संख्या पद्धति (Number Systems)

एक संख्या $r$ को परिमेय संख्या (परिमेय संख्या) कहा जाता है यदि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहां $p$ और $q$ दोनों पूर्णांक (पूर्णांक) हैं और $q \ne 0$ है।

विशेष ध्यानयोग्य तथ्य:

• शुन्य (0) एक प्राथमिक संख्या है: क्योंकि इसे $0 = \frac{0}{1} = \frac{0}{5} = \frac{0}{-8}$ के रूप में लिखा जा सकता है (यहाँ $p=0, q=1 \ne 0$).
• प्रत्येक प्राकृत संख्या, पूर्ण संख्या और पूर्णांक एक प्राइमेय संख्या है: कोई भी पूर्णांक $m$ को $m = \frac{m}{1}$ लिखा जा सकता है।
• तुल्यकालिक परिमेय संख्याएँ (समतुल्य परिमेय संख्याएँ): $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{10}{20} = \frac{25}{50}$। रेखा पर निरूपित करते समय हम सदैव सरलतम (मानक) रूप का चयन करते हैं, जहाँ $p$ और $q$ एकता सह-अभाज्य (सह-प्रधान) होते हैं (अर्थात् $\text{HCF}(p, q) = 1$)।

किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याएं $a$ और $b$ के बीच अनंत (असीम अनेक) परिमेय संख्याएं स्थित हैं। ज्ञात करने की दो प्रमुख विधियाँ हैं:

विधि 1: समान हर विधि (सामान्य भाजक विधि - गति एवं अधिकतम विधि)
अगर हमें $a$ और $b$ के बीच $n$ प्राइमे संख्याएँ ज्ञात होती हैं, तो हम दोनों दिग्गजों के हिस्से और हर में $(n+1)$ से बढ़कर हर को समान बनाते हैं।
उदाहरण: $3$ और $4$ के बीच $6$ प्राइमेय संख्याएँ ज्ञात किग।
यहाँ $n = 6 \implies n+1 = 7$.
$$3 = \frac{3 \times 7}{1 \times 7} = \frac{21}{7}, \quad 4 = \frac{4 \times 7}{1 \times 7} = \frac{28}{7}$$ मूलतः $21/7$ और $28/7$ के बीच की 6 संख्याएँ शामिल हैं: $$\frac{22}{7}, \frac{23}{7}, \frac{24}{7}, \frac{25}{7}, \frac{26}{7}, \frac{27}{7}$$

विधि 2: मध्य विधि (मीन विधि)
किन्हें दो प्रमुख $a$ और $b$ के बीच की संख्या $\frac{a + b}{2}$ है। इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराकर वांछित संख्या प्राप्त हो सकती है।

वास्तविक भंडार के दशमलव प्रकाशन को मुख्यतः तीन स्थानों में विभाजित किया गया है:

स्वर्ण नियम: एक संख्या परमेय संख्या होती है यदि और केवल यदि उसका दशमलव प्रचार संत हो या अशांत आविद्या हो!

अशांत आविद्या दशमलव (जैसे $0.\bar{6}$ या $1.2\overline{35}$) को $\frac{p}{q}$ भिन्न रूप में शामिल करने के लिए उन्नत मानक बीजगणितीय विधि अपनाई जाती है:

1. दी गई संख्या को चार $x$ के बराबर मानिये: $x = 0.6666\dots$ (समीकरण 1).
2. जाँचिए कि दशमलव बिंदु के बाद कितने बिंदु पर बार (आवर्तता) है। यदि $1$ अंक दुगने हैं तो $10$ से, यदि $2$ अंक दुगने हैं तो $100$ से, और यदि $k$ अंक दुगने हैं तो $10^k$ से दोनों में वृद्धि होगी।
3. नए गुणांक में से मूल गुणांक को घटा दिया गया ताकि दशमलव के बाद का अनंत आवर्ती भाग पूर्णत: रद्द (रद्द) हो जाए।
4. प्राप्त गुणांक को हल करके $x = \frac{p}{q}$ का मन ज्ञात कि और उसे सरलतम रूप में लिखें।

केस I: केवल एक अंक की चेतावनी ($0.\bar{6}$)
माना $x = 0.\bar{6} = 0.6666\dots$    --- (समीकरण 1)
यहां सिर्फ एक अंक ($6$) की शुरुआत हो रही है, मूलतः दोनों अंक को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 6.6666\dots$    --- (समीकरण 2)
गुणांक (2) में से गुणांक (1) को अनुपात:
$$10x - x = (6.6666\dots) - (0.6666\dots)$$ $$9x = 6 \implies x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$ मूलतः $0.\bar{6} = \frac{2}{3}$.

केस II: मिश्रित अशांत अविद्या दशमलव ($0.2\overline{35}$)
माना $x = 0.2\overline{35} = 0.2353535\dots$    --- (समीकरण 1)
प्रथम, उस अंक को दशमलव से पहले ला जो डबल नहीं हो रहा है ($1$ अंक $2$ है), मूलतः $10$ से गुणा करें:
$10x = 2.353535\dots$    --- (समीकरण 2)
अब दो अंक ($35$) डबल रह रहे हैं, मूलांक (2) को $100$ से गुणा करें:
$1000x = 235.353535\dots$    --- (समीकरण 3)
गुणांक (3) में से गुणांक (2) को अनुपात:
$$1000x - 10x = (235.353535\dots) - (2.353535\dots)$$ $$990x = 233 \implies x = \frac{233}{990}$$ मूलतः $0.2\overline{35} = \frac{233}{990}$। (यह सह-आभाज्य है क्योंकि 233 एक अभाज्य संख्या है)।

वेहें संख्या संयोजन दशमलव प्रकाशन अशांत अनावर्ती (गैर-समाप्ति गैर-आवर्ती)होता है, अपरिमेय संख्याएं कहलाती हैं। वैसे कभी भी $\frac{p}{q}$ रूप में नहीं लिखा जा सकता.

प्रमुख उदाहरण:

• कोई भी अभाज्य संख्या $p$ का वर्गमूल $\sqrt{p}$ हमेशा एक अपरिमेय संख्या होती है (जैसे $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{11}$).
• पाई ($\pi$): वृत्त की परिक्रमा और उसके व्यास का अनुपात $\pi = \frac{C}{d}$ एक अपरिमेय संख्या है (लगभग $3.14159\dots$)। हम गणना की सुविधा $\pi \approx \frac{22}{7}$ या $3.14$ लेते हैं, लेकिन यह केवल सन्निकट (अनुमानित) मन है, वास्तविक मन नहीं। $\frac{22}{7}$ एक अपरिमेय संख्या है जबकि $\pi$ एक अपरिमेय संख्या है!

ग्रीक गणितज्ञों ने संख्या रेखा पर अपरिमेय वोवियनों को दर्शन के लिए पाइथागोरस प्राइमेय का अद्भुत कल्पित:

$\sqrt{2}$ का निरूपण (चरणबद्ध):

1. संख्या रेखा पर बिंदु $O$ (शून्य निरूपक) से $1 \text{ इकाई}$ की दूरी बिंदु $A$ लेन ($OA = 1$) पर.
2. बिन्दु $A$ एक लम्ब पर $AB = 1 \text{ इकाई}$ खींच।
3. बिन्दु $O$ और $B$ को मिलाते हैं। सैमकोन टेलीविज़न $\triangle OAB$ में पाइथागोरस प्राइमे से: $$OB^2 = OA^2 + AB^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies OB = \sqrt{2} \text{ इकाई}$$
4. प्रकार (कम्पास) की नोक को $O$ पर स्थान और त्रिज्या $OB$ लेकर संख्या रेखा पर एक चाप लगा देता है। जहां यह चाप संख्या रेखा को काटा जाता है (मान लेक प्वाइंट $P$), वह बिंदु $\sqrt{2} \approx 1.414$ को निरूपित करता है।

$\sqrt{5}$ का निरूपण:
आधार $OA = 2 \text{ इकाई}$ और लंब $AB = 1 \text{ इकाई}$ लें। टैब: $$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.236$$ $O$ केंद्र और $OB$ को लक्ष्य लक्ष्य संख्या लाइन पर चाप निर्धारण से बिंदु $\sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

वास्तविक परिमाण के योग, घटेव, गुण व भाग के सिस्टम नियम:

1. एक अपरिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का जोड़ या घटाव सदैव अपरिमेय होता है (उदा. $2 + \sqrt{3}$ अपरिमेय है)।
2. एक शून्येतर (गैर-शून्य) प्राइमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल या भागफल सदैव अपरिमेय होता है (उदा. $3\sqrt{2}$ और $\frac{5}{\sqrt{2}}$ अपरिमेय हैं)।
3. दो अपरिमेय वर्टिकल जोड का, घटाव, गुणा या भाग प्राइमेरी भी हो सकता है और अपरिमेय भी!
   • उदा. जोड़: $(\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}) = 0$ (पैरिमेय)। परंतु $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ (अपरिमे.).
   • उदा. गुणा: $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ (परिमे.)। परंतु $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ (अपरिमे.).

जब किसी भिन्न के हर (भाजक) में वर्गमूल या करणी (सूरद) युक्त पद हो, तो हर को एक प्राथमिक संख्या में परिवर्तन की प्रक्रिया को हर का परिमितीकरण कहा जाता है। इस संख्या का मन बदले बिना उसकी गणना, तुलना और संख्या रेखा पर स्थिति ज्ञात करना अत्यंत सरल हो जाता है।

संयुग्मी करणी (Conjugate Surd) का सिद्धांत:
हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का प्रयोग करते हैं:

• $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ का परिमयकारी गुणक (तर्कसंगत कारक) $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$होता है: $$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$$
• $(a + \sqrt{b})$ का परमेयकारी गुण $(a - \sqrt{b})$होता है: $$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$$

उदाहरण: $\frac{1}{7 + 3\sqrt{2}}$ के हर का अंतिम उपाय।
अंश और हर में $(7 - 3\sqrt{2})$ से गुणा करने पर: $$\frac{1}{7 + 3\sqrt{2}} \times \frac{7 - 3\sqrt{2}}{7 - 3\sqrt{2}} = \frac{7 - 3\sqrt{2}}{7^2 - (3\sqrt{2})^2} = \frac{7 - 3\sqrt{2}}{49 - 18} = \frac{7 - 3\sqrt{2}}{31}$$ यहां हर $31$ एक धनात्मक पूर्णांक (परिमेय) बन चुका है!

मान समूह $a > 0$ एक वास्तविक संख्या है तथा $p$ और $q$ प्राथमिक संख्याएँ हैं। टैब के बाद नियम हमेशा सत्य होते हैं: