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Class X
Mathematics (211)
अध्याय 25: केन्द्रीय प्रवृत्ति के उपाय (Measures of Central Tendency)

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NIOS • कक्षा X • Mathematics (211) • अध्याय 25

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

केन्द्रीय प्रवृत्ति के उपाय (Measures of Central Tendency)

सांख्यिकी (सांख्यिकी) गणित की वह अत्यंत व्यावहारिक और जीवनोपयोगी शाखा है जो विभिन्न संसाधनों से संख्यात्मक आँकड़े (संख्यात्मक डेटा) का संग्रह, सारणी, सारणी, विश्लेषण और निष्कर्ष का निष्कर्षण अध्ययन करती है। आधुनिक युग में पोल के समुद्र के आधार, विश्वसनीयता, क्रिकेट मैचों में खिलाड़ियों की स्ट्राइक रेटिंग और प्रतिष्ठा, चुनाव के सिद्धांत, चिकित्सा अनुसंधान और आर्थिक समन्वय के सिद्धांतों की केंद्रीय भूमिका है। कक्षा 9वीं में हमने अवर्गीकृत आंकड़े (अनग्रुप्ड डेटा) के केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (मध्य, माध्यमिक और बहुलक) और बारंबारता बहुभुज और आयत का अध्ययन किया था। कक्षा 10वीं में हम एक अधिक वैज्ञानिक और वास्तविक कार्यप्रणाली-वर्गीकृत बारंबारता खंडन (समूहीकृत आवृत्ति वितरण)-केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन माप प्रमुखों (केंद्रीय प्रवृत्ति के माप) का गहन अध्ययन करते हैं: मध्य (मीन - $\bar{x}$): सभी प्रेक्षणों के मानों का भारत औसत। इसे जानने की तीन विधियाँ हैं: प्रत्यक्ष विधि (प्रत्यक्ष विधि): $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ कल्पित माध्य विधि (कल्पित माध्य विधि): $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$ पद-विचलन विधि (चरण-विचलन विधि): $\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h$ बहुलक (मोड): वह बारम्बार्टा के सामने प्रस्तुत होता है: $$\text{बहुलक} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$$ मध्यक (मीडियन):मध्यम प्रदेश का मान जो आँकड़ों को दो समान भागों में विभाजित करता है: $$\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$$ आनुभविक संबंध (अनुभवजन्य संबंध): $$3 \times \text{माध्यक} = \text{बहुलक} + 2 \times \text{माध्य}$$ झारखंड अधिविद्य परिषद (एनआईओएस कक्षा 10) के बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय से 6 से 8 अंक के प्रश्न पूछे जाते हैं, जिसमें 5 अंक का एक दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (जैसे अज्ञात बारंबार्टा $x$ और $y$ ज्ञात करना या माध्यमिक/बहुलक अध्ययन) अनिवार्य रूप से आता है।

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📊 क्या आपने कभी सोचा है: क्रीमिया युद्ध में तोपों और बंदूकों से नहीं, बल्कि एक नर्स के सांख्यिकीय ग्राफ से हजारों सैनिकों की जानें कैसे बची थीं?

जरा सोचिए: 1854 में जब क्रीमिया का भीषण युद्ध चल रहा था, तब ब्रिटिश सेना के हजारों सैनिक घायल हो गए थे और सैन्य भर्ती में भर्ती हो रहे थे। लेकिन युद्ध में गोली लगने वाले सैनिक मर रहे थे, उन 10 गुना से अधिक सैनिकों की गंदगी, संक्रमण और हज से मर रहे थे!

वहां काम करने वाली एक युवा ब्रिटिश नर्स फ्लोरेंस नाइटिंगेल (फ्लोरेंस नाइटिंगेल)—जिन्हें दुनिया 'द लेडी विद द लैंप' के नाम से पहचाना जाता है—केवल एक दयालु नर्स ही नहीं थी, बल्कि दिव्य एक सिताराविद (सांख्यिकीविद) भी थी!

नाइटिंगेल ने मरने वाले सैनिकों के आंकड़ों को पहली बार ब्रिटिश संसद के रूप में एक रंगीन वृत्ताकार स्केच (ध्रुवीय क्षेत्र आरेख या कॉक्सकॉम्ब) के रूप में प्रस्तुत किया। उस ग्राफ़ ने संसद के नेताओं को हिलाकर रख दिया—साफ देख रहे थे कि सैनिक युद्ध से नहीं बल्कि अस्पताल की जयंती से मर रहे थे! इंस्टेंट सेना के सभी बुनियादी ढांचे में स्वतंत्रता की नई लागू की गई और मृत्यु दर 42% से विनाश 2% जारी किया गया!

केवल प्रोटोटाइप का खेल नहीं है—यह मानव जीवन की रक्षा करना और सही निर्णय लेना का सबसे शक्तिशाली विज्ञान है! आइए, इस अध्याय में आंकड़ों की शक्ति को स्वीकार करें!

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

इस अध्याय का अध्ययन आपके लिए क्यों आवश्यक है?

बोर्ड परीक्षा में 6-8 अंक का महान योगदान: एनआईओएस कक्षा 10वीं बोर्ड परीक्षा में मध्यम, माध्यमिक, एकाधिक और अणुभाविक संबंध पर 1 अंक, 3 अंक और 5 अंक के प्रश्न आते हैं।
अज्ञात बारंबारता ($x, y$) का 5 अंक प्रश्न: जब माध्यमिक दिया हो (जैसे 28.5) और अज्ञात बारंबारता प्रश्न, तो यह एनआईओएस बोर्ड का सबसे लोकप्रिय और सर्वोच्च अंक वाला प्रश्न होता है।
डेटा साइंस (डेटा साइंस) और एआई की खोज: आज की डिजिटल दुनिया में आर्टिफिशियल साइंस (एआई), मशीन लर्निंग और बिग डेटा एना लिटिक्स प्रोजेक्ट के गहन अध्ययन सिद्धांतों पर काम करते हैं।
प्रतियोगी परीक्षाओं का अनिवार्य भाग: यूपीएससी, एसएससी, रेलवे, नेटवर्क और प्रबंधन प्रवेश परीक्षा (सीएटी/एमएटी) में डेटा इंटरप्रिटेशन (डीआई) का 100% बेस्ड प्लान ही है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

कक्षा 9वीं के अवर्गीकृत आंकड़ों के माध्य, माध्यक और बहुलक की समझ।
वर्ग अंतराल (वर्ग अंतराल): निचली सीमा (निचली सीमा - $l$) और उच्च सीमा (ऊपरी सीमा - $u$)।
वर्ग माप या वर्ग आकार (वर्ग आकार): $h = u - l$।
वर्ग चिन्ह (वर्ग चिह्न): $x_i = \frac{u + l}{2}$ (वर्ग का मध्य-मान)।
बीजगणितीय दो चरों वाले रैखिक समीकरणों को हल करने की क्षमता।

इस अध्याय के लक्ष्य

वर्गीकृत बारंबारता सारणी से वर्ग चिह्न ($x_i$), कल्पित विचलन ($d_i$) तथा पद-विचलन ($u_i$) की सही गणना कर सकेंगे।
माध्य निकालने की तीनों विधियों (प्रत्यक्ष, कल्पित माध्य, पद-विचलन) का उपयुक्त चयन एवं सटीक अनुप्रयोग कर सकेंगे।
बहुलक वर्ग की पहचान कर बहुलक सूत्र द्वारा सटीक मान ज्ञात कर सकेंगे।
सारणी बारंबारता ($cf$) सारणी बनी माध्यमिक वर्ग की पहचान और मध्यमा की गणना कर फ़ुट।
जब कुल बारंबारता और माध्यक ज्ञात हों, तो अज्ञात बारंबारताओं ($x$ और $y$) का मान निकाल सकेंगे।
केंद्रीय के त्रिगुण मापों के नाभिकीय संबंध ($3 \text{ Median} = \text{Mode} + 2 \text{ Mean}$) का प्रयोग कर 1 अंक के नमूने को हल कर दिया गया।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. सांख्यिकी की संकल्पना, बारंबारता...

2 2. आँकड़ों का मध्य (मीन - x̄) आँकड़...

3 3. आँसा का बहुलक (मोड) एवं बहुलक वर...

4 4. आँचल का औसत (मीडियन) एवं संग्रही...

5 5. आनुभविक संबंध एवं अज्ञात बारंबार...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. सांख्यिकी की संकल्पना, बारंबारता बंटन एवं वर्ग चिह्न (x_i)

(के) एश बारांबार्टा बख्तन की मूल खोज:

वर्ग अंतरवल (कक्षा अंतराल): आंकड़ों को स्थापित करने के लिए बनाए गए समूह, जैसे $10 - 20, 20 - 30, 30 - 40$ आदि।
निम्न वर्ग सीमा (निचली सीमा - $l$): वर्ग अंतर की न्यूनतम संख्या (जैसे $20 - 30$ में $l = 20$).
उच्च वर्ग सीमा (ऊपरी सीमा - $u$): वर्ग अंतर की अधिकतम संख्या (जैसे $20 - 30$ में $u = 30$).
वर्ग माप / वर्ग माप (वर्ग आकार - $h$): उच्च सीमा और निम्न सीमा का अंतर: $$\mathbf{h = u - l}$$ (जैसे $20 - 30$ में $h = 30 - 20 = 10$).
वर्ग वर्गीकरण (वर्ग चिह्न - $x_i$): किसी वर्ग का अंतर मध्य-मान (मध्य-बिंदु): $$\mathbf{x_i = \frac{\text{उच्च वर्ग सीमा} + \text{निम्न वर्ग सीमा}}{2}}$$ (जैसे $20 - 30$ का $x_i = \frac{20 + 30}{2} = 25$).

अति महत्वपूर्ण सततता नियम (निरंतर अंतराल):
माध्यमिक और बहुलक आकार वर्ग अंतरालों का सतत (निरंतर) होना अनिवार्य है (जैसे $10-20, 20-30$)। यदि अन्तर्निहित असातत होन (जैसे $1-10, 11-20, 21-30$), तो पहले निम्नतम सीमा में से $0.5$ घटा और उच्च सीमा में $0.5$ समग्र स्थिर ($0.5 - 10.5, 10.5 - 20.5$)।

2. आँकड़ों का मध्य (मीन - x̄) आँकड़ों की तीन विधियाँ

(क) विधि 1: प्रत्यक्ष विधि (प्रत्यक्ष विधि):

जब $f_i$ और $x_i$ के संख्यात्मक मन छोटा होन:

$$\mathbf{\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}}$$

(ख) विधि 2: कल्पित मध्य विधि (कल्पित माध्य विधि):

जब $x_i$ के मन बड़े हों, तो गणना को सरल बनाने के लिए $x_i$ के बीच में से किसी एक मन को कल्पित मध्य ($a$) मन लेते हैं, और दिव्य $d_i = x_i - a$ पढ़े हुए हैं:

$$\mathbf{\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}} \qquad (\text{जहाँ } d_i = x_i - a)$$

(जी) विधि 3: पद-विचलन विधि (चरण-विचलन विधि):

जब सार्वभौम महर्षियों $d_i$ में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड (वर्ग माप $h$) हो, तो $u_i = \frac{x_i - a}{h}$ मांग गणना को अत्यंत छोटा कर लिया जाता है:

$$\mathbf{\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h} \qquad \left(\text{जहाँ } u_i = \frac{x_i - a}{h}\right)$$

3. आँसा का बहुलक (मोड) एवं बहुलक वर्ग

(क) बहुलक वर्ग (मोडल वर्ग) की पहचान:

जिस वर्ग अंतराल की बारंबारता सबसे अधिक (अधिकतम) होती है, उसे बहुलक वर्ग कहते हैं।

बहुलक सूत्र (जेएसी 3-5 अंक अनिवार्य):

$$\mathbf{\text{बहुलक} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h}$$ कहाँ:

$l$ = बहुलक वर्ग की निम्नतम सीमा (निचली सीमा)
$h$ = वर्ग अंतर का आकार (वर्ग आकार)
$f_1$ = बहुलक वर्ग की बारंबारता (अधिकतम बारंबारता)
$f_0$ = बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारम्बारता
$f_2$ = बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता

याद रखने की ट्रिक: संख्या क्रम $0, 1, 2$ याद रखें—$f_0$ पहले आता है, $f_1$ मुख्य हीरो है, और $f_2$ बाद में आता है!

4. आँचल का औसत (मीडियन) एवं संग्रही बारम्बारता (cf)

(के) संचयी बारंबारता (संचयी आवृत्ति - सीएफ) एवं माध्यमिक वर्ग:

बारंबार्टा ($cf$) का निबंध
कुल बारम्बारता $N = \sum f_i$ का आधा $\frac{N}{2}$ पता चला.
वह वर्ग चतुर्थ श्रेणी आर्काइव बारम्बारता $\frac{N}{2}$ से ठीक बड़ी हो, उसे माध्यक वर्ग (मीडियन क्लास) कहते हैं।

माध्यक सूत्र (JAC 3-5 अंक):

$$\mathbf{\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h}$$ कहाँ:

$l$ = मध्यक वर्ग की निम्न सीमा
$N$ = कुल बारंबारता (प्रेक्षणों की कुल संख्या $\sum f_i$)
$cf$ = माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की परिधि बारम्बारता (अति महत्वपूर्ण!)
$f$ = माध्यमिक वर्ग की सामान्य अपनी बारम्बारता
$h$ = वर्ग आकार

5. आनुभविक संबंध एवं अज्ञात बारंबारता (x, y) ज्ञात करने की मास्टर कार्यनीति

(के) केंद्र की प्रवृत्ति के मापों के बीच अनुभवजन्य संबंध (अनुभवजन्य संबंध):

$$\mathbf{3 \times \text{माध्यक} = \text{बहुलक} + 2 \times \text{माध्य}}$$ $$\mathbf{3 \text{ Median} = \text{Mode} + 2 \text{ Mean}}$$ JAC 1 अंक नियम: यदि किन्हीं दो मापों का मान दिया जाता है (जैसे मध्य $= 20$, बहुलक $= 14$), तो तीसरा माप सीधे इस सूत्र से निकाला जाता है: $3 \text{ Median} = 14 + 2(20) = 54 \implies \text{Median} = 18$।

(ख) अज्ञात बारंबार्टा ($x$ और $y$) ड्रेन का 5-अंकीय ब्लूप्रिंट:

समीकरण 1 (कुल बारंबारता से): सभी बारंबार्ताओं के योग दिए गए कुल $N$ के समान स्थान: $$\sum f_i = A + x + y = N \implies x + y = N - A$$
समीकरण 2 (माध्यक सूत्र से): नीचे दिए गए माध्यक मान (जैसे $28.5$) को देखकर सीधे पहचानें कि यह कौन सा वर्ग अंतराल में आता है (जैसे $20 - 30$ में)। आपका माध्यमिक वर्ग क्या होगा! फिर माध्याक सूत्र में मन बाँध $x$ का मन निकाला लें।
$x$ का मन गुणांक (1) में $y$ का मन प्राप्त कर लें।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

वर्ग आकार (वर्ग चिह्न)

x_i = (उच्च सीमा + निम्न सीमा) / 2

माध्य (प्रत्यक्ष विधि)

$$x̄ = (Σ f_i x_i) / (Σ f_i)$$

माध्य (कल्पित माध्य विधि)

x̄ = a + (Σ f_i d_i) / (Σ f_i) [जहाँ d_i = x_i - a]

माध्य (पद-विचलन विधि)

x̄ = a + [ (Σ f_i u_i) / (Σ f_i) ] × h [जहाँ u_i = (x_i - a)/h]

बहुलक (मोड) सूत्र

बहुलक = l + [ (f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂) ] × h

माध्यक (माध्यिका) सूत्र

माध्यक = l + [ (N/2 - cf) / f ] × h

अनुभविक संबंध (अनुभवजन्य संबंध)

3 Median = Mode + 2 Mean (3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य)

बहुलक का आनुभविक सूत्र

बहुलक = 3 माध्यक - 2 माध्य

वर्ग आकार (वर्ग आकार)

h = उच्च सीमा - निम्न सीमा

कुल बारंबारता

$$N = Σ f_i$$

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

उदा 1. एक विशेष वर्ष में किसी भी अस्पताल में भर्ती हुए नागालैंड की आयु को देखें। बहुगुणित ज्ञात आयु: आयु (वर्षों में): 5-15 (6), 15-25 (11), 25-35 (21), 35-45 (23), 45-55 (14), 55-65 (5)। (जेएसी 2020, 2023 - 3 अंक)

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: बहुक वर्ग की पहचान करें:
मुख्य बारंबारता $23$ है, जो वर्ग अंतर्वस्तु $35 - 45$ की है।
मूलतः बहुलक वर्ग $= 35 - 45$ है।

चरण 2: सभी मान लिपि:
निम्नतम सीमा $l = 35$
वर्ग आकार $h = 45 - 35 = 10$
बहुलक वर्ग की बारम्बारता $f_1 = 23$
ठीक पहले वर्ग की बारम्बारता $f_0 = 21$
ठीक बाद वाले वर्ग की बारम्बारता $f_2 = 14$

चरण 3: बहुवचन सूत्र लागू करें:
$$\text{बहुलक} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$$ $$= 35 + \left( \frac{23 - 21}{2(23) - 21 - 14} \right) \times 10$$ $$= 35 + \left( \frac{2}{46 - 35} \right) \times 10$$ $$= 35 + \frac{20}{11} = 35 + 1.82 = 36.82 \text{ वर्ष}$$
उत्तर: समुद्र तट की आयु का बाढ़ 36.82 वर्ष है।

उदाहरण 2

उदा 2. यदि नीचे दिए गए विभाजन का माध्यक 28.5 हो, तो x और y के मान ज्ञात दो, जबकि कुल बारंबारता 60 है: वर्ग अंतर: 0-10 (5), 10-20 (x), 20-30 (20), 30-40 (15), 40-50 (y), 50-60 (5)। (जेएसी बोर्ड 5 अंक अनिवार्य प्रश्न)

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: संग्राही बारंबारता (सीएफ) सारणी धारा:
• $0 - 10$: $f = 5 \implies cf = 5$
• $10 - 20$: $f = x \implies cf = 5 + x$
• $20 - 30$: $f = 20 \implies cf = 25 + x$
• $30 - 40$: $f = 15 \implies cf = 40 + x$
• $40 - 50$: $f = y \implies cf = 40 + x + y$
• $50 - 60$: $f = 5 \implies cf = 45 + x + y$

चरण 2: प्वाइंट (1) जारी:
कुल बारम्बारता $N = 60$ जारी किया गया है:
$$45 + x + y = 60 \implies x + y = 60 - 45 = 15 \quad \text{--- (समीकरण 1)}$$
चरण 3: मध्यक वर्ग की पहचान करें:
माध्यमिक $= 28.5$ दिया गया है, जो वर्ग अंतर $20 - 30$ में स्थित है!
मूलतः माध्यमिक वर्ग $= 20 - 30$ है।
$l = 20, \quad h = 10, \quad f = 20, \quad cf = 5 + x, \quad \frac{N}{2} = \frac{60}{2} = 30$

चरण 4: माध्यक सूत्र से x प्रारंभ:
$$\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$$ $$28.5 = 20 + \left( \frac{30 - (5 + x)}{20} \right) \times 10$$ $$28.5 - 20 = \frac{25 - x}{2}$$ $$8.5 = \frac{25 - x}{2}$$ $$17 = 25 - x \implies x = 25 - 17 = 8$$
चरण 5: y का मान ज्ञात करें:
$x = 8$ का मान गुणांक (1) पर रखें:
$$8 + y = 15 \implies y = 15 - 8 = 7$$
उत्तर: अज्ञात बारंबारता के मान x = 8 तथा y = 7 हैं।

उदाहरण 3

उदा 3. बाद में बारंबारता के मान की प्रत्यक्ष विधि या कल्पित माध्य विधि मध्य ज्ञात किग द्वारा: वर्गामृत: 10-25 (2), 25-40 (3), 40-55 (7), 55-70 (6), 70-85 (6), 85-100 (6)। (एनसीईआरटी/जेएसी 2019, 2022 - 4 अंक)

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: वर्ग निर्धारण (x_i) और गुणनफल की सारणी निर्देश:
• $10 - 25$: $x_1 = 17.5, \; f_1 = 2, \; f_1 x_1 = 35.0$
• $25 - 40$: $x_2 = 32.5, \; f_2 = 3, \; f_2 x_2 = 97.5$
• $40 - 55$: $x_3 = 47.5, \; f_3 = 7, \; f_3 x_3 = 332.5$
• $55 - 70$: $x_4 = 62.5, \; f_4 = 6, \; f_4 x_4 = 375.0$
• $70 - 85$: $x_5 = 77.5, \; f_5 = 6, \; f_5 x_5 = 465.0$
• $85 - 100$: $x_6 = 92.5, \; f_6 = 6, \; f_6 x_6 = 555.0$

चरण 2: योगफल ज्ञात करें:
$$\sum f_i = 2 + 3 + 7 + 6 + 6 + 6 = 30$$ $$\sum f_i x_i = 35.0 + 97.5 + 332.5 + 375.0 + 465.0 + 555.0 = 1860.0$$
चरण 3: प्रत्यक्ष विधि से मध्य आरंभ:
$$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{1860}{30} = 62$$
उत्तर: कथा का मध्य 62 है।

उदाहरण 4

उदा 4. किसन बंटन का मध्य 24 और बहुवचन 12 है। आनुभविक संबंध का प्रयोग करके इसे माध्याक कहा जाता है। (जेएसी 2021, 2024 - 2 अंक)

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: दिए गए मान:
मध्य (मीन) $= 24$
एकाधिक (मोड) $= 12$

चरण 2: अणुभाविक सूत्र लागू करें:
$$3 \times \text{माध्यक} = \text{बहुलक} + 2 \times \text{माध्य}$$ $$3 \times \text{माध्यक} = 12 + 2(24)$$ $$3 \times \text{माध्यक} = 12 + 48 = 60$$ $$\text{माध्यक} = \frac{60}{3} = 20$$
उत्तर: बंटन का माध्यमिक 20 है।

उदाहरण 5

उदा 5. निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यमिक ज्ञात अंक: 20-30 (4), 30-40 (12), 40-50 (20), 50-60 (10), 60-70 (4)। (JAC 2018, 2023 - 4 अंक)

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: सर्गी बारंबारता (cf) सारणी धारा:
• $20 - 30$: $f = 4, \quad cf = 4$
• $30 - 40$: $f = 12, \quad cf = 16$
• $40 - 50$: $f = 20, \quad cf = 36$
• $50 - 60$: $f = 10, \quad cf = 46$
• $60 - 70$: $f = 4, \quad cf = 50$

चरण 2: माध्यमिक वर्ग की पहचान:
कुल बारम्बारता $N = 50 \implies \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25$.
$25$ से ठीक बड़ी संग्रहणी बारंबारता $36$ है, जो वर्ग अंतर $40 - 50$ की है।
मूलतः माध्यमिक वर्ग $= 40 - 50$ है।
$l = 40, \quad h = 10, \quad f = 20, \quad cf = 16$ (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वर्ग की संरक्षणी बारम्बारता)

चरण 3: सूत्र लागू करें:
$$\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$$ $$= 40 + \left( \frac{25 - 16}{20} \right) \times 10$$ $$= 40 + \frac{9}{20} \times 10 = 40 + \frac{9}{2} = 40 + 4.5 = 44.5$$
उत्तर: अंक का माध्याक 44.5 है।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

माध्ययक सूत्र में cf का मन माध्याक वर्ग की ही सती बारम्बारता ले लेना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

