आँकड़े एवं उनका निरूपण (Data and Their Representation)

आँकड़ा (डेटा) क्या है?

संख्यात्मक या गुणात्मक रूप में जुड़े हुए साक्ष्य या अंक को आँकड़ा (डेटा) कहा जाता है।

• यथा प्राप्त आँकड़े (कच्चा डेटा): वह आँकड़ा जो मूल रूप में संयोजित किया गया था और सुरक्षा प्रदान नहीं की गई थी।
• परिसर (रेंज): आँकड़ों के अधिकतम मन और न्यूनतम मन का अंतर:

$$\mathbf{\text{Range} = \text{Maximum Value} - \text{Minimum Value}}$$

बारंबारता बंटन सारणी के प्रकार:

1. अवर्गीकृत बारंबारता विभाजन (असमूहीकृत आवृत्ति वितरण): जब प्रत्येक विशिष्ट व्यक्ति के सामने उसका बारम्बारता (मिलान विज़न / टैली मार्क्स की सहायता से) लिखा जाता है।
2. वर्गीकृत बारंबारता विभाजन (समूहीकृत आवृत्ति वितरण): जब आँकड़ों का विस्तार बहुत बड़ा हो जाता है, तो उन्हें बेरोजगारी में बाँटा जाता है जिसमें वर्गीकृत (वर्ग अंतराल) कहा जाता है।
   • उदाहरण: $0-10, 10-20, 20-30$
   • निम्न सीमा वर्ग (निचली श्रेणी सीमा): $10-20$ में निम्न सीमा $= 10$
   • उच्च वर्ग सीमा (उच्च वर्ग सीमा): $10-20$ में उच्च सीमा $= 20$
   • वर्ग माप या वर्ग (वर्ग आकार / चौड़ाई, $h$): $\text{उच्च सीमा} - \text{निम्न सीमा} = 20 - 10 = 10$
   • वर्ग-श्रृंग (क्लास मार्क):

$$\mathbf{\text{Class Mark} = \frac{\text{उच्च सीमा} + \text{निम्न सीमा}}{2}}$$

समावेशी बनाम अपवर्गी वर्ग अंतर (समावेशी बनाम विशिष्ट):

• अपवर्जी / सतत (एक्सक्लूसिव / कंटीन्यूअस): $0-10, 10-20, 20-30...$ इसमें उच्च सीमा वाले मान को अगले वर्ग में जाना जाता है (10 को $10-20$ में महत्व दिया जाएगा)।
• समावेषी / असातत (समावेशी / असंतत): $1-10, 11-20, 21-30...$
  • इसे सतत बनाने के लिए: अंतर के अंतर का आधा ($d = 11 - 10 = 1 \implies \frac{1}{2} = 0.5$) निचली सीमा से घटाते हैं और उच्च सीमा में छात्र हैं: $0.5 - 10.5, 10.5 - 20.5$।

दंड प्रलेख की परिभाषा

दंड प्रक्षेप आँकड़ों का एक ऐसा दृश्य निरूपण है जिसमें समान मतों के दंड (बार्स) एक-दूसरे से समान दूरी पर खींचे जाते हैं। प्रत्येक दण्ड की लंबाई या अध्ययन से संबंधित चार के मन या उसके बारम्बारता के अनुरूपता होती है।

पेनल्टी ड्रॉइंग के आवश्यक नियम:

1. अक्षों का चयन:
   • अंतिम अक्षर ($X$-अक्ष) पर सामान्यतः चार (जैसे विषय, वर्ष, राजनीतिक दल, महीना) को आरंभ किया जाता है।
   • लघुशंका अक्ष ($Y$-अक्ष) पर बारम्बारता (संख्या, प्रतिशत, बिक्री आदि) को आरंभ किया जाता है।
2. समान चौड़ाई एवं समान अंतर:
   • सभी दंडों की चौड़ाई एक समान होनी चाहिए।
   • किन्ही दो क्रमागत दंडों के बीच की खाली जगह (गैप) भी एक समान होनी चाहिए।
3. उपयुक्त पैमाने (स्केल) का चुनाव:
   • $Y$-अक्ष पर पैमाना इस प्रकार चुनें कि अधिकांश मान ग्राफ़ पेपर समा सके (जैसे $1 \text{ cm} = 10 \text{ इकाइयाँ}$ या $1 \text{ cm} = 5 \text{ विद्यार्थी}$)।
   • ग्राफ़ के शीर्ष पर ऊपर की ओर स्पष्ट रूप से चुने गए बड़े पैमाने पर।
4. लेबलिंग: दोनों अक्षरों के नाम और आलेख का एक उपयुक्त शीर्षक (शीर्षक) सम्मिलित करें।

आयतचित्र क्या है?

आयतचित्र सतत् योजना बारम्बारता बंटन (निरंतर समूहीकृत वितरण) का एक ऐसा द्वि-विमीय दस्तावेज़ीकरण निरूपण है जिसमें शामिल है:

• आधार वर्ग अंतर्विरोधों को सम्मिलित करता है।
• आयतों के बीच कोई रिक्त स्थान (गैप) नहीं होता क्योंकि वर्ग सतत अंतर्विरोध होते हैं।
• प्रत्येक आयत का फिल्मांकन उसके संगत बारंबारता के समनुपति होता है।

स्थिति 1: जब सभी वर्ग का अंतर समान चौड़ाई के हों (एकसमान चौड़ाई)

जब सभी कलाकृतियों की माप समान हो (जैसे $10-20, 20-30, 30-40$, प्रत्येक की चौड़ाई 10 है):

• $X$-अक्ष पर वर्ग अंतरों को अंकित करें।
• $Y$-अक्ष पर बारम्बारता को अंकित करें।
• प्रत्येक वर्गाकार अन्तर्विष्ट पर उसके बारम्बारता के समतुल्य का आयत बनाया गया।
• यदि प्रथम वर्ग अंतर्अंतीय शून्य (मूल बिंदु $O$) से शुरू न हो तो किसी बड़ी संख्या (जैसे 100) से शुरू हो, तो $X$-अक्ष पर शून्य और 100 के बीच एक किंक या मोच (किंक / ज़िगज़ैग लाइन '∿') एक जैसे।

स्थिति 2: जब वर्ग अंतर्वस्तु चौड़ाई के होन (विभिन्न चौड़ाई)

यदि वर्ग अंतरों की चौड़ाई अलग-अलग हो (जैसे $1-2$ की चौड़ाई 1, $2-3$ की चौड़ाई 1, लेकिन $3-5$ की चौड़ाई 2 और $5-7$ की चौड़ाई 2): आयत का क्षेत्रफल बारंबारता के समनुपति को होना चाहिए, अगर हम सीधे बारंबारता के आयत के मान को देखते हैं तो अलोकतांत्रिक वर्ग का सबसे बड़ा बड़ा हो जाएगा और गलत छवि पेश की जाएगी!

मूल रूप से वर्ग चौड़ाई के लिए आयत की लंबाई (ऊंचाई) को निम्नलिखित सूत्र से समायोजित (समायोजित) किया जाता है:

$$\mathbf{\text{आयत की लंबाई (समायोजित बारंबारता)} = \frac{\text{न्यूनतम वर्ग चौड़ाई}}{\text{उस वर्ग की चौड़ाई}} \times \text{उस वर्ग की बारंबारता}}$$

उदाहरण सारणी:

बारंबारता बहुभुज क्या है?

बारम्बारता बहुभुज आँकड़ों के चित्रलिपि निरूपण की एक ऐसी विधि है जिसमें बिंदुओं को सरल रेखाखंडों द्वारा सम्मिलित रूप से एक बंद बहुभुज (बंद बहुभुज) बनाया जाता है। यह सतत आँकड़ों की प्रवृत्तियों (रुझान) को देखना और दो अलग-अलग वितरणों की तुलना करना सबसे उपयोगी है।

बारंबारता बहुभुज खींचने की विधियाँ:

विधि 1: आयतचित्र की सहायता से

1. सबसे पहले दिए गए आँकड़ों का आयतचित्र निर्देश।
2. प्रत्येक आयत की ऊपरी भुजा के मध्य-बिंदु (मध्य-बिंदु) को देखें।
3. मध्य-बिन्दुओं को क्रम से फूटे (शासक) की सहायता से रेखाएँ मिलती हैं।
4. बहुभुज को बंद करने के लिए:
   • पहले आयत से ठीक पहले वाले काल्पनिक वर्ग इंटरमीडिएट के मध्य-बिंदु (जहाँ बारम्बारता शून्य होता है) को $X$-अक्ष पर मिलते हैं।
   • अंतिम आयत के ठीक बाद वाले काल्पनिक वर्ग इंटरमीडिएट के मध्य-बिंदु (जहाँ बारम्बारता शून्य होता है) को $X$-अक्ष पर मिलते हैं।

विधि 2: बिना आयतचित्र बनाना (सीधे वर्ग-श्रृंग द्वारा)

1. प्रत्येक वर्ग अंतर्विष्ट का वर्ग-श्रृंग (वर्ग चिह्न, $x_i$) ज्ञात करें:

$$x_i = \frac{\text{उच्च सीमा} + \text{निम्न सीमा}}{2}$$

2. $(x_i, f_i)$ के निर्देश निर्देश, जहां $f_i$ संगत बारंबारता है।
3. इन टिप्पणियाँ $(x_1, f_1), (x_2, f_2), ...$ को ग्राफ़ पर अंकित करके सरल पौधे से बनाया गया।
4. पहले वर्ग से ठीक पूर्व वाले वर्ग का वर्ग-श्रृंखला और उस बिंदु $(x_0, 0)$ को जोड़ें।
5. अंतिम वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग का वर्ग-श्रृंखला और बिंदु $(x_{n+1}, 0)$ को जोड़ा जाए ताकि बहुभुज $X$-अक्ष के साथ पूरी तरह बंद हो जाए।

ग्राफ़िक से लैपटॉप का विश्लेषण (डेटा इंटरप्रिटेशन)

परीक्षण में केवल ग्राफ़ बनाना ही नहीं पूछा जाता है, बल्कि बने ग्राफ़ से उत्तर ड्राइंग के प्रश्न भी आते हैं:

1. सार्वधिक बारम्बारता वाला वर्ग: वह वर्ग आयत की आयु सबसे अधिक हो (बहुलक वर्ग की पहचान)।
2. न्यूनतम बारंबारता वाला वर्ग: सबसे छोटा आयत।
3. एक निश्चित सीमा से अधिक या कम मान: जैसे "कितने छात्रों को 60 से अधिक अंक प्राप्त हुए?" इसके लिए 60 से आगे वाले सभी अंतर्देशीयों की बारम्बार सेना को जोड़ा जाता है।
4. निम्नलिखित गणना: $\frac{\text{अभीष्ट बारंबारता}}{\text{कुल बारंबारता}} \times 100$।

जेएसी बोर्ड परीक्षा में पूर्ण अंक प्राप्त करने के 5 स्वर्णिम नियम:

1. ग्राफिक पेपर पर हमेशा न्यूकीली पेंसिल (शार्प पेंसिल) का ही उपयोग करें; पेन से बनाया गया लेआउट हो सकता है।
2. दोनों अक्षरों पर तीर के निशान, $X$ और $Y$ का अंक और मूल बिंदु $O(0,0)$ का अंक देखें।
3. ऊपरी ओर कोने में पैमाना (स्केल) सम्मिलित सूची (जैसे $X$-अक्ष: $1 \text{ cm} = 10$ अंक, $Y$-अक्ष: $1 \text{ cm} = 5$ छात्र)।
4. अगर आँकड़े जीरो से शुरू नहीं हो रहे हैं, तो $X$-अक्ष पर किंक (Kink ∿)बनाना कभी न निकले।
5. बारंबारता बहुभुज को $X$-अक्ष के दोनों सिरों पर शून्य बारंबारता वाले काल्पनिक मध्य-बिंदुओं से जोड़े बंद करें, अन्यथा 1 अंक अनकटा जा सकता है।