Exponents and Radicals

एक संख्या $r$ को परिमेय संख्या (Rational Number) कहा जाता है यदि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ दोनों पूर्णांक (Integers) हैं और $q \ne 0$ है।

विशेष ध्यान देने योग्य तथ्य:

• शून्य (0) एक परिमेय संख्या है: क्योंकि इसे $0 = \frac{0}{1} = \frac{0}{5} = \frac{0}{-8}$ के रूप में लिखा जा सकता है (यहाँ $p=0, q=1 \ne 0$)।
• प्रत्येक प्राकृत संख्या, पूर्ण संख्या और पूर्णांक एक परिमेय संख्या है: किसी भी पूर्णांक $m$ को $m = \frac{m}{1}$ लिखा जा सकता है।
• तुल्य परिमेय संख्याएँ (Equivalent Rational Numbers): $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{10}{20} = \frac{25}{50}$। संख्या रेखा पर निरूपित करते समय हम सदैव सरलतम (मानक) रूप का चयन करते हैं, जहाँ $p$ और $q$ परस्पर सह-अभाज्य (Co-prime) होते हैं (अर्थात् $\text{HCF}(p, q) = 1$)।

किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं $a$ और $b$ के बीच अनंत (Infinitely Many) परिमेय संख्याएँ स्थित होती हैं। इन्हें ज्ञात करने की दो प्रमुख विधियाँ हैं:

विधि 1: समान हर विधि (Common Denominator Method - तीव्र एवं अनुशंसित विधि)
यदि हमें $a$ और $b$ के बीच $n$ परिमेय संख्याएँ ज्ञात करनी हों, तो हम दोनों संख्याओं के अंश और हर में $(n+1)$ से गुणा करके हर को समान बनाते हैं।
उदाहरण: $3$ और $4$ के बीच $6$ परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
यहाँ $n = 6 \implies n+1 = 7$।
$$3 = \frac{3 \times 7}{1 \times 7} = \frac{21}{7}, \quad 4 = \frac{4 \times 7}{1 \times 7} = \frac{28}{7}$$ अतः $21/7$ और $28/7$ के बीच की 6 संख्याएँ होंगी: $$\frac{22}{7}, \frac{23}{7}, \frac{24}{7}, \frac{25}{7}, \frac{26}{7}, \frac{27}{7}$$

विधि 2: माध्य विधि (Mean Method)
किन्हीं दो संख्याओं $a$ और $b$ के ठीक बीच की संख्या $\frac{a + b}{2}$ होती है। इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराकर इच्छित संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं।

वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार को मुख्यतः तीन श्रेणियों में विभाजित किया जाता है:

गोल्डन नियम: एक संख्या परिमेय संख्या होती है यदि और केवल यदि उसका दशमलव प्रसार सांत हो अथवा अशांत आवर्ती हो!

अशांत आवर्ती दशमलव (जैसे $0.\bar{6}$ या $1.2\overline{35}$) को $\frac{p}{q}$ भिन्न रूप में बदलने के लिए निम्न मानक बीजगणितीय विधि अपनाई जाती है:

1. दी गई संख्या को चर $x$ के बराबर मानिए: $x = 0.6666\dots$ (समीकरण 1)।
2. जाँचिए कि दशमलव बिंदु के बाद कितने अंकों पर बार (आवर्तता) है। यदि $1$ अंक दोहराता है तो $10$ से, यदि $2$ अंक दोहराते हैं तो $100$ से, और यदि $k$ अंक दोहराते हैं तो $10^k$ से दोनों पक्षों में गुणा कीजिए।
3. नए समीकरण में से मूल समीकरण को घटाइए ताकि दशमलव के बाद का अनंत आवर्ती भाग पूर्णतः निरस्त (Cancel) हो जाए।
4. प्राप्त समीकरण को हल करके $x = \frac{p}{q}$ का मान ज्ञात कीजिए और उसे सरलतम रूप में लिखिए।

केस I: केवल एक अंक की आवर्तता ($0.\bar{6}$)
माना $x = 0.\bar{6} = 0.6666\dots$    --- (समीकरण 1)
यहाँ केवल एक अंक ($6$) की पुनरावृत्ति हो रही है, अतः दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 6.6666\dots$    --- (समीकरण 2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
$$10x - x = (6.6666\dots) - (0.6666\dots)$$ $$9x = 6 \implies x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$ अतः $0.\bar{6} = \frac{2}{3}$।

केस II: मिश्रित अशांत आवर्ती दशमलव ($0.2\overline{35}$)
माना $x = 0.2\overline{35} = 0.2353535\dots$    --- (समीकरण 1)
सर्वप्रथम, उस अंक को दशमलव से पहले लाएँ जो दोहरा नहीं रहा है ($1$ अंक $2$ है), अतः $10$ से गुणा करें:
$10x = 2.353535\dots$    --- (समीकरण 2)
अब दो अंक ($35$) दोहरा रहे हैं, अतः समीकरण (2) को $100$ से गुणा करें:
$1000x = 235.353535\dots$    --- (समीकरण 3)
समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर:
$$1000x - 10x = (235.353535\dots) - (2.353535\dots)$$ $$990x = 233 \implies x = \frac{233}{990}$$ अतः $0.2\overline{35} = \frac{233}{990}$। (यह सह-अभाज्य है क्योंकि 233 एक अभाज्य संख्या है)।

वे संख्याएँ जिनका दशमलव प्रसार अशांत अनावर्ती (Non-terminating Non-recurring) होता है, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। इन्हें कभी भी $\frac{p}{q}$ रूप में नहीं लिखा जा सकता।

प्रमुख उदाहरण:

• किसी भी अभाज्य संख्या $p$ का वर्गमूल $\sqrt{p}$ सदैव एक अपरिमेय संख्या होता है (जैसे $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{11}$)।
• पाई ($\pi$): वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात $\pi = \frac{C}{d}$ एक अपरिमेय संख्या है (लगभग $3.14159\dots$)। हम गणना की सुगमता हेतु $\pi \approx \frac{22}{7}$ या $3.14$ लेते हैं, परंतु यह केवल सन्निकट (Approximate) मान है, वास्तविक मान नहीं। $\frac{22}{7}$ एक परिमेय संख्या है जबकि $\pi$ एक अपरिमेय संख्या है!

ग्रीक गणितज्ञों ने संख्या रेखा पर अपरिमेय लंबाइयों को दर्शाने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का अद्भुत अनुप्रयोग किया:

$\sqrt{2}$ का निरूपण (चरणबद्ध):

1. संख्या रेखा पर बिंदु $O$ (शून्य निरूपक) से $1 \text{ इकाई}$ की दूरी पर बिंदु $A$ लें ($OA = 1$)।
2. बिंदु $A$ पर एक लंब $AB = 1 \text{ इकाई}$ खींचें।
3. बिंदु $O$ और $B$ को मिलाएँ। समकोण त्रिभुज $\triangle OAB$ में पाइथागोरस प्रमेय से: $$OB^2 = OA^2 + AB^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies OB = \sqrt{2} \text{ इकाई}$$
4. प्रकार (Compass) की नोक को $O$ पर रखें और त्रिज्या $OB$ लेकर संख्या रेखा पर एक चाप लगाएँ। जहाँ यह चाप संख्या रेखा को काटता है (मान लीजिए बिंदु $P$), वह बिंदु $\sqrt{2} \approx 1.414$ को निरूपित करता है।

$\sqrt{5}$ का निरूपण:
आधार $OA = 2 \text{ इकाई}$ और लंब $AB = 1 \text{ इकाई}$ लें। तब: $$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.236$$ $O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर संख्या रेखा पर चाप लगाने से बिंदु $\sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

वास्तविक संख्याओं के योग, घटाव, गुणा व भाग के मूलभूत नियम:

1. एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का जोड़ या घटाव सदैव अपरिमेय होता है (उदा. $2 + \sqrt{3}$ अपरिमेय है)।
2. एक शून्येतर (Non-zero) परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल या भागफल सदैव अपरिमेय होता है (उदा. $3\sqrt{2}$ और $\frac{5}{\sqrt{2}}$ अपरिमेय हैं)।
3. दो अपरिमेय संख्याओं का जोड़, घटाव, गुणा या भाग परिमेय भी हो सकता है और अपरिमेय भी!
   • उदा. जोड़: $(\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}) = 0$ (परिमेय)। परंतु $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ (अपरिमेय)।
   • उदा. गुणा: $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ (परिमेय)। परंतु $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ (अपरिमेय)।

जब किसी भिन्न के हर (Denominator) में वर्गमूल या करणी (Surd) युक्त पद हो, तो हर को एक परिमेय संख्या में बदलने की प्रक्रिया को हर का परिमेयकरण कहते हैं। इससे संख्या का मान बदले बिना उसकी गणना, तुलना और संख्या रेखा पर स्थिति ज्ञात करना अत्यंत सरल हो जाता है।

संयुग्मी करणी (Conjugate Surd) का सिद्धांत:
हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का प्रयोग करते हैं:

• $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ का परिमेयकारी गुणक (Rationalising Factor) $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ होता है: $$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$$
• $(a + \sqrt{b})$ का परिमेयकारी गुणक $(a - \sqrt{b})$ होता है: $$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$$

उदाहरण: $\frac{1}{7 + 3\sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।
अंश और हर में $(7 - 3\sqrt{2})$ से गुणा करने पर: $$\frac{1}{7 + 3\sqrt{2}} \times \frac{7 - 3\sqrt{2}}{7 - 3\sqrt{2}} = \frac{7 - 3\sqrt{2}}{7^2 - (3\sqrt{2})^2} = \frac{7 - 3\sqrt{2}}{49 - 18} = \frac{7 - 3\sqrt{2}}{31}$$ यहाँ हर $31$ एक धनात्मक पूर्णांक (परिमेय) बन चुका है!

मान लीजिए $a > 0$ एक वास्तविक संख्या है तथा $p$ और $q$ परिमेय संख्याएँ हैं। तब निम्नलिखित नियम सदैव सत्य होते हैं: