^3 - x^2 + 5x - 8$ |
| चतुर्घात बहुपद (Bi-quadratic) | $4$ | $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ | $4$ | $x^4 - 16$ |