1. बहुपद की यथार्थ परिभाषा (बहुपद क्या है?)
एक चरण $x$ में बीजीय व्यंजक $p(x)$ को बहुपद कहा जाता है यदि चार $x$ के सभी घटक ऋणेतर पूर्णांक (गैर-नकारात्मक पूर्णांक / पूर्ण संख्याएँ) हों। अर्थात घातक केवल $0, 1, 2, 3, 4, \dots$ हो सकते हैं।
मानक रूप (मानक रूप):
$$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$ जहां $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ वास्तविक संख्याएं (गुणांक) हैं और $a_n \ne 0$ हैं।सावधान! व्यंजक बहुपद कौन से नहीं हैं?
- $x + \frac{1}{x} = x^1 + x^{-1}$ $\implies$ बाहुपद नहीं है (घातांक $-1$ एक पूर्ण संख्या नहीं है)।
- $\sqrt{x} + 3 = x^{1/2} + 3$ $\implies$ बाहुपद नहीं है (घातांक $\frac{1}{2}$ भिन्न है, पूर्ण संख्या नहीं).
- $\frac{1}{x^2 + 2x + 5}$ $\implies$ बहुपद नहीं है (चार हर में है)।
- $y^2 + \sqrt{2}$ $\implies$ बहुपद है! (क्योंकि चार $y$ का घाट $2$ पूर्ण संख्या है; विश्वास $\sqrt{2}$ वास्तविक संख्या हो सकती है)।
2. बहुपद की घात (एक बहुपद की डिग्री)
किसी बहुपद में चर (चर) की उच्चतम शक्ति (उच्चतम शक्ति) को उस बहुपद की घात (डिग्री) कहा जाता है।
- $p(x) = 4x^5 - 3x^2 + 7x - 9$ में चर का सर्वोच्च घाट $5$ है, मूलतः घाट = $5$.
- अचर बहुपद (स्थिर बहुपद): किसी भी शून्येतर संख्या जैसे $7$ को $7x^0$ तक लिखा जा सकता है, वास्तव में अचर बहुपद का घाट हमेशा शून्य ($0$) होता है।
- शून्य बहुपद (शून्य बहुपद): संख्या $0$ को शून्य बहुपद कहते हैं। इसमें $0x^1, 0x^2, 0x^5$ कुछ भी लिखा जा सकता है, मूलतः शून्य बहुपद की हानि अपरिभाषित (परिभाषित नहीं) होता है। (जेएसी बोर्ड का सर्वोच्च प्रश्न जाने वाला वस्तुनिष्ठ प्रश्न!)
3. घाट के आधार पर बाहुपदों का बटरफ्लाई
| प्रकार | घात (डिग्री) | मानक रूप | अधिकतम शून्य | उदाहरण |
|---|---|---|---|---|
| राखिक बहुपद (रैखिक) | $1$ | $ax + b \quad (a \ne 0)$ | $1$ | $2x - 5, \quad 3y + \sqrt{2}$ |
| द्विघात बहुपद (द्विघात) | $2$ | $ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0)$ | $2$ | $x^2 - 4x + 3, \quad 5t^2 - 7$ |
| त्रिघात बहुपद (घन) | $3$ | $ax^3 + bx^2 + cx + d \quad (a \ne 0)$ | $3$ | $2x^3 - x^2 + 5x - 8$ |
| चतुर्घात बहुपद (द्वि-द्विघात) | $4$ | $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ | $4$ | $x^4 - 16$ |