त्रिभुजों की समरूपता (Similarity of Triangles)

(क) सर्वांगसमता बनाम समरूपता:

कक्षा 9वीं में हमने सर्वांगसमता का अध्ययन किया था। आइए दोनों के अंतर को स्पष्ट करें:

(ख)टेलों की समरूपता की शर्त:

दो मॉडल $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ समरूप कहलाते हैं यदि:

1. उनके सभी संगत कोण: $\angle A = \angle D, \quad \angle B = \angle E, \quad \angle C = \angle F$
2. उनकी संगत भुजाए समानुपति हों: $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$

सांकेतिक रूप से इसे $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ लिखा जाता है। शीर्षों का क्रम संगतता का होना अनिवार्य है।

बोर्ड उद्धरण लेख पूर्ण चरणबद्ध उपपट्ट:

1. दिया है (दिया गया है):
एक त्रिकोण $ABC$ जिसमें भुजा $BC$ के समानांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $D$ और $E$ पर काटती है। यानी $DE \parallel BC$ है.

2. सिद्ध करना है (To Prove):
$$\mathbf{\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}}$$

3. रचना (निर्माण):
$B$ को $E$ से तथा $C$ को $D$ से। साथ ही $DM \perp AC$ और $EN \perp AB$ निकालना.

4. उपपत्ति (प्रमाण):
हम जानते हैं कि टीवी का ट्रेलर $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।

$\triangle ADE$ में जब आधार $AD$ हो, तो शीर्षलंब $EN$ होगा:
$$\text{ar}(\triangle ADE) = \frac{1}{2} \times AD \times EN \quad \text{--- (समीकरण 1)}$$
इसी प्रकार, $\triangle BDE$ में आधार $DB$ पर शीर्षलंब $EN$ ही रहेगा (अधिकतम टोकियो में शीर्षलंब बाहर होता है):
$$\text{ar}(\triangle BDE) = \frac{1}{2} \times DB \times EN \quad \text{--- (समीकरण 2)}$$

गुणांक (1) को गुणांक (2) से भाग दें:
$$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle BDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AD \times EN}{\frac{1}{2} \times DB \times EN} = \frac{AD}{DB} \quad \text{--- (समीकरण 3)}$$

अब, $\triangle ADE$ में जब आधार $AE$ हो, तो शीर्षलंब $DM$ होगा:
$$\text{ar}(\triangle ADE) = \frac{1}{2} \times AE \times DM \quad \text{--- (समीकरण 4)}$$
तथा $\triangle DEC$ में आधार $EC$ पर शीर्षलंब $DM$ होगा:
$$\text{ar}(\triangle DEC) = \frac{1}{2} \times EC \times DM \quad \text{--- (समीकरण 5)}$$

गुणांक (4) को गुणांक (5) से भाग दें पर:
$$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle DEC)} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times DM}{\frac{1}{2} \times EC \times DM} = \frac{AE}{EC} \quad \text{--- (समीकरण 6)}$$

अब ध्यान दें: $\triangle BDE$ और $\triangle DEC$ एक ही आधार $DE$ और एक ही समतांत्रिक तत्व के युग्म $DE$ और $BC$ के बीच बने हैं।
कक्षा 9वीं के प्रमेय के अनुसार:
$$\text{ar}(\triangle BDE) = \text{ar}(\triangle DEC) \quad \text{--- (समीकरण 7)}$$

मूलतः गुणांक (3), (6) और (7) से सभी पक्ष पूर्णतः समान हो जाते हैं। इसलिए दाएँ पक्ष भी समान होगा:
$$\mathbf{\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}}$$

इति सिद्धम् (इसलिए सिद्ध)।

(के) प्रमेय 6.2 (थेल्स प्रमेय का विलोम - बीपीटी का विलोम):

उपपत्ति की स्तुति (विरोधाभास विधि - विरोधाभास की विधि):
यदि संभव हो तो मन लें कि $DE$, $BC$ का समांतर नहीं है। टैब $D$ से $BC$ के समांतर कोई अन्य रेखा $DE'$ खींची जा सकती है। थेल्स प्राइमेय से $\frac{AD}{DB} = \frac{AE'}{E'C}$ होगा। लेकिन दिया गया है $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. मूलतः $\frac{AE'}{E'C} = \frac{AE}{EC}$। दोनों दृष्टियों में 1 जोड़ पर यह सिद्ध होता है कि बिंदु $E'$ और $E$ संपाति (संयोग) हैं। मूलतः $DE \parallel BC$ है.

(ख) थेल्स प्राइमेय के उपयोगी उपप्रमेय (कोरोलरीज़):

यदि $\triangle ABC$ में $DE \parallel BC$ हो, तो निम्नलिखित अनुपात भी सदैव सत्य होते हैं:

1. अनुपात 1: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ (पूरी भुजा के साथ अनुपात)
2. अनुपात 2: $\frac{DB}{AB} = \frac{EC}{AC}$
3. अनुपात 3: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$ (समरूपता के साथ विस्तार)

त्रिभुजों की समरूपता सिद्ध करने के तीन प्रमुख नियम:

(के) समरूप मॉडलों के अनुपात प्रमेय:

विस्तार (शीर्षलंबों, मध्य रसौली और प्राइमैपों के साथ संबंध):

• क्षेत्रफलों का अनुपात संगत शीर्षलंबों के ग्रेड के अनुपात के बराबर होता है: $\frac{\text{ar}(ABC)}{\text{ar}(PQR)} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2$
• क्षेत्रफलों का अनुपात संगत मध्याध्यय के ग्रेड के अनुपात के बराबर होता है: $\frac{\text{ar}(ABC)}{\text{ar}(PQR)} = \left(\frac{m_1}{m_2}\right)^2$
• दो समरूप मॉडलों के परिमापों का अनुपात भुजाओं के सीधे अनुपात में होता है: $\frac{\text{परिमाप}(ABC)}{\text{परिमाप}(PQR)} = \frac{AB}{PQ}$

(ख) पाइथागोरस प्रमी (समकोण टॉवेल में समरूपता):

यदि किसी समकोण टेलिग्राम के समकोण वाले टॉप से कर्ण पर लंब डाला जाए, तो इस लंब के दोनों ओर बने टेलिकॉम के समरूप होते हैं और मिलान भी समरूप होते हैं। इसी प्रमेय की सहायता से विश्व प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय सिद्ध की सहायता मिलती है: