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Class X
Mathematics (211)
अध्याय 5: रैखिक समीकरण (Linear Equations)

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NIOS • कक्षा X • Mathematics (211) • अध्याय 5

अनुमानित समय: 75 मिनट

प्रगति: अध्ययनरत

रैखिक समीकरण (Linear Equations)

एनआईओएस माध्यमिक (कक्षा 10) गणित (211) में रैखिक समीकरण (Linear Equations) बीजगणित और परिमाणात्मक मॉडलिंग का एक अत्यंत महत्वपूर्ण एवं सर्वाधिक अंक दिलाने वाला अध्याय है। इस सम्पूर्ण अध्ययन सामग्री में व्यवस्थित रूप से सम्मिलित हैं: एक चर वाले रैखिक समीकरण: मानक रूप $ax + b = 0$ ($a \neq 0$), समानता के मूलभूत नियम, व्यवस्थित पक्षांतरण विधि, और व्यावहारिक प्रश्न। दो चरों वाले रैखिक समीकरण: मानक रूप $ax + by + c = 0$ ($a^2 + b^2 \neq 0$), कार्तीय तल पर सरल रेखा के रूप में आलेखीय निरूपण, और अपरिमित रूप से अनेक हल $(x, y)$। रैखिक समीकरण युग्म (Simultaneous Linear Equations): $$a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \quad \text{तथा} \quad a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$$ आलेखीय वर्गीकरण एवं संगतता की शर्तें: प्रतिच्छेदी रेखाएं (अद्वितीय हल / संगत): $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ संपाती रेखाएं (अपरिमित रूप से अनेक हल / आश्रित संगत): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ समांतर रेखाएं (कोई हल नहीं / असंगत): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ बीजीय हल करने की विधियाँ: प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method): एक चर का मान दूसरे चर के पदों में ज्ञात कर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना। विलोपन विधि (Elimination Method): गुणांकों को समान बनाकर चरों का विलोपन (जोड़ या घटाव द्वारा) करना। वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method - 2312 नियम): $$\frac{x}{b_1 c_2 - b_2 c_1} = \frac{-y}{a_1 c_2 - a_2 c_1} = \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$ रैखिक रूप में बदले जा सकने वाले समीकरण: $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = c$ जैसे भिन्नों वाले चरों को $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$ मानकर हल करना। व्यावहारिक इबारती समस्याएं (Word Problems): आयु संबंधी, दो अंकों की संख्या ($10x + y$), भिन्न संबंधी, नाव एवं धारा (अनुकूल व प्रतिकूल चाल), तथा कार्य एवं समय के प्रश्न।

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प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ हल उदाहरण सामान्य गलतियाँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

हवाई जहाजों के उड़ान पथ, एयर ट्रैफिक कंट्रोल और जीपीएस उपग्रह रैखिक समीकरणों से टकराव कैसे रोकते हैं?

किसी भी समय दुनिया भर के हवाई क्षेत्रों में 10,000 से अधिक वाणिज्यिक जेट विमान 900 किमी/घंटा की गति से उड़ रहे होते हैं। स्वचालित रडार और एयर ट्रैफिक कंट्रोलर यह कैसे सुनिश्चित करते हैं कि अलग-अलग दिशाओं से आ रहे दो विमान सुरक्षित रूप से गुजरें और आपस में न टकराएं?

प्रत्येक विमान के उड़ान पथ को एक दो चर वाले रैखिक समीकरण $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ तथा $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है। इस समीकरण युग्म को हल करके नेविगेशन सुपरकंप्यूटर उस सटीक बिंदु $(x, y)$ की गणना करते हैं जहाँ दोनों उड़ान पथ एक-दूसरे को काटते हैं!

यदि उनके गुणांकों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है, तो पथ केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और समय व ऊँचाई का समायोजन करके टकराव से बचा जाता है। युगपत रैखिक समीकरणों के गणित के बिना आधुनिक एयरोस्पेस नेविगेशन, जीपीएस त्रिकोणीयन, इलेक्ट्रॉनिक सर्किट और वित्तीय विश्लेषण संभव नहीं होते!

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

एनआईओएस कक्षा 10वीं माध्यमिक परीक्षा (कोर्स 211) में, रैखिक समीकरण 6 से 8 अंकों का भार रखता है। इसमें 1 अंक के वस्तुनिष्ठ प्रश्न, 2 अंक के बीजीय हल, तथा 4 या 5 अंक का अनिवार्य दीर्घ उत्तरीय वर्ड प्रॉब्लम (जैसे नाव एवं धारा, दो अंकों की संख्या, या आयु संबंधी प्रश्न) शत-प्रतिशत पूछा जाता है। आगे चलकर प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, बैंकिंग, रेलवे, एनडीए, सीयूईटी) तथा उच्च स्तरीय विज्ञान और इंजीनियरिंग में यह अध्याय आधारशिला का कार्य करता है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

धनात्मक एवं ऋणात्मक पूर्णांकों पर मूलभूत अंकगणितीय संक्रियाएँ।
बीजीय व्यंजक, सजातीय एवं विजातीय पद तथा वितरण नियम।
कार्तीय निर्देशांक तल पर बिंदुओं $(x, y)$ का आलेखन।
पक्षांतरण विधि द्वारा एक चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करना।

इस अध्याय के लक्ष्य

एक चर ($ax + b = 0$) और दो चरों ($ax + by + c = 0$) वाले रैखिक समीकरणों की पहचान व मानक रूप में निरूपण कर सकेंगे।
गुणांकों के अनुपातों की तुलना द्वारा समीकरण युग्म की संगतता, आश्रितता व असंगतता की जांच कर सकेंगे।
प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) द्वारा समीकरण युग्म को चरणबद्ध रूप से हल कर सकेंगे।
विलोपन विधि (Elimination Method) का प्रयोग कर अज्ञात चरों का सटीक मान निकाल सकेंगे।
वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method - 2312 नियम) का सही प्रयोग कर सकेंगे।
भिन्न वाले चरों को सहायक चरों ($u, v$) में बदलकर रैखिक समीकरणों में रूपांतरित कर सकेंगे।
आयु, भिन्न, संख्या, दूरी-चाल-समय, तथा नाव-धारा संबंधी व्यावहारिक समस्याओं को समीकरण बनाकर हल कर सकेंगे।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. एक चर एवं दो चरों वाले रैखिक समी...

2 2. रैखिक समीकरण युग्म एवं आलेखीय सं...

3 3. बीजीय विधियां: प्रतिस्थापन विधि...

4 4. वज्र-गुणन विधि (The 2312 Rule)

5 5. रैखिक रूप में बदले जा सकने वाले...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. एक चर एवं दो चरों वाले रैखिक समीकरण

2. रैखिक समीकरण युग्म एवं आलेखीय संगतता नियम

आलेखीय एवं बीजीय वर्गीकरण

(क) रैखिक समीकरण युग्म का मानक रूप:

जब दो चरों वाले दो रैखिक समीकरणों पर एक साथ विचार किया जाता है, तो उसे रैखिक समीकरण युग्म कहते हैं:

$$a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$$ $$a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$$

जहाँ $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ वास्तविक संख्याएँ हैं तथा $a_1^2 + b_1^2 \neq 0, a_2^2 + b_2^2 \neq 0$।

(ख) अनुपातों की तुलना एवं हलों की प्रकृति (अति महत्वपूर्ण):

बिना ग्राफ खींचे केवल गुणांकों के अनुपातों की तुलना करके रेखाओं के व्यवहार और हलों की संख्या ज्ञात की जा सकती है:

अनुपातों की तुलना	आलेखीय निरूपण	बीजीय निरूपण (हल)	युग्म की प्रकृति
$$\mathbf{\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}}$$	प्रतिच्छेदी रेखाएँ (केवल 1 बिंदु पर काटती हैं)	अद्वितीय हल (केवल एक हल)	संगत (Consistent)
$$\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}}$$	संपाती रेखाएँ (एक-दूसरे के ऊपर स्थित)	अपरिमित रूप से अनेक हल	आश्रित संगत (Dependent)
$$\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}}$$	समानांतर रेखाएँ (कभी नहीं मिलतीं)	कोई हल नहीं (No Solution)	असंगत (Inconsistent)

सावधानी: गुणांकों की तुलना करने से पहले दोनों समीकरणों को एक ही प्रारूप में व्यवस्थित करें—या तो दोनों के अचर पद बराबर के बाईं ओर ($ax + by + c = 0$) हों, या दोनों के दाईं ओर ($ax + by = c$) हों।

3. बीजीय विधियां: प्रतिस्थापन विधि एवं विलोपन विधि

4. वज्र-गुणन विधि (The 2312 Rule)

5. रैखिक रूप में बदले जा सकने वाले समीकरण एवं व्यावहारिक वर्ड प्रॉब्लम्स

व्यावहारिक वर्ड प्रॉब्लम्स

(क) रैखिक रूप में बदले जा सकने वाले समीकरण:

जब चर हर (denominator) में हों, जैसे:

$$\frac{a_1}{x} + \frac{b_1}{y} = c_1 \quad \text{तथा} \quad \frac{a_2}{x} + \frac{b_2}{y} = c_2$$

तो ये अरैखिक होते हैं। इन्हें हल करने के लिए सहायक चर मानते हैं: माना $u = \frac{1}{x}$ तथा $v = \frac{1}{y}$। $u$ और $v$ का मान प्राप्त होने के बाद उल्टा करके $x = \frac{1}{u}$ और $y = \frac{1}{v}$ निकाल लेते हैं।

(ख) मानक वर्ड प्रॉब्लम निर्माण मॉडल:

समस्या का प्रकार	चरों की मान्यता	समीकरण निर्माण का सूत्र
1. आयु संबंधी (Age Problems)	पिता की वर्तमान आयु $= x$ वर्ष, पुत्र की $= y$ वर्ष।	$n$ वर्ष पूर्व: $(x - n), (y - n)$ $m$ वर्ष बाद: $(x + m), (y + m)$
2. दो अंकों की संख्या (Number)	दहाई का अंक $= x$, इकाई का अंक $= y$।	मूल संख्या $= 10x + y$ अंकों को उलटने पर बनी संख्या $= 10y + x$
3. भिन्न संबंधी (Fractions)	अंश $= x$, हर $= y$।	मूल भिन्न $= \frac{x}{y}$ परिवर्तन: $\frac{x + k_1}{y + k_2} = \text{मान}$
4. नाव एवं धारा (Boat & Stream)	शांत जल में नाव की चाल $= u$ किमी/घंटा, धारा की चाल $= v$ किमी/घंटा।	धारा के अनुकूल चाल $= (u + v)$ किमी/घंटा धारा के प्रतिकूल चाल $= (u - v)$ किमी/घंटा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$
5. कार्य एवं समय (Work & Time)	1 व्यक्ति $x$ दिनों में, दूसरा $y$ दिनों में कार्य समाप्त करता है।	1 दिन का कार्य: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{\text{कुल दिन}}$

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का मानक रूप

a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 तथा a_2 x + b_2 y + c_2 = 0

मानक रूप जहाँ गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं।

अद्वितीय हल की शर्त (प्रतिच्छेदी रेखाएँ)

{a_1}{a_2} ≠ {b_1}{b_2} [संगत निकाय]

रेखाएँ केवल एक बिंदु $(x, y)$ पर काटती हैं।

अपरिमित रूप से अनेक हल की शर्त (संपाती रेखाएँ)

{a_1}{a_2} = {b_1}{b_2} = {c_1}{c_2} [आश्रित संगत निकाय]

दोनों समीकरण एक ही रेखा को निरूपित करते हैं।

कोई हल नहीं की शर्त (समानांतर रेखाएँ)

{a_1}{a_2} = {b_1}{b_2} ≠ {c_1}{c_2} [असंगत निकाय]

रेखाएँ समानांतर होती हैं और कभी नहीं मिलतीं।

वज्र-गुणन सूत्र (2312 नियम)

$$\frac{x}{b_1 c_2 - b_2 c_1} = \frac{-y}{a_1 c_2 - a_2 c_1} = \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$

अद्वितीय हल निकालने का प्रत्यक्ष बीजीय सूत्र।

दो अंकों की संख्या का मान

मूल संख्या = 10x + y ; उलटी संख्या = 10y + x

जहाँ $x$ दहाई का अंक तथा $y$ इकाई का अंक है।

जल में आपेक्षिक चाल (नाव एवं धारा)

v_{अनुकूल} = u + v ; v_{प्रतिकूल} = u - v

जहाँ $u$ शांत जल में नाव की चाल तथा $v$ धारा का वेग है ($u > v$)।

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

विलोपन विधि द्वारा निम्न रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए:
$$3x + 4y = 10 \quad \text{--- (1)}$$
$$2x - 2y = 2 \quad \text{--- (2)}$$

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरणबद्ध हल:
चरण 1: $y$ के गुणांकों को समान बनाइए।
समीकरण (1) में $+4y$ तथा (2) में $-2y$ है। समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर:
$$2 \times (2x - 2y) = 2 \times 2 \implies 4x - 4y = 4 \quad \text{--- (3)}$$
चरण 2: समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर ($y$ का विलोपन):
$$(3x + 4y) + (4x - 4y) = 10 + 4$$
$$7x = 14 \implies x = \frac{14}{7} = \mathbf{2}$$
चरण 3: $x = 2$ का मान समीकरण (1) में रखने पर:
$$3(2) + 4y = 10 \implies 6 + 4y = 10 \implies 4y = 4 \implies y = \mathbf{1}$$
जाँच: (2) में: $2(2) - 2(1) = 4 - 2 = 2$ (सत्यापित)।
$$\mathbf{\text{उत्तर: } x = 2, \quad y = 1}$$

उदाहरण 2

प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल कीजिए तथा $m$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $y = mx + 3$ हो:
$$2x + 3y = 11 \quad \text{--- (1)}$$
$$2x - 4y = -24 \quad \text{--- (2)}$$

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरणबद्ध हल:
चरण 1: समीकरण (1) से $x$ का मान $y$ के पदों में ज्ञात कीजिए:
$$2x = 11 - 3y \implies x = \frac{11 - 3y}{2} \quad \text{--- (3)}$$
चरण 2: व्यंजक (3) को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर:
$$2\left(\frac{11 - 3y}{2}\right) - 4y = -24$$
$$(11 - 3y) - 4y = -24 \implies 11 - 7y = -24$$
$$-7y = -24 - 11 = -35 \implies y = \frac{-35}{-7} = \mathbf{5}$$
चरण 3: $y = 5$ का मान (3) में रखने पर:
$$x = \frac{11 - 3(5)}{2} = \frac{11 - 15}{2} = \frac{-4}{2} = \mathbf{-2}$$
चरण 4: $y = mx + 3$ से $m$ का मान निकालिए:
$$5 = m(-2) + 3 \implies 5 - 3 = -2m \implies 2 = -2m \implies m = \mathbf{-1}$$
$$\mathbf{\text{उत्तर: } x = -2, \quad y = 5, \quad m = -1}$$

उदाहरण 3

वज्र-गुणन विधि द्वारा निम्न समीकरण युग्म को हल कीजिए:
$$8x + 5y = 9 \quad \text{तथा} \quad 3x + 2y = 4$$

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरणबद्ध हल:
चरण 1: दोनों समीकरणों को मानक रूप $ax + by + c = 0$ में लिखिए:
$$8x + 5y - 9 = 0 \quad (a_1 = 8, b_1 = 5, c_1 = -9)$$
$$3x + 2y - 4 = 0 \quad (a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -4)$$
चरण 2: वज्र-गुणन अनुपात स्थापित कीजिए:
$$\frac{x}{b_1 c_2 - b_2 c_1} = \frac{-y}{a_1 c_2 - a_2 c_1} = \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$
हरों के मानों की गणना:
$$b_1 c_2 - b_2 c_1 = 5(-4) - 2(-9) = -20 + 18 = -2$$
$$a_1 c_2 - a_2 c_1 = 8(-4) - 3(-9) = -32 + 27 = -5$$
$$a_1 b_2 - a_2 b_1 = 8(2) - 3(5) = 16 - 15 = 1$$
चरण 3: $x$ और $y$ का मान ज्ञात कीजिए:
$$\frac{x}{-2} = \frac{-y}{-5} = \frac{1}{1}$$
$$x = -2 \times 1 = \mathbf{-2} \quad ; \quad y = 5 \times 1 = \mathbf{5}$$
$$\mathbf{\text{उत्तर: } x = -2, \quad y = 5}$$