सूत्र में cf विश्वसनीय माध्यक वर्ग से पहले ठीक वाले वर्ग की आवर्ती बारम्बारता होती है, जबकि f माध्याक वर्ग की ओन माध्याक वर्ग की ही सविधि बारम्बारता होती है। होता है।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

बहुलक सूत्र में 2f₁ के स्थान पर केवल f₁ लिख देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

हर में 2f₁ - f₀ - f₂ होता है। 2 से गुणा करना न भूलें।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

अज्ञात बारंबारता (x, y) वाले प्रश्न में माध्यक वर्ग खोजने के लिए N/2 का उपयोग करना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

जब माध्यक का मान पहले से दिया हो (जैसे 28.5), तो माध्यक वर्ग सीधे वर्ग अंतरालों को देखकर चुना जाता है (28.5 वर्ग 20-30 में आता है)।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

आनुभविक संबंध में 3 माध्य = बहुलक + 2 माध्यिका लिखना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

सही सूत्र 3 माध्य = बहुलक + 2 माध्य (3 माध्य = बहुलक + 2 माध्य)।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

असतत अंतरालों (1-10, 11-20) को बिना सतत बनाए सीधे l का मान ले लेना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

पहले 0.5 घटाकर और जोड़कर सतत (0.5-10.5, 10.5-20.5) बनाएं, तभी l का सही मान मिलेगा।

सांख्यिकी - माध्य, बहुलक, माध्यक एवं आनुभविक संबंध संकल्पना मानचित्र

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

वर्गांक (वर्ग चिह्न) x_i = (उच्च सीमा + निम्न सीमा) / 2 होता है।

मुख्य बिंदु 2

प्रत्यक्ष विधि से माध्य: x̄ = (Σ f_i x_i) / (Σ f_i)।

मुख्य बिंदु 3

कल्पित माध्य विधि से माध्य: x̄ = a + (Σ f_i d_i) / (Σ f_i) (जहाँ d_i = x_i - a)।

मुख्य बिंदु 4

पद-विचलन विधि: x̄ = a + [(Σ f_i u_i)/(Σ f_i)] × h (जहाँ u_i = (x_i - a)/h)।

मुख्य बिंदु 5

बहुलक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जिसकी बारंबारता अधिकतम (f₁) होती है।

मुख्य बिंदु 6

बहुलक = l + [(f₁ - f₀)/(2f₁ - f₀ - f₂)] × h।

मुख्य बिंदु 7

माध्यक वर्ग वह वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता N/2 से ठीक बड़ी होती है।

मुख्य बिंदु 8

मध्यक = l + [(N/2 - cf)/f] × h (जहाँ cf पूर्व वर्ग की संरक्षी बारंबारता है)।

मुख्य बिंदु 9

आनुभविक संबंध: 3 × माध्य = बहुलक + 2 × माध्य (3 माध्य = बहुल + 2 माध्य)।

मुख्य बिंदु 10

अज्ञात बारंबारताएं निकालने के लिए एक समीकरण Σf = N से और दूसरा माध्यक सूत्र से बनता है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1. वर्ग अंतराल 30 - 50 का वर्ग चिह्न और वर्ग माप क्या होगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: वर्ग चिह्न x_i = (30 + 50)/2 = 40; वर्ग माप h = 50 - 30 = 20।

2. यदि किसी बंटन का माध्य 15 और माध्यक 16 हो, तो उसका बहुलक क्या होगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: बहुलक = 3 माध्यक - 2 माध्य = 3(16) - 2(15) = 48 - 30 = 18।

3. बहुलक सूत्र में f₀ किसका प्रतिनिधित्व करता है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता का।

4. यदि Σ f_i = 20 और Σ f_i x_i = 400 हो, तो प्रत्यक्ष विधि से माध्य क्या होगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: x̄ = 400 / 20 = 20।

5. माध्यक ज्ञात करने के लिए किस प्रकार की बारंबारता सारणी बनाई जाती है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: संचयी बारंबारता (संचयी आवृत्ति - सीएफ) सारणी।

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