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NIOS • कक्षा X • Mathematics (211) • अध्याय 23
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios)

अध्याय 8 में हमने समकोण मॉडलों के संदर्भ में त्रिकोणमितीय अनुपातों का वैज्ञानिक अध्ययन किया था। इस अध्याय में हम त्रिकोणमिति के सबसे स्थिर, आश्चर्यजनक और उपयोगी प्रयोग—ऊंचाई और दूरी (ऊंचाइयां और दूरियां)—का अध्ययन करते हैं। वास्तविक दुनिया में हिमालय के सबसे ऊंचे पर्वतीय एवरेस्ट पर फ़्लोरिडा फ़िज़ीना का प्रभाव है, न ही किसी उफंती नदी के बीच में स्थित वस्तुओं की चौड़ाई मापी जा सकती है, और न ही ब्रह्माण्ड में उड़ रहे वायुयान या अंतरिक्ष में तैरते उपग्रह की सीधी मापी जा सकती है। त्रिकोणमिति एक जादुई यंत्र की तरह काम करता है! केवल जमीन पर मापा गया एक कोणीय मापक यंत्र (थियोडोलाइट या क्लिनोमीटर) उन्नयन कोण (ऊंचाई का कोण) या अवनमन कोण (अवसाद का कोण) मापकर और जमीन पर कुछ मीटर की दूरी मापक यंत्र हम किसी भी गगनचुंबी बिल्डिंग, माउंटेन शिखर, लाइटहाउस या मीनार की ब्याज दरों में से कुछ में ही बीजगणितीय मापक यंत्र निकाल सकते हैं। इस अध्याय की संपूर्ण ज्यामिति तीन मुख्य आधारों पर टिकी है: दृष्टि रेखा (Line of Sight): प्रेक्षक की आँख से उस वस्तु को मिलाने वाली सीधी काल्पनिक रेखा देखी जा रही है। उन्नयन कोण (ऊंचाई का कोण): जब वस्तु प्रेक्षक की आंख के स्तर से ऊपर स्थित हो, तो दृष्टि रेखा और ऊंचाई रेखा के बीच का कोण बनता है। अवनमन कोण (अवसाद का कोण): जब वस्तु प्रेक्षक की आंख के स्तर से नीचे की ओर स्थित हो (जैसे मीनार या पहाड़ी की चोटी से जमीन पर किसी कार या नाव को देखना), तो अवनमन कोण और दृष्टि रेखा के बीच नीचे की ओर बना हो। झारखंड अधिविद्य परिषद (एनआईओएस कक्षा 10) के बोर्ड परीक्षा में 'ऊंचाई और दूरी' से 5 अंक का एक दीर्घकालिक उत्तरीय प्रश्न अनिवार्य रूप से पूछा जाता है। इस अध्याय में पूर्ण अंक प्राप्त करने की कुंजी है: प्रश्न की इबारत को आधिपत्य एक सिद्धांत, समकोण पुरालेख का आख्यान (चित्रा) बनाना और $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, \tan 45^\circ = 1, \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ का सही आख्यान बनाना।

🏔️ क्या आपने कभी सोचा है: जिस इंसान ने दुनिया के सबसे ऊँचे पर्वत "माउंट एवरेस्ट" की खोज की, उसने अपनी पूरी जिंदगी में उस पहाड़ को कभी छुआ तक नहीं था?

जरा सोचिए: 1852 में भारत के 'ग्रेट ट्रिगोनोमेट्रिकल सर्वे' (ग्रेट ट्रिगोनोमेट्रिकल सर्वे ऑफ इंडिया) के स्मारक के मानचित्र कार्यालय में एक 39 वर्ष के भारतीय गणितज्ञ राधानाथ सिकदर (राधानाथ सिकदर) विद्या विद्वानों पर कुछ स्मारक जोड़-घटा रहे थे।

अचानक वे अपनी कुर्सी से उछल पड़े और अपने ब्रिटिश कमरे में दौड़ते हुए चिल्लाए- "सर! मैंने दुनिया के सबसे ऊंचे पर्वत की खोज कर ली है!"

उस समय अज्ञात चोटी को केवल 'पीक XV' (पीक XV) कहा जाता था। राधानाथ सिकदर ने उस बर्फीले पर्वत पर कभी एक कदम भी नहीं रखा था! वे नेपाल और तिब्बत से 150 मील (240 किमी) दूर भारत के मैदानों में स्थित थे। उन्होंने केवल एक भारी थोडोलाइट (थियोडोलाइट) यंत्र का उपयोग करके योग के ऊन्न कोण नाप और त्रिकोणमिति के $\tan\theta$ के आंकड़े से गणना करके बताया कि उसका थोडोलाइट 29,002 फीट है - जो आधुनिक उपग्रहों द्वारा मापा गया 29,031.7 फीट का आश्चर्यजनक रूप से 99.9% के करीब था!

बाद में इसी पर्वत का नाम सर्वेक्षक जॉर्ज एवरेस्ट पर रखा गया। आज भी विश्व के सर्वेक्षक, नौसेना के कप्तान और सिविल इंजीनियर राधानाथ सिकदर की एक ही त्रिकोणीय तकनीक का उपयोग करते हैं! आइये इस अध्याय में उस अद्भुत विधा को जानें!

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

इस अध्याय का अध्ययन आपके लिए क्यों आवश्यक है?

  1. बोर्ड परीक्षा में 5 अंक का पक्का प्रश्न: एनआईओएस कक्षा 10वीं बोर्ड परीक्षा के खंड-घ (सेक्शन डी) में 5 अंक का एक दीर्घ उत्तरीय प्रश्न अनिवार्य रूप से इसी अध्याय से आता है।
  2. इंजीनियरिंग एवं आर्किटेक्चर की अकादमी: इंजीनियरिंग इंजीनियरिंग में पुलों, टावरों, तरंगों, उद्यमों और बहुमंडलीय संरचनाओं के सर्वेक्षण (सर्वेइंग) का 100% कार्य प्रयोगशाला और दूरी पर आधारित होता है।
  3. विमान (विमानन) और नौवाहन (नेविगेशन): हवाई जहाजों के विमान के कोण (ग्लाइड पथ कोण), रनवे से दूरी, और समुद्र में विमान के विमान के कोण से दूरी के लिए लाइटहाउस की किरण को नियंत्रित किया जाता है।
  4. सैटेलाइट एवं सैटेलाइट टावर: मोबाइल टावरों के नेटवर्क पर टीवी डिस्प्ले को सैटेलाइट की दिशा में $45^\circ$ या $60^\circ$ पर सेट करना इसी अध्याय का जीवंत उदाहरण है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • समकोण त्रिभुज में लंब, आधार और कर्ण की पहचान।
  • विशिष्ट मान: $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\tan 45^\circ = 1$, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$।
  • विशिष्ट मान: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
  • समकोण में एकान्तर अंतःकोण (वैकल्पिक आंतरिक कोण) की समानता ($Z$-आकृति)।
  • अपरिमेय बाज़ार का मान: $\sqrt{3} \approx 1.732$ तथा $\sqrt{2} \approx 1.414$।

इस अध्याय के लक्ष्य

  • दृष्टि रेखा, क्षैतिज स्तर, उन्नयन कोण और अवनमन कोण के बीच स्पष्ट अंतर बता सकेंगे।
  • इबारती प्रश्नों को पढ़कर सटीक, ज्यामितीय रूप से सही समकोण त्रिभुजों का आरेख बना सकेंगे।
  • अवनमन कोण को एकांतर अंतःकोण नियम द्वारा समकोण त्रिभुज के आधार पर उन्नयन कोण में रूपांतरित कर सकेंगे।
  • एकल त्रिभुज वाली समस्याओं (जैसे पतंग की डोरी, खंभे की परछाई, सीढ़ी) में अज्ञात भुजा की त्वरित गणना कर सकेंगे।
  • दो समकोण त्रिभुजों वाली जटिल समस्याओं (जैसे सड़क के दोनों ओर खंभे, टूटे पेड़, नदी के दोनों किनारे) में दो चरों वाले समीकरण बनाकर हल कर सकेंगे।
  • समर्थित कोणों पर आधारित मीनार की रोशनी का सूत्र $h = \sqrt{ab}$ सिद्ध एवं लागू कर प्रभावशाली।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. दृष्टि रेखा, स्तोत्र स्तर एवं टॉ...
2 2. अवनमन कोण (अवसाद का कोण) एवं एका...
3 3. एकल-त्रिकोण समस्याएँ
4 4. द्वि-त्रिभुज समस्याएँ (दोहरा समक...
5 5. तूफ़ान से तूफ़ान के पेड़ की समस्...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. दृष्टि रेखा, स्तोत्र स्तर एवं टॉवर कोण (ऊंचाई का कोण)

(के) दर्शन पारिभाषिक पाठ्यपुस्तक:

  • दृष्टि रेखा (Line of Sight): प्रेक्षक की आँख से उस बिंदु को मिलाने वाली काल्पनिक सीधी रेखा, जिसे प्रेक्षक द्वारा देखा जा रहा है।
  • क्षैतिज स्तर (क्षैतिज स्तर): प्रेक्षक की आँख से भूमि के समानांतर खींची गई सीधी सीधी रेखा।
  • ऊंन्नयन कोण (ऊंचाई का कोण): जब देखने वाली वस्तु प्रेक्षक की आंखों के निशान स्तर से ऊपर स्थित होती है (अर्थात् सिर को ऊपर उठता है), तो दृष्टि रेखा और गंतव्य रेखा के बीच बने कोण को आकर्षक कोण कहा जाता है।

(ख) त्रिकोणमितीय अनुपात की तकनीक:

समकोण मॉडल में तीन प्रमुख अनुपात अनुपातिक होते हैं:

ज्ञात एवं अज्ञात भुजाए प्रयुक्त त्रिकोणमितीय अनुपात दैनिक उदाहरण
लंबा (ऊंचाई) और आधार (दूरी) $\mathbf{\tan\theta = \frac{P}{B}}$ (90% इंजिनिक में) मीनार की रोशनी, छाया की लंबाई, सड़क की चौड़ाई
लंबा (ऊंचाई) और कर्ण (तिरछी लंबाई) $\mathbf{\sin\theta = \frac{P}{H}}$ पतंग की डोरी की लंबाई, फुलान पट्टियां की लंबाई
आधार (दूरी) और कर्ण (तिरछी लंबाई) $\mathbf{\cos\theta = \frac{B}{H}}$ दीवार से सीढ़ी के पैड की दूरी, सीढ़ी की लंबाई

2. अवनमन कोण (अवसाद का कोण) एवं एकान्त कोण रूपांतरण

(क) अवनमन कोण की परिभाषा:

जब प्रेक्षक किसी ऊँचे स्थान (जैसे पहाड़ी, छत, प्रकाश-स्तंभ / प्रकाशगृह या वायुयान) पर खड़ा हो और नीचे स्थित कोई वस्तु दिखती हो (अर्थात् सिर को नीचे की ओर झुका हुआ हो), तो प्रेक्षक की आँख से झील वाली क्षैतिज रेखा और वस्तु की ओर जाने वाली दृष्टि रेखा के बीच नीचे की ओर कोण बनी को अवनमन कोणकहते हैं.

स्वर्ण सिद्धांत: अवनमन कोण = अवनमन कोण:

चुंकी प्रेक्षक की आंख पर खींची गई रेखा और भूमि की सतह (जमीन) दोनों समान रूप से होती हैं, और दृष्टि रेखा काटने वाली उन्हें तिर्यक रेखा का कार्य करती है:

$$\mathbf{\text{अवनमन कोण} = \text{वस्तु से प्रेक्षक का उन्नयन कोण} \quad (\text{एकांतर अंतःकोण नियम से})}$$ बोर्ड नॉट डाट: ब्लैक रॉक टाइम टॉप पर स्टिक डॉटेड लाइन ($AX$) ड्रॉकर अवनमन कोण दर्शन अनिवार्य है; अन्यथा 1 अंक कट जाता है! इसका एक अंश कोणीय नियम से उसे टेलिग्राम के अंदर जमीन पर दिखाया गया है।

3. एकल-त्रिकोण समस्याएँ

एक समकोण ट्रेलर वाली प्रदर्शनी:

ये प्रश्न 2 या 3 अंक में पूछे जाते हैं। आइए मुख्य मॉडलों को स्वीकार करें:

  1. खंभे और परछाई का मॉडल:
    यदि किसी स्टॉल के पुस्तकालय की लंबाई के बराबर हो ($P = B$), तो $\tan\theta = \frac{P}{B} = 1 \implies \theta = 45^\circ$। यदि परछाई $\sqrt{3}$ गुना हो, तो $\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = 30^\circ$.
  2. पतंग और डोरी का मॉडल:
    की भूमि से $h$ दी हो और डोरी भूमि से $\theta$ कोणीय संरचना हो, तो डोरी की लंबाई $L$ के लिए $\sin\theta = \frac{h}{L} \implies L = \frac{h}{\sin\theta}$ का प्रयोग करते हैं (यहाँ डोरी में कोई लंबाई नहीं बनती है)।
  3. दीवार और सीढ़ी का मॉडल:
    दीवार पर लगी सीढ़ी का पैड दीवार से $d$ दूरी पर हो और सीढ़ी की लंबाई $L$ हो, तो $\cos\theta = \frac{d}{L}$ का अर्थ करते हैं।