उदाहरण 4

एक नाव 10 घंटे में धारा के प्रतिकूल 30 किमी तथा धारा के अनुकूल 44 किमी जाती है। 13 घंटे में वह 40 किमी प्रतिकूल एवं 55 किमी अनुकूल जा सकती है। शांत जल में नाव की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरणबद्ध हल:
चरण 1: चरों को मानिए:
माना शांत जल में नाव की चाल $= u$ किमी/घंटा, तथा धारा की चाल $= v$ किमी/घंटा ($u > v$)।
धारा के प्रतिकूल चाल $= (u - v)$ किमी/घंटा, धारा के अनुकूल चाल $= (u + v)$ किमी/घंटा।
माना $\frac{1}{u - v} = x$ तथा $\frac{1}{u + v} = y$।
चरण 2: दी गई शर्तों से समीकरण बनाइए:
$$\text{स्थिति 1: } \frac{30}{u-v} + \frac{44}{u+v} = 10 \implies 30x + 44y = 10 \quad \text{--- (1)}$$
$$\text{स्थिति 2: } \frac{40}{u-v} + \frac{55}{u+v} = 13 \implies 40x + 55y = 13 \quad \text{--- (2)}$$
चरण 3: (1) को 4 से तथा (2) को 3 से गुणा कर $x$ का विलोपन कीजिए:
$$120x + 176y = 40 \quad \text{--- (3)}$$
$$120x + 165y = 39 \quad \text{--- (4)}$$
(3) में से (4) घटाने पर:
$$11y = 1 \implies y = \frac{1}{11}$$
$y = \frac{1}{11}$ का मान (1) में रखने पर:
$$30x + 44\left(\frac{1}{11}\right) = 10 \implies 30x + 4 = 10 \implies 30x = 6 \implies x = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$$
चरण 4: $u$ और $v$ का मान निकालिए:
$$u - v = \frac{1}{x} = 5 \quad \text{--- (5)}$$
$$u + v = \frac{1}{y} = 11 \quad \text{--- (6)}$$
(5) और (6) को जोड़ने पर: $2u = 16 \implies u = \mathbf{8\text{ किमी/घंटा}}$।
(6) में रखने पर: $8 + v = 11 \implies v = \mathbf{3\text{ किमी/घंटा}}$।
$$\mathbf{\text{उत्तर: शांत जल में नाव की चाल} = 8\text{ किमी/घंटा}, \quad \text{धारा की चाल} = 3\text{ किमी/घंटा}}$$

उदाहरण 5

दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का 9 गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का 2 गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरणबद्ध हल:
चरण 1: चरों को मानिए:
माना दहाई का अंक $= x$ तथा इकाई का अंक $= y$।
मूल संख्या $= 10x + y$
अंकों को पलटने पर बनी संख्या $= 10y + x$
चरण 2: शर्तों से समीकरण बनाइए:
शर्त 1: अंकों का योग 9 है:
$$x + y = 9 \quad \text{--- (1)}$$
शर्त 2: मूल संख्या का 9 गुना = पलटी संख्या का 2 गुना:
$$9(10x + y) = 2(10y + x)$$
$$90x + 9y = 20y + 2x \implies 90x - 2x + 9y - 20y = 0$$
$$88x - 11y = 0 \implies 8x - y = 0 \implies y = 8x \quad \text{--- (2)}$$
चरण 3: (2) का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर:
$$x + 8x = 9 \implies 9x = 9 \implies x = \mathbf{1}$$
$x = 1$ से $y = 8(1) = \mathbf{8}$।
चरण 4: मूल संख्या की गणना:
$$\text{मूल संख्या} = 10(1) + 8 = \mathbf{18}$$
जाँच: $1 + 8 = 9$। पलटने पर 81। $9 \times 18 = 162$ तथा $2 \times 81 = 162$। सत्यापित!
$$\mathbf{\text{उत्तर: अभीष्ट संख्या } 18 \text{ है।}}$$

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

समीकरणों के प्रारूप अलग-अलग होने पर सीधे गुणांकों के अनुपात की तुलना करना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

गुणांकों के अनुपातों की तुलना करने से पहले दोनों समीकरणों के अचर पदों को बराबर के एक ही ओर (दोनों बाईं ओर या दोनों दाईं ओर) पक्षांतरित अवश्य करें।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

वज्र-गुणन सूत्र में बीच वाले पद ($y$) के ऋणात्मक चिह्न को छोड़ देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

2312 नियम याद रखें या सूत्र में $y$ के अंश में माइनस अवश्य लगाएं: $\frac{-y}{a_1c_2 - a_2c_1}$।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

दो अंकों की संख्या को $10x + y$ के स्थान पर सीधे $xy$ मान लेना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

स्थानीय मान के नियम से दो अंकों की संख्या सदैव $10 \times \text{दहाई} + \text{इकाई} = 10x + y$ होती है।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

नाव और धारा की समस्याओं में अनुकूल और प्रतिकूल चालों को उल्टा मान लेना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

