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NIOS • कक्षा X • Mathematics (211) • अध्याय 20
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

समतल आकृतियों के परिमाप एवं क्षेत्रफल (Perimeters and Area)

दैनिक जीवन में हमारे चारों ओर के वृत्ताकार शिखरों की भरमार है-साइकिल के पहिये, गोल पिज्जा, दीवार घड़ी का डायल, चू सुई, वृत्ताकार दौड़ों का ट्रैक, खेत के चारों ओर के पृष्ठ और फूलों की वृत्ताकार क्यारियाँ। पिछली कक्षा में हमने वृत्तान्त की फिल्म और सामान्य फिल्म का अध्ययन किया था। कक्षा 10वीं में हम वृत्त के विशेष वृत्तांत का अध्ययन करते हैं। किसी भी वृत्त का केन्द्रीय कोण यदि $\theta$ हो, तो उस कोण द्वारा निर्देशित भाग का संपूर्ण वृत्तान्त का चित्र $\pi r^2$ का ठीक $\frac{\theta}{360^\circ}$ भाग होता है। इस अध्याय के मुख्य सिद्धांत आधारस्तंभ निम्नलिखित हैं: वृत्तान्त की फ़िल्में और फ़िल्में: $$\text{परिधि} = 2\pi r = \pi d, \qquad \text{क्षेत्रफल} = \pi r^2$$ तथा दो संकेंद्रीय वृत्तों के बीच का वलयकार भाग (रिंग/ट्रैक) $= \pi(R^2 - r^2)$। त्रिज्यखंड का मशाल चाप और उसकी लंबाई: दो त्रिखंड और उनके बीच के चाप से घड़ा क्षेत्र: $$\text{चाप की लंबाई } (l) = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r, \qquad \text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{2} l r$$ वृत्तखंड का चित्र: एक जीवा और सात चाप के बीच का क्षेत्र: $$\text{लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल} = \text{संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} - \text{संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल}$$ जहां फिल्म का फिल्मांकन $\frac{1}{2} r^2 \sin\theta$ सूत्र द्वारा सीधे ज्ञात किया जा सकता है। संयोजित शिखरों के छायांकित भाग (छायांकित क्षेत्र): वृत्तों, कब्रों, समबाहु टाइलों और आयतों के मेल से बनी जटिल डिजाइनों का ज्ञात करना। झारखंड अधिविद्य परिषद (एनआईओएस कक्षा 10) के बोर्ड परीक्षा में त्रिज्यखंड, वृत्तखंड और छायांकित भाग के फिल्मांकन पर 3 से 5 अंकों के प्रश्न विशिष्ट निश्चित रूप से पूछे जाते हैं।

🍕 क्या आपने कभी सोचा है: जब आप एक बड़े पिज्जा की एक स्लाइस काटते हैं, तो आप वास्तव में 2300 साल पुरानी यूनानी ज्यामिति का एक त्रिज्यखंड निकाल रहे होते हैं?

जरा सोचिए: जब आप अपने दोस्तों के साथ एक बड़ा 12 इंच का गोल पिज्जा बांटते हैं, तो केंद्र से किनारे तक दो सीधी रेखाएं कट जाती हैं। वह स्वादिष्ट पिज्जा गणित की दृष्टि से कोई साधारण टुकड़ा नहीं है—वह एक शुद्ध त्रिज्यखंड (सेक्टर) है!

और यदि कोई दावा के केवल कुरकुरे किनारे (क्रस्ट) को खा जाता है, तो वह वास्तव में चाप की लंबाई (आर्क की लंबाई) चबा रहा है! और यदि आप किनारे की क्रस्ट को एक सीधी रेखा में काटते हैं, तो जो छोटा त्रिकोण भाग अलग होगा वह वृत्तखंड (सेगमेंट) कहलाएगा!

2300 वर्ष पूर्व महान गणितज्ञ आर्किमिडीज (आर्किमिडीज) ने वृत्त के अंदर और बाहर 96 भुजाओं वाले बहुभुज बनाया पाया ($\pi$) का लगभग मान $\frac{22}{7}$ निकला था। आज कार के विंडशील्ड वाइपर को शीशा द्वारा साफ किया गया, घास के मैदान में खूंटे से बंधी गाय क्षेत्र द्वारा चराया गया, और दीवार घड़ी की सुई द्वारा 1 मिनट में कोने में बांध दिया गया- सब आर्किमिडीज़ के समान ट्राइजॉइड के निर्माण पर काम कर रहे हैं! आइये, इस अध्याय में वृत्तान्त के इन सुन्दर उदाहरण का निष्कर्ष निकालना सीखें!

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

इस अध्याय का अध्ययन आपके लिए क्यों अनिवार्य है?

  1. बोर्ड परीक्षा में 4-5 अंक पक्के: NIOS Class 10वीं गणित परीक्षा में "त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल", "वृत्तखंड का क्षेत्रफल" और "छायांकित भाग का क्षेत्रफल" पर दीर्घ उत्तरीय प्रश्न प्रतिवर्ष आते हैं।
  2. व्यावहारिक जीवन में इंजीनियरिंग एवं निर्माण: एथलेटिक्स ट्रैक का निर्माण, पार्क और फव्वारों की डिजाइनिंग, टाइल्स की पैटर्न डिजाइनिंग और कपड़े की बुनाई में वृत्तखंडों के क्षेत्रफल की सीधी गणना होती है।
  3. कृषि एवं सिंचाई प्रणाली: गोल घूमने वाले आधुनिक स्प्रिंकलर (Center Pivot Irrigation) खेतों में एक त्रिज्यखंड के रूप में ही पानी छिड़कते हैं।
  4. अध्याय 12 (पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन) का आधार: शंकु (Cone) का वक्र पृष्ठ वास्तव में एक त्रिज्यखंड को मोड़कर ही बनाया जाता है!

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • वृत्त की परिधि ($2\pi r$) तथा क्षेत्रफल ($\pi r^2$) का बुनियादी सूत्र।
  • पाई ($\pi$) का मान: $\frac{22}{7}$ अथवा $3.14$।
  • त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र: समकोण त्रिभुज $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$, समबाहु त्रिभुज $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$।
  • घड़ी के कोण: मिनट की सुई 60 मिनट में $360^\circ$ घूमती है, अतः 1 मिनट में $6^\circ$ का कोण बनाती है।

इस अध्याय के लक्ष्य

  • वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल से जुड़े परिबद्ध वलयाकार (Ring) प्रश्नों को हल कर सकेंगे।
  • केंद्रीय कोण $\theta$ वाले त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई $l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ की सटीक गणना कर सकेंगे।
  • लघु त्रिज्यखंड तथा दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र अनुप्रयोग कर सकेंगे।
  • लघु वृत्त और दीर्घ वृत्त वृत्त का फिल्मांकन $\triangle OAB$ के फिल्मांकन को निरपेक्ष वृत्त से हटा दिया गया।
  • दीवार घड़ी की मिनट की सुई द्वारा रचित क्षेत्रफल और खूंटे से बंधे घोड़े द्वारा चरे गए क्षेत्र की गणना कर सकेंगे।
  • छायांकित भाग (छायांकित क्षेत्र) के संयोजन वाले कॉम्प्लेक्स बोर्ड आर्किटेक्चर को चरणबद्ध तरीके से हल कर दिया गया।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. वृत्तान्त की फिल्म, वृत्तचित्र ए...
2 2. त्रिज्यखण्ड (एक वृत्त का क्षेत्र...
3 3. वृत्तखंड (वृत्त का खंड) का चित्र...
4 4. घड़ी की सुइयों का घूर्णन एवं व्य...
5 5. छायांकित भाग (छायांकित क्षेत्र)...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. वृत्तान्त की फिल्म, वृत्तचित्र एवं वलयाकार भाग (रिंग/ट्रैक)

(क) वृत्तान्त की फिल्म और फिल्म:

यदि वृत्त की त्रित्र $r$ तथा व्यास $d = 2r$ हो, तो:

  • परिधि (परिधि - बाह्य घेरा): $C = 2\pi r = \pi d$
  • क्षेत्रफल (क्षेत्र): $A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$
  • अर्धवृत्त की परिक्रमा (अति महत्वपूर्ण): अर्धवृत्ताकार चाप $+$ व्यास $= \pi r + 2r = r(\pi + 2)$
  • अर्धवृत्त का दृश्य: $\frac{1}{2} \pi r^2$
  • चतुर्थांश (चतुर्थांश) का चित्र: $\frac{1}{4} \pi r^2$ (केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$)

(ख) वलयकार भाग (रिंग/एनुलस/सर्कुलर ट्रैक):

दो संकेंद्रीय वृत्तों (उभयनिष्ठ केंद्र $O$, बाह्य त्रिशूल $R$ तथा आंतरिक त्रिशूल $r$) के बीच समन्वय भाग का वृत्तचित्र:

$$\mathbf{\text{वलय का क्षेत्रफल} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (R - r)(R + r)}$$ तथा ट्रैक की चौड़ाई $= R - r$ होती है।

2. त्रिज्यखण्ड (एक वृत्त का क्षेत्र) एवं चाप की लंबाई

(क) त्रिज्यखंड की परिभाषा:

वृत्त के दो त्रिखंड और उनके बीच के संगत चाप से घिरा हुआ वृत्तखंड क्षेत्र त्रिज्यखंड (सेक्टर) विभाग है:

  • लघु त्रिज्यखण्ड (लघु क्षेत्र): जब केन्द्र $\theta < 180^\circ$ हो।
  • दीर्घ त्रिज्यखंड (प्रमुख क्षेत्र): शेष बड़ा भाग, जिसका कोण $360^\circ - \theta$होता है।
त्रिज्यखंड के दो आकृति सूत्र (JAC 2-3 अंक):

1. संगत चाप की लंबाई (आर्क की लंबाई - $l$):

$$\mathbf{l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r}$$

2. लघु त्रिज्यखंड का फिल्मांकन:

$$\mathbf{\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{2} l r}$$

3. दीर्घ त्रिज्यखंड का फिल्मांकन:

$$\text{दीर्घ त्रिज्यखंड} = \pi r^2 - \text{लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = \frac{360^\circ - \theta}{360^\circ} \times \pi r^2$$

3. वृत्तखंड (वृत्त का खंड) का चित्रांकन की विधि

(क) वृत्तान्त की परिभाषा:

एक जीव और उसके संगत चाप के बीच वृत्तान्त क्षेत्र को वृत्तखण्ड (सेगमेंट) कहते हैं:

  • लघु वृत्तखंड (लघु खंड): जीव और लघु चाप के बीच का भाग।
  • दीर्घ वृत्तखंड (प्रमुख खंड): जीव और दीर्घ चाप के बीच का भाग।
लघु वृत्तखंड का चित्रांकन सूत्र (JAC 4-5 अंक):
$$\mathbf{\text{लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल} = \text{त्रिज्यखंड } OAPB \text{ का क्षेत्रफल} - \text{ar}(\triangle OAB)}$$ $$\mathbf{\text{क्षेत्रफल} = \left( \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \right) - \text{ar}(\triangle OAB)}$$

(ख) $\triangle OAB$ का फिल्मांकन फिल्म के 3 मानक रूप:

केंद्रीय कोण ($\theta$) $\triangle OAB$ का दस्तावेज़ सूत्र प्रकृति
$\theta = 90^\circ$ (समकोण) $\mathbf{\frac{1}{2} \times r \times r = \frac{1}{2} r^2}$ समकोण समद्विबाहु टॉगल
$\theta = 60^\circ$ $\mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4} r^2}$ समाबाहु टेलीविजन ($OA = OB = AB = r$)
$\theta = 120^\circ$ $\mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4} r^2}$ (अथवा $\frac{1}{2} r^2 \sin 120^\circ$) शीर्षलंब $= r/2$, आधार $= r\sqrt{3}$

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय सूत्र: किसी भी कोण $\theta$ के लिए $\text{ar}(\triangle OAB) = \mathbf{\frac{1}{2} r^2 \sin\theta}$ होता है।

4. घड़ी की सुइयों का घूर्णन एवं व्यावहारिक अनुप्रयोग मॉडल्स

(क) घड़ी की मिनट की सुई का कोण (JAC 3 अंक लोकप्रिय प्रश्न):

घड़ी की मिनट की सुई 60 मिनट में एक पूरा चक्कर ($360^\circ$) लगाती है:

  • 1 मिनट में बनाया गया कोण: $\frac{360^\circ}{60} = \mathbf{6^\circ}$
  • $t$ मिनट में बना कोण: $\theta = \mathbf{6^\circ \times t}$
  • उदाहरण: 5 मिनट में सुई कोण $= 6^\circ \times 5 = 30^\circ$ द्वारा बनाई गई। $= 90^\circ$ में 15 मिनट। $= 120^\circ$.
  • में 20 मिनट
  • सुई की लंबाई $L$ वृत्त की त्रिमूर्ति $r$ बन जाती है। सुई रचित फिल्म $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$.

(ख) खूंटे से गाय का घोड़ा/गाय का चरने वाला क्षेत्र:

वर्गाकार या स्कीम घास के मैदान के कोने पर बंधी फ़्लोअन की लंबाई $r$ होती है। तट का किनारा $90^\circ$होता है, मूलतः क्षेत्र वृत्त का चतुर्थांश (चतुर्थांश - $\frac{1}{4}\pi r^2$)होता है!

5. छायांकित भाग (छायांकित क्षेत्र) की मास्टर रणनीति

छायांकित जल निकासी भाग की 3 प्रमुख तकनीकें:

  1. घटाव विधि (घटाव विधि):
    सम्पूर्ण बाहरी शिखरों के अभिलेखों में से एक $$\text{छायांकित भाग} = \text{कुल बाहरी क्षेत्रफल} - \text{अछायांकित आंतरिक क्षेत्रफल}$$ उदाहरण: भुजा $a$ वाले वर्ग के चारों ओर नाव से 4 चतुर्थांश कटर बीच का छायांकित भाग $= a^2 - 4 \times (\frac{1}{4}\pi r^2) = a^2 - \pi r^2$.
  2. जोड़ विधि (जोड़ने की विधि):
    जब छायाचित्र भाग दो या अधिक स्वतंत्र शिखरों से मिलकर बने हो, तो सभी सिद्धांतों के चित्रों को अलग-अलग संस्थागत जोड़ दें।
  3. पुनर्विन्यास विधि (पुनर्व्यवस्था विधि):
    कभी-कभी छायाचित्रित चित्रण को रिक्त स्थान में प्रस्तुतीकरण से एक पूर्ण वृत्त, अर्धवृत्त या आयत बन जाता है, जिससे कठिन दिखने वाला प्रश्न केवल एक पंक्ति में हल हो जाता है!

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

वृत्त की परिधि (Circumference)
C = 2πr = πd
वृत्त का क्षेत्रफल
A = πr²
अर्धवृत्त की परिधि
P = πr + 2r = r(π + 2)
वलय (ट्रैक) का फिल्मांकन
A = π(R² - r²) = π(R - r)(R + r)
चाप की लम्बाई (Length of Arc)
l = (θ / 360°) × 2πr
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
A = (θ / 360°) × πr² = (1/2) · l · r
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
A = πr² - लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = [(360° - θ) / 360°] × πr²
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल
A = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - ar(△OAB)
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल
A = πr² - लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल
△OAB का फिल्मांकन (θ कोण पर)
ar(△OAB) = (1/2) r² sin θ
घड़ी की मिनट सुई का 1 मिनट में कोण
θ = 360° / 60 = 6° प्रति मिनट
चतुर्थांश का क्षेत्रफल
A = (1/4) πr² (जब θ = 90°)

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1
उदा 1. 6 सेमी त्रिज्यखंड का एक वृत्तखंड ज्ञात किया गया है, जिसका कोण 60° है। (π = 22/7 लें) (जेएसी 2020, 2023 - 2 अंक)
विस्तृत समाधान / उत्तर:
चरण 1: दिए गए मान पहचान:
तिमाही $r = 6 \text{ cm}$
मध्य क्षेत्र $\theta = 60^\circ$

चरण 2: त्रिज्यखंड के श्लोक का सूत्र सूत्र:
$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$$ $$= \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6$$ $$= \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 36$$ $$= \frac{22 \times 6}{7} = \frac{132}{7} \text{ cm}^2 = 18.86 \text{ cm}^2$$
उत्तर: त्रिज्यखंड का अंतिम चित्र $\frac{132}{7} \text{ cm}^2$ (या 18.86 सेमी²) है।
उदाहरण 2
उदा 2. एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 14 सेमी है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित टिकटॉक ज्ञात किया गया। (एनसीईआरटी/जेएसी 2019, 2022 - 3 अंक)
विस्तृत समाधान / उत्तर:
चरण 1: 5 मिनट में रचित केंद्रीय कोण प्रारंभ:
मिनट की सुई 60 मिनट में $360^\circ$ घूमती है।
मूलतः 1 मिनट में बना कोण $= \frac{360^\circ}{60} = 6^\circ$.
5 मिनट में बना कोण $\theta = 5 \times 6^\circ = 30^\circ$.
त्रिगुण $r = 14 \text{ cm}$ (सुई की लंबाई).

चरण 2: त्रिज्यखंड का नाम ज्ञात करें:
$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$$ $$= \frac{30^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$$ $$= \frac{1}{12} \times \frac{22}{7} \times 196$$ $$= \frac{1}{12} \times 22 \times 28$$ $$= \frac{616}{12} = \frac{154}{3} \text{ cm}^2 = 51.33 \text{ cm}^2$$
उत्तर: 5 मिनट में रचित चित्र $\frac{154}{3} \text{ cm}^2$ (या 51.33 सेमी²) है।
उदाहरण 3
उदा 3. 10 सेमी रॉकेट वाले एक वृत्त का कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित होता है। निम्नलिखित के नामांकित ज्ञात किग: (i) संगत लघु वृत्तखंड, (ii) संगत दीर्घ त्रैज्यखंड। (π = 3.14 प्रयोग करें) (एनसीईआरटी/जेएसी 2018, 2024 - 4 अंक)
विस्तृत समाधान / उत्तर:
चरण 1: दिए गए मान:
$r = 10 \text{ cm}, \quad \theta = 90^\circ, \quad \pi = 3.14$

भाग (i): संगत लघु वृत्तखंड का चित्र:
लघु त्रिज्यखण्ड का फिल्मांकन:
$$= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 3.14 \times 10 \times 10 = \frac{1}{4} \times 314 = 78.5 \text{ cm}^2$$ समकोण $\triangle OAB$ का फ़िल्म:
$$= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times r \times r = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50 \text{ cm}^2$$ मूलतः लघु वृत्तखंड का फिल्मांकन:
$$= \text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} - \text{ar}(\triangle OAB) = 78.5 - 50 = 28.5 \text{ cm}^2$$
भाग (ii): संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का चित्र:
सम्पूर्ण वृत्तान्त का वृत्तचित्र $= \pi r^2 = 3.14 \times 10^2 = 314 \text{ cm}^2$
दीर्घ त्रिज्यखण्ड का फिल्मांकन:
$$= \text{वृत्त का क्षेत्रफल} - \text{लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = 314 - 78.5 = 235.5 \text{ cm}^2$$
उत्तर: लघु वृत्तखंड का अवलोकन 28.5 सेमी² तथा दीर्घ त्रिज्यखंड का संस्करण 235.5 सेमी² है।
उदाहरण 4
उदा 4. त्रित्र 21 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण होता है। ज्ञात किय: (i) चाप की लंबाई, (ii) चाप निर्मित त्रिज्यखंड का वृत्तचित्र, (iii) संगत जीवा द्वारा निर्मित त्रिज्यखंड का चित्र। (जेएसी 2021 - 5 अंक)
विस्तृत समाधान / उत्तर:
चरण 1: दिए गए मान:
$r = 21 \text{ cm}, \quad \theta = 60^\circ, \quad \pi = \frac{22}{7}$

(i) चाप की लंबाई (l):
$$l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = \frac{1}{6} \times 2 \times 22 \times 3 = 22 \text{ cm}$$
(ii) त्रिज्यखण्ड का फिल्मांकन:
$$= \frac{1}{2} \times l \times r = \frac{1}{2} \times 22 \times 21 = 11 \times 21 = 231 \text{ cm}^2$$
(iii) संगत वृत्तखंड का चित्र:
मूल रूप से $\theta = 60^\circ$ और $OA = OB = 21 \text{ cm}$, मूल रूप से $\triangle OAB$ एक समबाहु मॉडल है।
समबाहु $\triangle OAB$ का फिल्मांकन:
$$= \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 21^2 = \frac{441\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2$$ मूलतः वृत्तखंड का फ़िल्म:
$$= 231 - \frac{441\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2$$ यदि $\sqrt{3} = 1.732$ जारी:
$$= 231 - \frac{441 \times 1.732}{4} = 231 - 190.95 = 40.05 \text{ cm}^2$$
उत्तर: चाप की लंबाई 22 सेमी, त्रिज्यखंड का टुकड़ा 231 सेमी² तथा वृत्तखंड का टुकड़ा $(231 - \frac{441\sqrt{3}}{4}) \text{ cm}^2$ (या 40.05 सेमी²) है।
उदाहरण 5
उदा 5. 15 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूंटे से एक घोड़े को 5 मीटर लंबे कंधे से बांध दिया गया है। ज्ञात किग: (i) मैदान के उस हिस्से का चित्र जहां घोड़ा घास चर सकती है, (ii) चरे जा सकने वाले तिल में वृद्धि, यदि तराजू की लंबाई 5 मीटर के स्थान पर 10 मीटर कर दिया जाए। (π = 3.14 प्रयोग करें) (एनसीईआरटी/जेएसी 2019, 2023 - 5 अंक)
विस्तृत समाधान / उत्तर:
चरण 1: चारे गये भाग की जिम्मी पहचान:
वर्गाकार मैदान का कोना $90^\circ$ का निर्माण होता है।
मूलतः घोड़ा एक वृत्त के चतुर्थांश (चतुर्थांश - कोण $\theta = 90^\circ$) के रूप में घास चर हो सकता है।

भाग (i): जब जोड़ों की लंबाई r₁ = 5 m हो:
$$A_1 = \frac{1}{4} \pi r_1^2 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 5 \times 5 = \frac{1}{4} \times 78.5 = 19.625 \text{ m}^2$$
भाग (ii): जब गुलाब की लंबाई r₂ = 10 मीटर हो जाए:
$$A_2 = \frac{1}{4} \pi r_2^2 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 10 \times 10 = \frac{314}{4} = 78.5 \text{ m}^2$$
क्षेत्रफल में कुल वृद्धि:
$$\Delta A = A_2 - A_1 = 78.5 - 19.625 = 58.875 \text{ m}^2$$
उत्तर: (i) प्रारंभिक चरण में क्षेत्र 19.625 m² है, तथा (ii) अभिलेख में वृद्धि 58.875 m² है।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

चाप की लंबाई में πr² सूत्र लगा देना या त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में 2πr लगा देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

चाप की लंबाई एक परिधि का हिस्सा है: (θ/360) × 2πr। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल एक क्षेत्रफल का हिस्सा है: (θ/360) × πr²।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालते समय त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाना भूल जाना और सीधे त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल लिख देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

त्रिज्यखण्ड = पुरा पिज़्ज़ा (केंद्र तक)। वृत्तखंड = केवल जीव के पीछे का भाग = त्रिज्यखंड - △OAB।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

घड़ी के सवाल में 5 मिनट को कोण θ = 5° समझ लेना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

1 मिनट में 6° का कोण बनता है, अतः 5 मिनट में कोण θ = 5 × 6° = 30° होगा।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

अर्धवृत्त की परिधि को केवल πr समझ लेना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

अर्धवृत्त का बंद परिमाप चाप और व्यास दोनों का योग होता है: P = πr + 2r।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

घोड़े के चरे गए क्षेत्र में पूरे वर्ग का क्षेत्रफल निकालकर भ्रमित हो जाना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

घोड़ा केवल चतुर्थांश (1/4 πr²) में ही चर सकता है; वर्ग की भुजा (15 m) का इस गणना में कोई उपयोग नहीं है क्योंकि रस्सी 5 m या 10 m ही है।

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल - त्रिज्यखंड, वृत्तखंड एवं चाप संकल्पना मानचित्र

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल: त्रिज्यखंड (Sector) एवं वृत्तखंड (Segment) त्रिज्यखंड बनाम वृत्तखंड O (केंद्र) A B θ लघु वृत्तखंड (Segment) दीर्घ त्रिज्यखंड वृत्तखंड = त्रिज्यखंड क्षेत्रफल - ar(△OAB) संपूर्ण सूत्र संकलन चाप की लंबाई (Length of Arc): l = (θ / 360°) × 2πr त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Sector Area): A = (θ / 360°) × πr² = ½ · l · r वलय / ट्रैक का क्षेत्रफल (Ring): A = π(R² - r²) घड़ी की मिनट सुई का नियम: 1 मिनट = 6° | 5 मिनट = 30°

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
वृत्त की परिधि C = 2πr तथा क्षेत्रफल A = πr² होता है।
मुख्य बिंदु 2
अर्धवृत्त का बंद परिमाप P = πr + 2r होता है।
मुख्य बिंदु 3
दो संकेंद्रीय वृत्तों के बीच वलयाकार भाग का क्षेत्रफल π(R² - r²) होता है।
मुख्य बिंदु 4
केंद्रीय कोण θ वाले त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई l = (θ/360°) × 2πr होती है।
मुख्य बिंदु 5
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल A = (θ/360°) × πr² = ½ · l · r होता है।
मुख्य बिंदु 6
लघु वृत्तखंड का वृत्तचित्र = संगत वृत्तखंड का वृत्तचित्र - ar(△OAB).
मुख्य बिंदु 7
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का संपूर्ण क्षेत्रफल - लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल।
मुख्य बिंदु 8
ar(△OAB) = ½ r² syn θ का प्रयोग किया जाता है।
मुख्य बिंदु 9
घड़ी की मिनट की सुई 1 मिनट में 6° का कोण बनाती है।
मुख्य बिंदु 10
छायांकित भाग निकालने के लिए कुल बाह्य क्षेत्रफल में से अवांछित आंतरिक आकृतियों का क्षेत्रफल घटाया जाता है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
1. एक वृत्त के चतुर्थांश (क्वाड्रेंट) का दस्तावेज़ 22 सेमी का होगा?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: 2πr = 22 ⇒ 2 × (22/7) × r = 22 ⇒ r = 7/2 सेमी। चतुर्थांश = 1/4 πr² = 1/4 × (22/7) × (7/2)² = 77/8 = 9.625 सेमी²।
2
2. 60° के त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई क्या होगी यदि त्रिमात्रा 21 सेमी हो?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: l = (60/360) × 2 × (22/7) × 21 = (1/6) × 44 × 3 = 22 सेमी।
3
3. घड़ी की मिनट की सुई 10 मिनट में कितने डिग्री का कोण अंतरित करती है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: 10 × 6° = 60°।
4
4. 7 सेमी त्रिभुज वाले अर्धवृत्त का परिमाप क्या होगा?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: P = πr + 2r = (22/7 × 7) + 2(7) = 22 + 14 = 36 सेमी।
5
5. यदि दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 4 सेमी और 3 सेमी हों, तो उनके बीच की दूरी का चित्र क्या होगा?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: A = π(R² - r²) = (22/7) × (16 - 9) = (22/7) × 7 = 22 सेमी²।
अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?
अभ्यास के लिए तैयार?

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कक्षा 10 Mathematics (211) के सभी अध्याय

अध्याय 1: संख्या पद्धति (Number Systems) अध्याय 2: घातांक और करणी (Exponents and Radicals) अध्याय 3: बीजीय व्यंजक एवं बहुपद (Algebraic Expressions and Polynomials) अध्याय 4: विशेष गुणनफल एवं गुणनखंडन (Special Products and Factorization) अध्याय 5: रैखिक समीकरण (Linear Equations) अध्याय 6: द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) अध्याय 7: समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions) अध्याय 8: प्रतिशतता एवं उसके अनुप्रयोग (Percentage and Applications) अध्याय 9: किस्त खरीद (Instalment Buying) अध्याय 10: रेखाएँ और कोण (Lines and Angles) अध्याय 11: त्रिभुजों की सर्वांगसमता (Congruence of Triangles) अध्याय 12: संगामी रेखाएँ (Concurrent Lines) अध्याय 13: चतुर्भुज (Quadrilaterals) अध्याय 14: त्रिभुजों की समरूपता (Similarity of Triangles) अध्याय 15: वृत्त (Circles) अध्याय 16: वृत्त में कोण एवं चक्रीय चतुर्भुज (Angles in a Circle and Cyclic Quad) अध्याय 17: छेदक, स्पर्श रेखाएँ एवं उनके गुण (Secants and Tangents) अध्याय 18: रचनाएँ (Constructions) अध्याय 19: निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) अध्याय 20: समतल आकृतियों के परिमाप एवं क्षेत्रफल (Perimeters and Area) अध्याय 21: ठोस आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Area and Volume) अध्याय 22: त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry) अध्याय 23: विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios) अध्याय 24: आँकड़े एवं उनका निरूपण (Data and Their Representation) अध्याय 25: केन्द्रीय प्रवृत्ति के उपाय (Measures of Central Tendency) अध्याय 26: प्रायिकता का परिचय (Introduction to Probability)

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