4. द्वि-त्रिभुज समस्याएँ (दोहरा समकोण-त्रिभुज मॉडल - JAC 5 अंक)

बोर्ड परीक्षा में पूछने वाले 3 मुख्य द्वि-त्रिभुज मॉडल:

मॉडल 1: मीनार के एक ही ओर दो बिंदु (प्रेक्षक का गतिमान होना):

प्रेक्षक मीनार की ओर $x$ मीटर और टॉवर $30^\circ$ से भारी $60^\circ$ हो जाता है।
• छोटे मॉडल में: $\tan 60^\circ = \frac{h}{y} \implies h = y\sqrt{3}$
•बड़े पैमाने पर टीवी: $\tan 30^\circ = \frac{h}{x + y} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + y}$
दोनों गुणांकों को हल करके $h$ और की दूरी $x$ ज्ञात की जाती है।

मॉडल 2: सड़क के दोनों तरफ एक समान इंद्रधनुष के दो स्तंभ:

सड़क की कुल चौड़ाई $W$ है। बीच के किसी बिंदु से एक खंभे का कोण $60^\circ$ है और दूसरे का $30^\circ$ है।
यदि बिंदु से पहले खंभे की दूरी $x$ हो, तो दूसरे से $(W - x)$ होगी। दोनों खम्भों की शौक़ समान ($h$) हिलाते हैं।

मॉडल 3: भवन के ऊपर ध्वजदंड या पेडस्टल के ऊपर मूर्ति:

भूमि के एक बिंदु से भवन के शिखर का कोण $\alpha$ और उस पर लगे झंडे के शिखर का कोण $\beta$ है। यहां दोनों कारों का आधार समान रहता है।

5. तूफ़ान से तूफ़ान के पेड़ की समस्या एवं समर्थित कोण प्रमेय (h = √ab)

(के) तूफान से पहाड़ के पेड़ की समस्या (जेएसी बोर्ड सबसे पसंदीदा प्रश्न):

जब कोई पेड़ बीच से टूट कर टूट गया और उसका सिरा झुकाकर जमीन पर लग गया:

  • पेड़ का निचला खड़ा भाग खिलौना का लंबा ($P$) बनता है।
  • पेड़ का टुकड़ा हुआ मचाना भाग कर्ण ($H$) बनता है।
  • पेड़ के पैड से शिखर तक पहुँचने के बिंदु की दूरी आधार ($B$) टूट गई है।
  • अति महत्वपूर्ण: पेड़ की कुल मिलाकर केवल लंब नहीं होता, बल्कि $\mathbf{\text{कुल ऊँचाई} = \text{लंब} + \text{कर्ण} = P + H}$ होता है!

(ख) फुलाए हुए कोणों पर आधारित मीनार की शोक प्रमेय:

प्रमुख: यदि किसी मीनार के आधार से एक सीधी रेखा में $a$ और $b$ दूरी पर स्थित दो बिंदु से मीनार के शिखर के कोण की दूरी पूरक ($ heta$ और $90^\circ - heta$) हो, तो मीनार की दूरी: $$\mathbf{h = \sqrt{ab}}$$ उपपत्ति:
प्रथम बिंदु से: $\tan\theta = \frac{h}{a} \quad \text{--- (1)}$
द्वितीय बिंदु से: $\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta = \frac{h}{b} \quad \text{--- (2)}$
दोनों का गुणन पर: $\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{h}{a} \cdot \frac{h}{b} \implies 1 = \frac{h^2}{ab} \implies \mathbf{h = \sqrt{ab}}$।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

स्पर्शरेखा सूत्र (ऊंचाई और दूरी का मूल)
tan θ = लंब / आधार = h / x
साइन सूत्र (ऊंचाई और दूरी का मूल)
sin θ = लंब / कर्ण = h / L
कोसाइन सूत्र (सीढ़ी के आधार कथाएं)
cos θ = आधार / कर्ण = x / L
tan 30° का मान
tan 30° = 1 / √3 ≈ 0.577
tan 45° का मान
tan 45° = 1 (लंब = आधार)
tan 60° का मान
tan 60° = √3 ≈ 1.732
अवनमन कोण संबंध
अवनमन कोण = एकांतर उन्नयन कोण
टूटे पेड़ की कुल ऊँचाई
कुल ऊँचाई = खड़ा भाग (लंब) + मुड़ा भाग (कर्ण) = P + H
पूरक कोणों पर मीनार की ऊँचाई
h = √(a · b)
√3 का मानक दशमलव मान
√3 ≈ 1.732