धारा की दिशा में (अनुकूल) चाल जुड़ती है ($u + v$), जबकि धारा के विपरीत (प्रतिकूल) चाल घटती है ($u - v$)।

रैखिक समीकरण: आलेखीय वर्गीकरण एवं बीजीय हल प्रणाली

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

एक चर वाला रैखिक समीकरण $ax + b = 0$ ($a \neq 0$) केवल एक अद्वितीय मूल $x = -b/a$ रखता है।

मुख्य बिंदु 2

दो चरों वाला रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ एक सरल रेखा को निरूपित करता है और इसके अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।

मुख्य बिंदु 3

यदि समीकरण युग्म का कम से कम एक हल हो, तो वह संगत (Consistent) होता है; यदि कोई हल न हो, तो असंगत (Inconsistent) होता है।

मुख्य बिंदु 4

प्रतिच्छेदी रेखाएं: $a_1/a_2 \neq b_1/b_2$ पर केवल एक अद्वितीय हल मिलता है (संगत निकाय)।

मुख्य बिंदु 5

संपाती रेखाएं: $a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2$ पर अपरिमित रूप से अनेक हल मिलते हैं (आश्रित संगत निकाय)।

मुख्य बिंदु 6

समानांतर रेखाएं: $a_1/a_2 = b_1/b_2 \neq c_1/c_2$ पर कोई हल नहीं मिलता (असंगत निकाय)।

मुख्य बिंदु 7

प्रतिस्थापन विधि में एक चर का मान निकालकर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है।

मुख्य बिंदु 8

विलोपन विधि में गुणांकों को समान बनाकर एक चर को जोड़ या घटाकर विलुप्त किया जाता है।

मुख्य बिंदु 9

वज्र-गुणन विधि चक्रीय 2312 नियम पर आधारित त्वरित बीजीय सूत्र प्रदान करती है।

मुख्य बिंदु 10

वर्ड प्रॉब्लम्स में व्यावहारिक स्थितियों (आयु, भिन्न, संख्या $10x + y$, नाव-धारा $u \pm v$) को युगपत रैखिक समीकरणों में बदलकर हल किया जाता है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

$k$ के किस मान के लिए निम्न समीकरण निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
$$kx + 3y - (k - 3) = 0$$
$$12x + ky - k = 0$$

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: अपरिमित हलों की शर्त:
$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$
यहाँ $a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = -(k - 3)$ तथा $a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = -k$।
$$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{-(k - 3)}{-k} = \frac{k - 3}{k}$$
चरण 2: प्रथम दो अनुपातों से:
$$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \implies k^2 = 36 \implies k = \pm 6$$
चरण 3: दोनों मानों की जांच:
• यदि $k = 6$: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ तथा $\frac{6-3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$। सभी अनुपात समान हैं!
• यदि $k = -6$: $\frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$, किन्तु $\frac{-6-3}{-6} = \frac{3}{2}$। असंतुष्ट!
$$\mathbf{\text{उत्तर: } k = 6}$$
अनुपातों $k/12 = 3/k = (k-3)/k$ की तुलना कीजिए। $k = -6$ दूसरे अनुपात को संतुष्ट नहीं करता।

विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए:
$$0.2x + 0.3y = 1.3$$
$$0.4x + 0.5y = 2.3$$

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: दशमलव हटाने के लिए दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करने पर:
$$2x + 3y = 13 \quad \text{--- (1)}$$
$$4x + 5y = 23 \quad \text{--- (2)}$$
चरण 2: समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर:
$$4x + 6y = 26 \quad \text{--- (3)}$$
चरण 3: (3) में से (2) घटाने पर:
$$(4x + 6y) - (4x + 5y) = 26 - 23 \implies y = \mathbf{3}$$
चरण 4: $y = 3$ का मान (1) में रखने पर:
$$2x + 3(3) = 13 \implies 2x + 9 = 13 \implies 2x = 4 \implies x = \mathbf{2}$$
$$\mathbf{\text{उत्तर: } x = 2, \quad y = 3}$$
पहले 10 से गुणा करके पूर्णांक गुणांकों में बदलिए।

जांच कीजिए कि समीकरण युग्म $2x - 3y = 8$ तथा $4x - 6y = 9$ संगत है या असंगत?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: मानक रूप में लिखने पर:
$2x - 3y - 8 = 0 \implies a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = -8$
$4x - 6y - 9 = 0 \implies a_2 = 4, b_2 = -6, c_2 = -9$
अनुपातों की तुलना:
$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
$$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$$
$$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-9} = \frac{8}{9}$$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है, अतः रेखाएँ समानांतर हैं।
$$\mathbf{\text{उत्तर: इस निकाय का कोई हल नहीं है, अतः यह असंगत (Inconsistent) है।}}$$
जाँचिए कि $a_1/a_2 = b_1/b_2 \neq c_1/c_2$ है या नहीं।

5 वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की 3 गुनी थी। 10 वर्ष पश्चात नूरी की आयु सोनू की आयु की 2 गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: माना नूरी की वर्तमान आयु $= x$ वर्ष, तथा सोनू की $= y$ वर्ष।
शर्त 1 (5 वर्ष पूर्व):
$$(x - 5) = 3(y - 5) \implies x - 5 = 3y - 15 \implies x - 3y = -10 \quad \text{--- (1)}$$
शर्त 2 (10 वर्ष बाद):
$$(x + 10) = 2(y + 10) \implies x + 10 = 2y + 20 \implies x - 2y = 10 \quad \text{--- (2)}$$
(2) में से (1) घटाने पर:
$$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10) \implies y = \mathbf{20}$$
$y = 20$ का मान (2) में रखने पर:
$$x - 2(20) = 10 \implies x - 40 = 10 \implies x = \mathbf{50}$$
$$\mathbf{\text{उत्तर: नूरी की वर्तमान आयु } 50 \text{ वर्ष तथा सोनू की } 20 \text{ वर्ष है।}}$$
5 वर्ष पूर्व: $(x-5)=3(y-5)$; 10 वर्ष बाद: $(x+10)=2(y+10)$।

$x$ और $y$ के लिए हल कीजिए (रैखिक रूप में बदलने योग्य):
$$\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{y}} = 2$$
$$\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{9}{\sqrt{y}} = -1$$

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: माना $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$ तथा $v = \frac{1}{\sqrt{y}}$:
$$2u + 3v = 2 \quad \text{--- (1)}$$
$$4u - 9v = -1 \quad \text{--- (2)}$$
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर:
$$6u + 9v = 6 \quad \text{--- (3)}$$
(2) और (3) को जोड़ने पर:
$$10u = 5 \implies u = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$
$u = \frac{1}{2}$ को (1) में रखने पर:
$$2\left(\frac{1}{2}\right) + 3v = 2 \implies 1 + 3v = 2 \implies 3v = 1 \implies v = \frac{1}{3}$$
चूंकि $u = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 2^2 = \mathbf{4}$।
चूंकि $v = \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{y} = 3 \implies y = 3^2 = \mathbf{9}$।
$$\mathbf{\text{उत्तर: } x = 4, \quad y = 9}$$
$u = 1/\sqrt{x}$ और $v = 1/\sqrt{y}$ मानकर हल कीजिए, फिर वर्ग कर दीजिए।

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह $\frac{9}{11}$ हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह $\frac{5}{6}$ हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: माना अंश $= x$ तथा हर $= y$। भिन्न $= \frac{x}{y}$।
शर्त 1: $\frac{x + 2}{y + 2} = \frac{9}{11} \implies 11(x + 2) = 9(y + 2) \implies 11x - 9y = -4 \quad \text{--- (1)}$
शर्त 2: $\frac{x + 3}{y + 3} = \frac{5}{6} \implies 6(x + 3) = 5(y + 3) \implies 6x - 5y = -3 \quad \text{--- (2)}$
(1) को 5 से तथा (2) को 9 से गुणा करने पर:
$$55x - 45y = -20 \quad \text{--- (3)}$$
$$54x - 45y = -27 \quad \text{--- (4)}$$
(3) में से (4) घटाने पर: $x = -20 - (-27) = \mathbf{7}$।
$x = 7$ को (2) में रखने पर: $6(7) - 5y = -3 \implies 42 - 5y = -3 \implies 5y = 45 \implies y = \mathbf{9}$।
$$\mathbf{\text{उत्तर: अभीष्ट भिन्न } \frac{7}{9} \text{ है।}}$$
$(x+2)/(y+2)=9/11$ तथा $(x+3)/(y+3)=5/6$ को तिरछा गुणा करके दो समीकरण बनाइए।

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