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1
उदा 1. तूफ़ान आने से एक पेड़ टूट जाता है और टुकड़ा इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन पर लग जाता है और इसके साथ 30° का कोण बनता है। पेड़ के पैड-बिंदु की दूरी, जहां पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 मीटर है। पेड़ की कुल ज्ञाता किओ। (JAC 2018, 2020, 2023 - 5 अंक अनिवार्य)
विस्तृत समाधान / उत्तर:
चरण 1: समस्या का गणित विश्लेषण करें:
माना पेड़ की कुल पहेली $AB$ थी। तूफान से पेड़ बिंदु $C$ से टूट जाता है और उसके शिखर $A$ जमीन पर बिंदु $A'$ पर टिक जाता है।
मूलतः खड़ा भाग $BC$ (लंब $P$) है, तथा टुकड़ा हुआ भाग $CA' = AC$ (कर्ण $H$) है।
दिया गया है: $A'B = 8 \text{ m}$ (आधार $B$) तथा $\angle CA'B = 30^\circ$.

चरण 2:
समकोण $\triangle CA'B$ में:
$$\tan 30^\circ = \frac{BC}{A'B}$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{8} \implies BC = \frac{8}{\sqrt{3}} \text{ m}$$
चरण 3: घटा हुआ भाग (सीए') की लंबाई लंबाई:
$$\cos 30^\circ = \frac{A'B}{CA'}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{CA'} \implies CA' = \frac{16}{\sqrt{3}} \text{ m}$$
चरण 4: पेड़ की कुल चर्चा ज्ञात करें:
$$\text{पेड़ की कुल ऊँचाई} = BC + CA' = \frac{8}{\sqrt{3}} + \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \text{ m}$$
हर का परिचय:
$$= \frac{24 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \text{ m}$$ यदि $\sqrt{3} = 1.732$ स्थान: $8 \times 1.732 = 13.856 \text{ m}$.
उत्तर: पेड़ों की कुल संख्या $8\sqrt{3} \text{ m}$ (या 13.86 मीटर) है।
उदाहरण 2
उदा 2. एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर पूर्व-प्रमुख समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर का कोण क्रमशः 60° और 30° है। खंभों की नोक और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात की जाती है। (एनसीईआरटी/जेएसी 2019, 2022, 2024 - 5 अंक)
विस्तृत समाधान / उत्तर:
चरण 1: आण्विक एवं वर्ण परिभाषा:
दोनों समान स्तम्भ $AB$ और $CD$ हैं ($AB = CD = h$).
सड़क की कुल चौड़ाई $BD = 80 \text{ m}$ है.
सड़क पर बिंदु $P$ माना जाता है। यदि $BP = x$ हो, तो $PD = 80 - x$ होगा.
दिया गया है: $\angle APB = 60^\circ$ और $\angle CPD = 30^\circ$.

चरण 2: प्रथम समकोण $\triangle ABP$ में:
$$\tan 60^\circ = \frac{AB}{BP} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = x\sqrt{3} \quad \text{--- (समीकरण 1)}$$
चरण 3: द्वितीय समकोण $\triangle CDP$ में:
$$\tan 30^\circ = \frac{CD}{PD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{80 - x} \implies 80 - x = h\sqrt{3} \quad \text{--- (समीकरण 2)}$$
चरण 4: गुणांक (1) से एच का मान गुणांक (2) में स्थान:
$$80 - x = (x\sqrt{3}) \times \sqrt{3}$$ $$80 - x = 3x$$ $$4x = 80 \implies x = 20 \text{ m}$$
मूलतः बिंदु $P$ की दूरी पहले कॉलम से $20 \text{ m}$ और दूसरे से $80 - 20 = 60 \text{ m}$ है।

चरण 5: खंभों की विचारधारा (एच):
$$h = x\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{ m}$$
उत्तर: खंभों की दूरी $20\sqrt{3} \text{ m}$ है और बिंदु खंभों से दूरी 20 मीटर और 60 मीटर है।
उदाहरण 3
उदा 3. मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मीटर और 9 मीटर की दूरी पर मीनार के शिखर से दो दूरी पर स्थित है। पूर्ण कोण हैं। सिद्ध की मीनार की दुकान 6 मीटर है। (जेएसी 2017, 2021 - 4 अंक)
विस्तृत समाधान / उत्तर:
चरण 1: आण्विक चमकदार एवं कोण कोण:
मीनार की किताब $AB = h$ है.
मीनार के पाद $B$ से सरल रेखा में दो बिंदु $C$ और $D$ हैं, जहां $BC = 4 \text{ m}$ और $BD = 9 \text{ m}$ हैं।
माना जाता है कि बिंदु $C$ पर कोण $\theta$ है, तो सुप्त के कारण बिंदु $D$ पर कोण $(90^\circ - \theta)$ होगा।

चरण 2: समकोण $\triangle ABC$ में:
$$\tan\theta = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{4} \quad \text{--- (समीकरण 1)}$$
चरण 3: समकोण $\triangle ABD$ में:
$$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{AB}{BD} \implies \cot\theta = \frac{h}{9} \quad \text{--- (समीकरण 2)}$$
चरण 4: गुणांक (1) और (2) का गुणन करें:
$$\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{h}{4} \times \frac{h}{9}$$ $$1 = \frac{h^2}{36}$$ $$h^2 = 36 \implies h = \sqrt{36} = 6 \text{ m}$$
(चुंकी स्ट्रोक ऋणात्मक नहीं हो सकता, मूलतः $h = +6$).
इति सिद्धम्: मीनार की रोशनी 6 मीटर है।
उदाहरण 4
उदा 4. एक 1.5 मीटर लंबा लड़का 30 मीटर ऊंचा एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तो उसकी आँख से भवन के शिखर का कोण 30° से 60° हो जाता है। बताओ कि वह भवन तक कितनी दूरी पर है? (एनसीईआरटी/जेएसी 2020 - 5 अंक)
विस्तृत समाधान / उत्तर:
चरण 1: लड़के की जिज्ञासा को जिज्ञासा जिज्ञासा:
भवन की कुल पत्रिका $= 30 \text{ m}$। लड़के की कहानी $= 1.5 \text{ m}$.
लड़के की आँख के स्मारक स्तर से भवन के शिखर की शोक:
$$h = 30 - 1.5 = 28.5 \text{ m} = \frac{57}{2} \text{ m}$$
चरण 2: सिद्धांत में दूरियाँ अध्ययन:
माना जाता है कि बॉय पहले प्वाइंट $P$ पर था और $x$ डिस्टेंस प्वाइंट प्वाइंट $Q$ पर पहुंचता है।
छोटे समकोण मॉडल में (जब कोण $60^\circ$ है):
$$\tan 60^\circ = \frac{28.5}{y} \implies \sqrt{3} = \frac{28.5}{y} \implies y = \frac{28.5}{\sqrt{3}} \text{ m}$$
बड़े समकोण टेलीविजन में (जब कोण $30^\circ$ है):
$$\tan 30^\circ = \frac{28.5}{x + y} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{28.5}{x + y} \implies x + y = 28.5\sqrt{3} \text{ m}$$
चरण 3: तय की गई दूरी (x) ज्ञात करें:
$$x = (x + y) - y = 28.5\sqrt{3} - \frac{28.5}{\sqrt{3}}$$ $$= 28.5 \left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 28.5 \left(\frac{3 - 1}{\sqrt{3}}\right) = 28.5 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{57}{\sqrt{3}}$$ हर का अंतिम संस्कार करने पर:
$$x = \frac{57\sqrt{3}}{3} = 19\sqrt{3} \text{ m}$$
उत्तर: बॉय भवन की ओर $19\sqrt{3} \text{ मीटर}$ पहुंच गया है।
उदाहरण 5
उदा 5. समुद्र तट से 75 मीटर हाई लाइट हाउस के शिखर पर दो समुद्री तटों के अवनमन तट पर 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज के ठीक पीछे हो, तो दोनों साथियों के बीच की दूरी ज्ञात होती है। (जेएसी 2019, 2023 - 4 अंक)
विस्तृत समाधान / उत्तर:
चरण 1: आग्नेय एवं कोणीय:
लाइटहाउस की पत्रिका $AB = 75 \text{ m}$ है।
दोनों जहाज बिंदु $C$ और $D$ पर हैं।
शिखर $A$ से अवनमन कोण क्रमशः $45^\circ$ (निकट जहाज $C$) और $30^\circ$ (दूर जहाज $D$) हैं।
जमीन पर $\angle ACB = 45^\circ$ और $\angle ADB = 30^\circ$होगा से एक अंश कोण नियम।

चरण 2: निकटतम जहाज की दूरी (ई.पू.) जल्द:
समकोण $\triangle ABC$ में:
$$\tan 45^\circ = \frac{AB}{BC} \implies 1 = \frac{75}{BC} \implies BC = 75 \text{ m}$$
चरण 3: दूर के जहाज की दूरी (बीडी) जल्द:
समकोण $\triangle ABD$ में:
$$\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{75}{BD} \implies BD = 75\sqrt{3} \text{ m}$$
चरण 4: दोनों साथियों के बीच की दूरी (सीडी) ज्ञात करें:
$$CD = BD - BC = 75\sqrt{3} - 75 = 75(\sqrt{3} - 1) \text{ m}$$
यदि $\sqrt{3} = 1.732$ जारी:
$$CD = 75(1.732 - 1) = 75 \times 0.732 = 54.9 \text{ m}$$
उत्तर: दोनों जोड़ों की बीच की दूरी $75(\sqrt{3} - 1) \text{ m}$ (या 54.9 मी.) है।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

अवनमन कोण को सीधे ऊर्ध्वाधर दीवार के साथ बना देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

अवनमन कोण सदैव प्रेक्षक की आँख पर खींची गई क्षैतिज रेखा के साथ नीचे की ओर बनता है, कभी भी दीवार के साथ नहीं।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

टूटे पेड़ के सवाल में केवल लंब को ही पेड़ की ऊँचाई मान लेना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

पेड़ की वास्तविक गति स्टैंड भाग (लम्ब) और ट्रेन मंचा भाग (कर्ण) दोनों का योग है: कुल कसरत = BC + CA'।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

जब प्रेक्षक की अपनी ऊँचाई दी गई हो (जैसे 1.5 m लड़का), तो उसे भवन की कुल ऊँचाई में से घटाना भूल जाना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

प्रेक्षक की आँख जमीन से 1.5 m ऊपर होती है, अतः त्रिभुज का लंब = कुल ऊँचाई - 1.5 m होगा।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

tan 30° और tan 60° के मानों में उलझन हो गई (√3 की जगह 1/√3 लिख देना)।

सही वैज्ञानिक तथ्य

जैसे-जैसे कोण बढ़ा है, तन का मान बढ़ा है। मूलतः tan 30° = 1/√3 (छोटा) और tan 60° = √3 (बड़ा) होता है।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

उत्तर में अपरिमेय संख्या के हर का परिमेयीकरण न करना (जैसे 24/√3 छोड़कर आ जाना)।

सही वैज्ञानिक तथ्य

गणित में हर में करणी नहीं छोड़ी जाती। √3 से ऊपर-नीचे गुणा करके 24√3 / 3 = 8√3 सरल रूप में लिखें।

ऊँचाई और दूरी - उन्नयन कोण, अवनमन कोण एवं द्वि-त्रिभुज मॉडल

त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग: ऊँचाई और दूरी (Heights & Distances) उन्नयन कोण बनाम अवनमन कोण क्षैतिज स्तर (शीर्ष) मीनार (h) दृष्टि रेखा θ (अवनमन) θ (उन्नयन) दूरी / आधार (d) एकांतर कोण नियम: अवनमन कोण = उन्नयन कोण महत्वपूर्ण जादुई अनुपात एवं शॉर्टकट कोण 30° पर: tan 30° = 1 / √3 ⇒ आधार = ऊँचाई × √3 कोण 45° पर (स्वर्ण स्थिति): tan 45° = 1 ⇒ ऊँचाई (h) = आधार (d) कोण 60° पर: tan 60° = √3 ⇒ ऊँचाई = आधार × √3 पूरक कोणों पर मीनार की ऊँचाई: h = √(a · b)

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
दृष्टि रेखा प्रेक्षक की आँख को वस्तु से मिलाने वाली सीधी रेखा होती है।
मुख्य बिंदु 2
उन्नयन कोण तब बनता है जब वस्तु प्रेक्षक के क्षैतिज स्तर से ऊपर हो।
मुख्य बिंदु 3
अवनमन कोण तब बनता है जब वस्तु प्रेक्षक के क्षैतिज स्तर से नीचे स्थित हो।
मुख्य बिंदु 4
एकांतर अंतःकोण नियम से, वस्तु से प्रेक्षक का उन्नयन कोण शीर्ष पर बने अवनमन कोण के ठीक बराबर होता है।
मुख्य बिंदु 5
ऊंची और दूरी के अधिकांश भाग में tan θ = लंब/आधार (h/x) का अर्थ होता है।
मुख्य बिंदु 6
पतंग की डोरी या फ़्लोरिडा शीट के छोटे से छोटे भाग में पाप θ = लंब/कर्ण का अर्थ होता है।
मुख्य बिंदु 7
जब उन्नयन कोण 45° हो, तो वस्तु की ऊँचाई और उसकी छाया/दूरी परस्पर बराबर होती हैं।
मुख्य बिंदु 8
टूटे पेड़ की कुल ऊँचाई खड़ा भाग (लंब) और टूटा मुड़ा भाग (कर्ण) जोड़कर प्राप्त होती है।
मुख्य बिंदु 9
मीनार के दो उदाहरणों में से एक मोती का गोलाकार कोण और दूरियाँ a V b होन, तो h = √(ab)होता है।
मुख्य बिंदु 10
गणना के अंतिम चरण में हर का परिमेयीकरण करना अनिवार्य है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
1. एक ऊर्ध्वाधर खंभे की ऊँचाई उसकी छाया के बराबर है। सूर्य का उन्नयन कोण क्या होगा?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: tan θ = h / x = 1 (चूंकि h = x) ⇒ θ = 45°।
2
2. भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई क्या होगी?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: tan 30° = h / 30 ⇒ 1/√3 = h / 30 ⇒ h = 30/√3 = 10√3 m (या 17.32 m)।
3
3. एक पतंग 60 m की ऊँचाई पर उड़ रही है और डोरी भूमि से 60° का कोण बनाती है। डोरी की लंबाई क्या होगी?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: sin 60° = h / L ⇒ √3/2 = 60 / L ⇒ L = 120/√3 = 40√3 मी.
4
4. मीनार के आधार से 4 m और 16 m की दूरी पर दो बिंदुओं से उन्नयन कोण पूरक हैं। मीनार की ऊँचाई क्या होगी?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: h = √(a · b) = √(4 × 16) = √64 = 8 m।
5
5. यदि प्रेक्षक मीनार की ओर बढ़ता है, तो उन्नयन कोण का मान बढ़ता है या घटता है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: बढ़ता है (जैसे 30° से बढ़कर 45° या 60° हो जाता है)।
अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?
अभ्यास के लिए तैयार?

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कक्षा 10 Mathematics (211) के सभी अध्याय

अध्याय 1: संख्या पद्धति (Number Systems) अध्याय 2: घातांक और करणी (Exponents and Radicals) अध्याय 3: बीजीय व्यंजक एवं बहुपद (Algebraic Expressions and Polynomials) अध्याय 4: विशेष गुणनफल एवं गुणनखंडन (Special Products and Factorization) अध्याय 5: रैखिक समीकरण (Linear Equations) अध्याय 6: द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) अध्याय 7: समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions) अध्याय 8: प्रतिशतता एवं उसके अनुप्रयोग (Percentage and Applications) अध्याय 9: किस्त खरीद (Instalment Buying) अध्याय 10: रेखाएँ और कोण (Lines and Angles) अध्याय 11: त्रिभुजों की सर्वांगसमता (Congruence of Triangles) अध्याय 12: संगामी रेखाएँ (Concurrent Lines) अध्याय 13: चतुर्भुज (Quadrilaterals) अध्याय 14: त्रिभुजों की समरूपता (Similarity of Triangles) अध्याय 15: वृत्त (Circles) अध्याय 16: वृत्त में कोण एवं चक्रीय चतुर्भुज (Angles in a Circle and Cyclic Quad) अध्याय 17: छेदक, स्पर्श रेखाएँ एवं उनके गुण (Secants and Tangents) अध्याय 18: रचनाएँ (Constructions) अध्याय 19: निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) अध्याय 20: समतल आकृतियों के परिमाप एवं क्षेत्रफल (Perimeters and Area) अध्याय 21: ठोस आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Area and Volume) अध्याय 22: त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry) अध्याय 23: विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios) अध्याय 24: आँकड़े एवं उनका निरूपण (Data and Their Representation) अध्याय 25: केन्द्रीय प्रवृत्ति के उपाय (Measures of Central Tendency) अध्याय 26: प्रायिकता का परिचय (Introduction to Probability)

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