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NIOS • कक्षा X • Science & Technology (212) • अध्याय 15

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

प्रकाश ऊर्जा (Light Energy)

प्रकाश (प्रकाश) ऊर्जा का वह रूप है जो हमारी आंखों की रोशनी को संवेदित करके हमें यह सुंदर और रंगबिरंगे संसार को देखने की दृष्टिगत अनुभूति प्रदान करता है। प्रकृति में प्रकाश की चाल प्रकृति में ज्ञात सर्वाधिक वेग—लगभग $3 \times 10^8\text{ m/s}$ ($3,00,000\text{ km/s}$)—होती है। प्रकाश हमेशा एक सरल रेखा में गमन दिखाता है, जिसे प्रकाश का ऋजुरेखीय परावर्तन कहा जाता है। प्रकाशिकी (ऑप्टिक्स) के अंतर्गत प्रकाश के दो अत्यंत महत्वपूर्ण वैज्ञानिक व्यवहार-परिवर्तन (प्रतिबिंब) तथा अपवर्तन (अपवर्तन)-का अध्ययन किया जाता है। जब प्रकाश की किरणें किसी भी तरह की चमकदार, चमकीली या गोलाकार सतह वाली होती हैं (जैसे कि सूर्य के प्रकाश की किरणें) और चमकदार किरणें उसी माध्यम से वापस लौटती हैं, तो इस परीघटना को प्रकाश का परावर्तन कहा जाता है। परावर्तन के दो सार्वत्रिक नियम हैं: (1) अपतन कोण पर सदैव परावर्तन कोण के बराबर होता है ($\angle i = \angle r$), तथा (2) अपतान किरण, परावर्तित किरण और अपतन बिंदु पर अभिलंब कोण एक ही तल में होते हैं। गोलेय दर्पण दो प्रकार के होते हैं: अवतल दर्पण (अवतल दर्पण)—जिसका परावर्तक पृष्ठ अंदर की ओर झुका हुआ होता है और यह किरण को अभिसरित (अभिसरण) करता है, और उत्तल दर्पण (उत्तल दर्पण)—जिसका परावर्तक पृष्ठ बाहर की ओर दिखाई देता है और यह दर्पण को अपसरित (डाइवर्ज) कर देता है, सीधा और छोटा चित्र बनाता है (वॉहन्स के पृष्ठ-दृश्य में)। नई कार्तिकेय आकृति के आधार पर दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ और आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = \frac{h'}{h}$चित्र की स्थिति, आकार और प्रकृति की सटीक गणना की जाती है। जब प्रकाश की किरण एक रेखीय माध्यम से दूसरे रेखीय माध्यम में तिरछी प्रवेश करती है, तो दोनों माध्यमों के पृथक्करण पृष्ठ पर उसके घूर्ण की दिशा और चाल बदल जाती है। इस परिघटना को प्रकाश का अपवर्तन कहते हैं। अपवर्तन का कारण प्रकाश की चाल में भिन्न-भिन्न माध्यमों का भिन्न-भिन्न होना है। स्नेल का अपवर्तन नियम $\frac{\sin i}{\sin r} = \text{स्थिरांक} = n_{21}$ माध्यम के अपवर्तनांक को परिभाषित किया गया है। गोलय स्थिरांक दो प्रकार के होते हैं: उत्तल स्थिरांक (अपसारी) तथा अवातल स्थिरांक (अपसारी)। लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$, आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{h'}{h}$ और लेंस की क्षमता $P = \frac{1}{f\text{ (मीटर में)}}$ (मात्रक: डायोप्टर, डी) प्रकाशिकी के सबसे महत्वपूर्ण सिद्धांत सिद्धांत हैं। झारखंड बोर्ड (NIOS कक्षा 10) में इस अध्याय से 8 से 10 अंक के किरणें और संख्यात्मक मॉडल पर प्रश्न पूछे जाते हैं।

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🔍 क्या आपने कभी सोचा है: पानी के गिलास में डूबी पेंसिल मुड़ी हुई क्यों दिखती है, और एक साधारण सा काँच सूर्य की किरणों से आग कैसे लगा देता है?

जरा सोचिए: जब आप किसी साफ पानी से नमूने के कांच में एक तीखा पेंसिल लगाते हैं, तो हवा और पानी के जोड़ों पर पेंसिल मुड़ी हुई या टूटी हुई क्यों नजर आती है? इतना ही नहीं, यदि आप किसी भूजल पूल या पानी की बाल्टी की तली को ऊपर से देखें, तो उसकी गहराई अपनी वास्तविक गहराई से काफी ऊपर (कम) क्यों दिखाई देती है? और उसका भी बड़ा आश्चर्य: एक छोटा सा गोल कांच का टुकड़ा (उत्तल स्थिर) जब आप धूप में पकड़ते हैं, तो वह मीलों दूर सूर्य स्थित अनंत ऊर्जा को एक छोटे से बिंदु पर केंद्रित करके कागज को धू-धू कर जला देता है! कार के बगल वाले ट्रक पर एक चेतावनी लिखी हुई है: *"दर्पण में वस्तुएँ जितनी दिखाई देती हैं उससे अधिक करीब होती हैं"*—गाड़ी गाड़ी वाले को पीछे के बड़े-बैठे ट्रक उस बाइक से शीशे में छोटे-छोटे और सीधे कैसे दिखते हैं? यह कोई जादू नहीं है, बल्कि प्रकाश की किरणें, चमत्कार और नाचने का गणित और सिद्धांत है! आइये, प्रकाश के इस विस्मयकारी संसार के रहस्यों को जानते हैं!

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

इस अध्याय का अध्ययन आपके लिए क्यों आवश्यक है?

बोर्ड परीक्षा में अधिकतम अंक भार: एनआईओएस कक्षा 10वीं बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय से 8 से 10 अंकों के प्रश्न विभिन्न आते हैं। अवतल दर्पण के 6 किरणें, दर्पण एवं स्थिरांक सूत्र पर आधारित संख्यात्मक प्रश्न (संख्यात्मक), स्नेल का माप और स्थिर की क्षमता (डायोप्टर) परीक्षण के आवश्यक प्रश्न हैं।
नीट और जेईई (रे ऑप्टिक्स) का मजबूत आधार: कक्षा 11वीं और 12वीं की परीक्षा का अत्यंत महत्वपूर्ण खंड 'जियोमेट्रिक ऑप्टिक्स' पूरी तरह से समान प्रारंभिक अध्याय पर रखा गया है।
दैनिक जीवन एवं वैज्ञानिक सिद्धांत: चश्मा, सूक्ष्मदर्शी (माइक्रोस्कोप), दूरबीन (टेलिस्कोप), कैमरा लेंस, समोच्च हेडलाइट्स, सूर्य किरण और सूक्ष्मदर्शी के कार्य सिद्धांत को शामिल किया गया।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

प्रकाश का ऋजुरेखीय संचरण (प्रकाश सीधी रेखा में चलता है)।
समतल दर्पण द्वारा बने प्रतिबिंब की विशेषताएं (समान दूरी, आभासी, पार्श्व उत्क्रमण)।
त्रिकोणमिति के उद्भव अनुपात (sin, cos) एवं दर्शन बीजगणित (समीकरण हल करना)।
निर्देशांक ज्यामिति की चिह्न परिपाटी (X-अक्ष, Y-अक्ष, धनात्मक व ऋणात्मक दिशाएं)।

इस अध्याय के लक्ष्य

परावर्तन के नियमों और अपवर्तन के नियमों (स्नेल के नियम) की वैज्ञानिक व्याख्या कर सकेंगे।
अवतल एवं उत्तल दर्पणों द्वारा विभिन्न स्थितियों पर रखी वस्तु के प्रतिबिंब निर्माण के किरण आरेख खींच सकेंगे।
नई कार्टियॉज़ परिपाटी का सही उपयोग करते हुए दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ पर आधारित संख्यात्मक मूर्तियों को हल कर दिया गया है।
निरपेक्ष अपवर्तनांक एवं सापेक्ष अपवर्तनांक ($n_{21} = v_1 / v_2$) के संबंधों की गणना कर सकेंगे।
उत्तल एवं अवतल स्थिरांक के किरण इलेक्ट्रानिक स्टोकेलेट सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ और स्थिर की क्षमता ($P = 1/f$) का मान डायोप्टर में स्थापित कर बनाया जाता है।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. प्रकाश का परावर्तन एवं गोलाकार द...

2 2. नई कार्तीय चिह्न परिपाटी, दर्पण...

3 3. प्रकाश का अपवर्तन एवं अपवर्तनांक...

4 4. गोलाकार लेंस द्वारा अपवर्तन (गोल...

5 5. स्थिरांक सूत्र, आवर्धन एवं स्थिर...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. प्रकाश का परावर्तन एवं गोलाकार दर्पण (प्रतिबिंब एवं गोलाकार दर्पण)

जब प्रकाश की किरण किसी माध्यम से चलकर किसी परावर्तक सतह से टकराती है और पुनः उसी माध्यम में लौट आती है, तो इसे प्रकाश का परावर्तन (Reflection of Light) कहते हैं।

(क) परावर्तन के दो सार्वभौमिक नियम

आपतन कोण ($i$) सदैव परावर्तन कोण ($r$) के बराबर होता है: $\angle i = \angle r$।
आपतित किरण, आपतन बिंदु पर अभिलंब तथा परावर्तित किरण—तीनों एक ही तल में स्थित होते हैं।

(ख) गोलीय दर्पण (Spherical Mirrors) एवं प्रमुख शब्दावली

ऐसे दर्पण जिनका परावर्तक पृष्ठ किसी खोखले काँच के गोले का एक भाग होता है, गोलीय दर्पण कहलाते हैं:

अवतल दर्पण (Concave Mirror): इसका परावर्तक पृष्ठ अंदर की ओर दबा (वक्रित) होता है। यह अनंत से आने वाली समानांतर प्रकाश किरणों को अपने मुख्य फोकस पर अभिसरित (Converge) करता है।
उत्तल दर्पण (Convex Mirror): इसका परावर्तक पृष्ठ बाहर की ओर उभरा होता है। यह समानांतर प्रकाश किरणों को अपने मुख्य फोकस से अपसारित (Diverge) करता हुआ प्रतीत कराता है।

पारिभाषिक पद	परिभाषा एवं भौतिक अर्थ	प्रतीक एवं सूत्र
ध्रुव (Pole)	गोलीय दर्पण के परावर्तक पृष्ठ का केंद्र बिंदु।	$P$ (दर्पण की सतह पर स्थित)
वक्रता केंद्र (Center of Curvature)	उस खोखले गोले का केंद्र जिसका दर्पण एक भाग है।	$C$ (अवतल में आगे, उत्तल में पीछे)
वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature)	ध्रुव से वक्रता केंद्र के बीच की दूरी ($PC$)।	$R$ ($R = 2f$)
मुख्य अक्ष (Principal Axis)	ध्रुव ($P$) और वक्रता केंद्र ($C$) से होकर गुजरने वाली सीधी काल्पनिक रेखा।	रेखा $PC$
मुख्य फोकस (Principal Focus)	मुख्य अक्ष के समानांतर आने वाली किरणें परावर्तन के पश्चात जिस बिंदु पर मिलती हैं (अवतल) या मिलती हुई प्रतीत होती हैं (उत्तल)।	$F$
फोकस दूरी (Focal Length)	ध्रुव ($P$) से मुख्य फोकस ($F$) के बीच की दूरी।	$f$ ($f = \frac{R}{2}$)

(ग) अवतल दर्पण द्वारा प्रतिबिंब निर्माण की 6 स्थितियां (बोर्ड में 5 अंक)

वस्तु (बिंब) की स्थिति	प्रतिबिंब की स्थिति	प्रतिबिंब का आकार	प्रतिबिंब की प्रकृति	दैनिक उपयोग
1. अनंत पर	फोकस $F$ पर	अत्यधिक छोटा (बिंदुवत)	वास्तविक एवं उल्टा	सौर कुकर, डिश एंटीना
2. $C$ से परे (अनंत व $C$ के बीच)	$F$ और $C$ के बीच	छोटा	वास्तविक एवं उल्टा	ऑप्टिकल उपकरण
3. वक्रता केंद्र $C$ पर	वक्रता केंद्र $C$ पर ही	वस्तु के ठीक बराबर	वास्तविक एवं उल्टा	आवर्धन $m = -1$ का मापन
4. $C$ और $F$ के बीच	$C$ से परे (अनंत व $C$ के बीच)	बड़ा (विवर्धित)	वास्तविक एवं उल्टा	प्रोजेक्टर सिनेमा
5. फोकस $F$ पर	अनंत पर	अत्यधिक बड़ा (अति विवर्धित)	वास्तविक एवं उल्टा	सर्चलाइट, कार की हेडलाइट्स
6. $P$ और $F$ के बीच	दर्पण के पीछे	बड़ा (विवर्धित)	आभासी एवं सीधा	दाढ़ी बनाने का शीशा (Shaving Mirror), दंत चिकित्सक (Dentist Mirror)

उत्तल दर्पण के उपयोग (JAC Board पसंदीदा 2 अंक):
उत्तल दर्पण का उपयोग वाहनों के पश्च-दृश्य दर्पण (Rear-view / Wing Mirror) के रूप में किया जाता है क्योंकि: (1) यह सदैव सीधा एवं छोटा प्रतिबिंब बनाता है, और (2) बाहर की ओर वक्रित होने के कारण इसका दृष्टि-क्षेत्र (Field of View) अत्यंत विस्तृत होता है, जिससे चालक को पीछे का एक विशाल सड़क क्षेत्र दिखाई देता है।

2. नई कार्तीय चिह्न परिपाटी, दर्पण सूत्र एवं आवर्धन

सांख्यिक मूर्तियों को हल करने के लिए दूरियां टोकियो में गोलाकार दर्पण नई कार्तीय सिद्धांत परिपाटी (न्यू कार्टेशियन साइन कन्वेंशन) का पालन किया जाता है:

(क) विश्वास परिपाटी के 5 स्वर्णिम नियम:

बिम्ब (वास्तु) को सदैव दर्पण के बाईं ओर पर रखा जाता है (आपतीत लाइट बायीं ओर से ऊपर की ओर स्थित है)।
सभी दूरदर्शिता दर्पण के ध्रुव ($P$) को मूल बिंदु $(0,0)$ प्राप्त मुख्य अक्ष के अनुदिश मापी दिए जाते हैं।
मूल बिंदु ($P$) के ऊपरी ओर ($+X$ अक्ष) मापी गई दूरियां धनात्मक ($+$) ली जाती हैं।
मूल बिंदु ($P$) के बाईं ओर ($-X$ अक्ष) मापी गई दूरियां ऋणात्मक ($-$) ली जाती हैं।
मुख्य अक्ष के आक्षेप ऊपर की ओर ($+Y$ अक्ष) मापी गई आकाशगंगा धनात्मक ($+$) और नीचे की ओर ($-Y$ अक्ष) मापी गई मुख्य आक्स ऋणात्मक ($-$) ली जाती है।

राशी	अवतल दर्पण (अवतल)	उत्तल दर्पण (उत्तल)
फ़ोकस दूरी ($f$)	सदैव ऋणात्मक ($-$)	सदैव धनात्मक ($+$)
वस्तु दूरी ($u$)	सदैव ऋणात्मक ($-$)	सदैव ऋणात्मक ($-$)
प्रतिबिम्ब दूरी ($v$)	वास्तविक के लिए: ऋणात्मक ($-$) \| देखने के लिए: धनात्मक ($+$)	सदैव धनात्मक ($+$) (दर्पण के पीछे)
आवर्धन ($m$)	वास्तविक एवं मूल्यांकन: ऋणात्मक ($-$) \| आभासी एवं प्रत्यक्ष: धनात्मक ($+$)	सदैव धनात्मक ($+$) तथा $m < 1$

(ख) दर्पण सूत्र एवं रेखीय आवर्धन:

ददर्पण सूत्र (मिरर फॉर्मूला):

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$$

जहाँ $u$ = बिंब दूरी, $v$ =आयाम दूरी, $f$ = फोकस दूरी।

रेखीय आवर्धन (रैखिक आवर्धन - $m$):

प्रतिबिंब की विचारधारा ($h'$) तथा बिंब की विचारधारा ($h$) के अनुपात को आवर्धन कहा जाता है:

$$m = \frac{\text{प्रतिबिंब की ऊँचाई } (h')}{\text{बिंब की ऊँचाई } (h)} = -\frac{v}{u}$$

अत्यंत महत्वपूर्ण निष्कर्ष:
• यदि $m$ का मान ऋणात्मक ($-$) आया $\to$कल्पना यथार्थिक एवं वैज्ञानिक है।
• यदि $m$ का मन धनात्मक ($+$) आता है $\to$चित्र आभासी एवं प्रत्यक्ष है।
• यदि $|m| > 1$ हो $\to$डिस्पोजेक्ट ऑब्जेक्ट से बड़ा (विखंडन) है।
• यदि $|m| = 1$ हो $\to$डिस्पोजेक्ट वस्तु के बराबर आकार का है ($C$ पर).
• यदि $|m| < 1$ हो $\to$आयोडाइज़ वस्तु से छोटी है।

3. प्रकाश का अपवर्तन एवं अपवर्तनांक (अपवर्तन एवं स्नेल का नियम)

जब प्रकाश की किरण एक रेखीय माध्यम से दूसरे रेखीय माध्यम में प्रवेश करती है, तो अपने सीधे पथ से विस्थापित हो जाती है। प्रकाश की किरण के चक्रवात की इस घटना को प्रकाश का अपवर्तन (प्रकाश का अपवर्तन) कहते हैं।

(क) अपवर्तन का मूल कारण एवं नियम:

मूल कारण: प्रकाश की चाल (प्रकाश की गति) में अलग-अलग माध्यमों में अलग-अलग भिन्नता है।
विरल सेसाइटोमाध्यम (दुर्लभ से सघन):जब प्रकाश विषाणु माध्यम (वायु की तरह) सेसाइटोमाध्यम (जैसे कांच या जल) में जाता है, तो इसकी चाल घट जाती है और यह अभिलंब की ओर झटका हो जाता है ($\angle i > \angle r$).
सघन से विरल माध्यम (घनत्व से दुर्लभ): जब प्रकाश शास्त्र से विरल माध्यम में जाता है, तो इसकी चाल बढ़ जाती है और यह अभिलंब से दूर हट जाता है ($\angle i < \angle r$).

(ख) अपवर्तन के दो नियम एवं स्नेल का नियम (स्नेल का नियम)

प्रथम नियम: अपाकृत किरण, अपवर्तित किरण और अपातन बिंदु दोनों माध्यमों के पृथक्करण पृष्ठ पर अभिलंब—तीनों एक ही तल में होते हैं।
द्वितीय नियम (स्नेल का नियम): प्रकाश के किसी निश्चित रंग तथा निश्चित माध्यमों के युग्म के लिए अपतन कोण की ज्यों ($\sin i$) तथा अपवर्तन कोण की ज्यों ($\sin r$) की गणना एक स्थिरांक (आईआररैंक) होती है: $$\frac{\sin i}{\sin r} = \text{स्थिरांक} = n_{21}$$ इस स्थिरांक को माध्यम 1 के सापेक्ष माध्यम 2 का अपवर्तनांक (अपवर्तक सूचकांक) कहते हैं।

(जी) निरपेक्ष अपवर्तनांक एवं सापेक्ष अपवर्तनांक के सूत्र:

प्रकार	परिभाषा एवं सूत्र	विशिष्ट मान
निरपेक्ष अपवर्तनांक ($n_m$)	निर्वात (या वायु) में प्रकाश की चाल ($c$) और मध्यम में प्रकाश की चाल ($v$) का अनुपात: $$n = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8\text{ m/s}}{v}$$	• वायु: $1.0003 \approx 1.0$ • जल: $n_w = 1.33 = \frac{4}{3}$ • क्राउन कांच: $n_g = 1.52 = \frac{3}{2}$ • हीरा: $n = 2.42$ (अधिकतम प्रकृति में)
सापेक्ष अपवर्तनांक ($n_{21}$)	मध्यम 1 में चाल ($v_1$) तथा मध्यम 2 में चाल ($v_2$) का अनुपात: $$n_{21} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}$$	$$n_{12} = \frac{1}{n_{21}}$$

(घ) काँच की मूर्तिकला सिल्ली (ग्लास स्लैब) से अपवर्तन एवं पार्श्व

जब प्रकाश की किरण काँच की सिल्ली में प्रवेश करती है और फिर बाहर निकलती है, तो:

आपतित किरण और निर्गत किरण (उभरती किरण) एक-दूसरे के समानान्तर होती हैं (अर्थात आपतन कोण = निर्गत कोण $\Rightarrow \angle i = \angle e$).
निर्गत किरण अपनी मूल दिशा से थोड़ी सी बगल में खिसक जाती है। आपित किरण की मूल दिशा तथा निर्गत किरण के मध्य प्रक्षेपण दूरी को पार्श्व (पार्श्व (पार्श्व) विस्थापन) कहते हैं।
पार्श्व तरंग सिल्ली की हलचल, अपवर्तनांक और आपटन कोण में वृद्धि हुई है।

4. गोलाकार लेंस द्वारा अपवर्तन (गोलाकार लेंस द्वारा अपवर्तन)

दो गहराई से घिसा हुआ कोई घेरा माध्यम, जिसका एक या दोनों पृष्ठ गोलाय होन, लेंस (लेंस) उद्देश्य है:

उत्तल लेंस (उत्तल लेंस / द्वित्तल स्थिरांक): यह बीच में से मोटा और लचीलापन से पतला होता है। यह आपके ऊपर आपितित होने वाले वाले समांतर प्रकाश पुंज को एक बिंदु पर अभिसरित कर देता है, मूलतः इसे अभिसारी लेंस (कन्वर्जिंग लेंस) कहा जाता है।
अवतल लेंस (अवतल लेंस / द्वैवतल स्थिरांक): यह बीच में से लचीलापन और लचीलापन से मोटा होता है। यह समानांतर प्रकाश किरण को अपसारित (फैला) देता है, मूल रूप से इसे अपसारी लेंस (डाइवर्जिंग लेंस) कहा जाता है।

(के) उत्तल स्थिरांक 6 ऑब्जेक्ट निर्माण द्वारा

वस्तु की स्थिति	प्रतिबिंब की स्थिति	प्रतिबिंब का आकार	प्रतिबिम्ब की प्रकृति	अनुप्रयोग
1. अनंत पर	फ़ोकस $F_2$ पर	अत्यधिक छोटा (बिंदुवत)	वास्तविक एवं मूल्यांकन	दूरबीन का अभिदृश्यक
2. $2F_1$ से परे	$F_2$ और $2F_2$ के बीच	छोटा	वास्तविक एवं मूल्यांकन	कैमरा स्टेक
3. $2F_1$ पर	$2F_2$ पर ही	वस्तु के बराबर आकार	वास्तविक एवं मूल्यांकन	टेरेरेस्ट्रियल चरित्र ($m = -1$)
4. $F_1$ और $2F_1$ के बीच	$2F_2$ से अधिक	बड़ा (विभाग)	वास्तविक एवं मूल्यांकन	प्रोजेक्टर, सूक्ष्मनाशी
5. फोकस $F_1$ पर	अनंत पर	अत्यधिक बड़ा	वास्तविक एवं मूल्यांकन	सर्चलाइट कोलीमीटर
6. $F_1$ और लौकिक केंद्र $O$ के बीच	वस्तु की ही ओर (उसी तरफ)	बड़ा (विभाग)	आभासी सीधा एवं	सरल सूक्ष्मदर्शी / आवर्धक ग्लास (आवर्धक लेंस)

(ख) अवतल स्थिर उपकरण निर्माण द्वारा

अटल स्थिर वस्तु की प्रत्येक स्थिति (चाहे वस्तु अनंत पर हो या कहीं भी हो) के लिए हमेशा के लिए आभासी, प्रत्यक्ष और वस्तु से छोटी वस्तु ही निर्मित होती है। यह बेरोजगार स्थिर के प्रकाश केंद्र $O$ और फोकस $F_1$ के बीच बना है।

5. स्थिरांक सूत्र, आवर्धन एवं स्थिरांक की क्षमता (लेंस सूत्र और लेंस की शक्ति)

(के) स्थिर सूत्र (लेंस फॉर्मूला)

बिंब दूरी ($u$),आयशो दूरी ($v$) और फोकस दूरी ($f$) के मध्य संबंध को स्थिर सूत्र कहते हैं:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$$

सावधानी (दर्पण बनाम स्थिर सूत्र):
• दर्पण सूत्र में धन आलेख ($+$) होता है: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$
• स्थिर सूत्र में ऋण समस्या ($-$)होता है: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$

(ख) स्थिर द्वारा आवर्धन ($m$)

$$m = \frac{\text{प्रतिबिंब की ऊँचाई } (h')}{\text{बिंब की ऊँचाई } (h)} = +\frac{v}{u}$$

(ध्यान दें: स्थिर के आवर्धन सूत्र में $v/u$ धनात्मक होता है, जबकि दर्पण में $-v/u$ होता है)।

(जी) स्थिर की क्षमता (एक लेंस की शक्ति - $P$)

किसी स्थिरांक द्वारा प्रकाश किरण को अभिसरित या अपसारित करने की क्षमता को उस स्थिरस्तोल की क्षमता (पावर) कहते हैं।

वैज्ञानिक परिभाषा: किसी स्थिर की फोकस दूरी ($f$, मीटर में) के व्युत्क्रम (पारस्परिक) को स्थिर की क्षमता कहते हैं: $$P = \frac{1}{f\text{ (मीटर में)}} = \frac{100}{f\text{ (सेमी में)}}$$
SI माप: स्थिर की क्षमता का SI परिमाण डायोप्टर (डायोप्टर, प्रतीक: D)होता है।
1 डायोप्टर की परिभाषा (बोर्ड में 1 अंक): 1 डायोप्टर की स्थिर फोकस दूरी ठीक 1 मीटर हो ($1\text{ D} = 1\text{ m}^{-1}$).
श्रृंग:
- उत्तल ऑप्टिकल की फोकस दूरी धनात्मक होती है $\Rightarrow$ इसकी क्षमता धनात्मक ($+D$) होती है।
- अवटल ऑप्टिकल की फोकस दूरी ऋणात्मक होती है $\Rightarrow$ इसकी क्षमता ऋणात्मक ($-D$) होती है।
लेंसों का संयोजन (Combination of lenses): यदि कई स्थिर स्थिरांकों को संपर्क में रखा जाए, तो कुल क्षमताएं मजबूत होने के बीजगणितीय योग के बराबर होती हैं: $$P = P_1 + P_2 + P_3 + \dots$$

महत्वपूर्ण रासायनिक सूत्र, अभिक्रियाएँ एवं समीकरण

वक्रता त्रिज्या एवं फोकस दूरी संबंध

R = 2f अथवा f = {R}{2}

गोलीय दर्पण सूत्र

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$$

दर्पण का रेखीय आवर्धन

$$m = \frac{h'}{h} = -\frac{v}{u}$$

अपवर्तन का स्नेल नियम

$$\frac{\sin i}{\sin r} = n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$$

माध्यम का निरपेक्ष अपवर्तनांक

$$n = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8\text{ m/s}}{v}$$

सापेक्ष अपवर्तनांक (चाल के पदों में)

$$n_{21} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}$$

गोलीय लेंस सूत्र

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$$

लेंस का रेखीय आवर्धन

$$m = \frac{h'}{h} = +\frac{v}{u}$$

लेंस की क्षमता (मीटर में)

P = {1}{f (m)} [मात्रक: डायोप्टर, D]

लेंस की क्षमता (सेमी में)

$$P = \frac{100}{f\text{ (cm)}}$$

लेंसों के संयोजन की क्षमता

$$P_{\text{total}} = P_1 + P_2 + P_3 + \dots$$

काँच की सिल्ली में संबंध

i = e (आपतन कोण = निर्गत कोण)

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

प्रश्न 1 (जेएसी 2023 - 5 ए.के.): एक 2.0 सेमी ऊंचा बिंब 10 सेमी फोकस दूरी के अवतल दर्पण के सामने 15 सेमी की दूरी पर रखा गया है। दर्पण से कितनी दूरी पर परदा रखा जाए ताकि उसका सुस्पष्ट दर्पण प्राप्त हो सके? की दृष्टि प्रकृति, आकार तथा आवर्धन ज्ञात कोइ।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

हल: 1. दिए गए मान (श्रेणी पृष्ठ सहित): • बिंब की पत्रिका, $h = +2.0\text{ cm}$ • बिंब दूरी, $u = -15\text{ cm}$ (सदैव ऋणात्मक) • अवतल दर्पण की फोकस दूरी, $f = -10\text{ cm}$ (अवतल दर्पण की फोकस दूरी) •दूरदर्शिता दूरी, $v = ?$ •दर्शन की दर्शन, $h' = ?$

2. दर्पण सूत्र का अर्थ:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$$

$$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$$

$$\frac{1}{v} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{-15} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{15}$$

एल.एस. $(10, 15) = 30$:

$$\frac{1}{v} = \frac{-3 + 2}{30} = \frac{-1}{30}$$

$$v = -30\text{ cm}$$

मूल रूप से दर्पण के सामने (बाईं ओर) 30 सेमी की दूरी पर रखने के लिए सुस्पष्टआयोडोप प्राप्त किया जाएगा।

3. आवर्धन एवं दर्शन का आकार:

$$m = -\frac{v}{u} = -\frac{(-30)}{(-15)} = -2$$

$m = \frac{h'}{h}$:

$$-2 = \frac{h'}{2.0} \implies h' = -2 \times 2.0 = -4.0\text{ cm}$$

4. निष्कर्ष: •आयतन का आकार: $4.0\text{ cm}$ (दोगुना बड़ा) •रीज़र की प्रकृति: वास्तविक एवं ऐतिहासिक ($v$ और $h'$ दोनों ऋणात्मक हैं)।

उदाहरण 2

प्रश्न 2 (जेएसी 2022 - 3 अंक): किसी भी वाहन के पीछे के दृश्य देखने के लिए उपयोग किए गए उत्तल दर्पण की वज्रता त्रिमात्रा 3.00 मीटर है। यदि एक बस का दर्पण 5.00 मीटर की दूरी पर स्थित है, तो डिस्प्ले की स्थिति, प्रकृति और आकार ज्ञात है।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

हल: 1. दिए गए मन: • वक्रता त्रिगुण, $R = +3.00\text{ m}$ (उत्तल दर्पण आयाम धनात्मक) • फोकस दूरी, $f = \frac{R}{2} = \frac{+3.00}{2} = +1.50\text{ m}$ • बिंब (बस) दूरी, $u = -5.00\text{ m}$ •दूरदर्शिता दूरी, $v = ?$

2. दर्पण सूत्र से:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$$

$$\frac{1}{v} = \frac{1}{1.50} - \left(\frac{1}{-5.00}\right) = \frac{1}{1.50} + \frac{1}{5.00} = \frac{10}{15} + \frac{1}{5} = \frac{2}{3} + \frac{1}{5}$$

$$\frac{1}{v} = \frac{10 + 3}{15} = \frac{13}{15} \implies v = \frac{15}{13} = +1.15\text{ m}$$

3. आवर्धन:

$$m = -\frac{v}{u} = -\frac{(+1.15)}{(-5.00)} = +\frac{1.15}{5.00} = +0.23$$

4. परिणाम: • स्थिति: दर्पण के पीछे 1.15 मीटर की दूरी बनती है। • प्रकृति: आभासी एवं सीधा ($m$ धनात्मक है)। • आकार: बस काइक्रोस्कोप वास्तविक आकार का 0.23 गुना (छोटा) दिखाई देगा।

उदाहरण 3

प्रश्न 3 (JAC 2021 - 5 अंक): एक उत्तल पिक्सेल की दूरी 15 सेमी है। किस बिंब को स्थिर से कितनी दूरी पर रखा जाए कि बिंब से 3 गुना बड़ा वास्तविक उपकरण बनाया जाए? स्थिर सूत्र बिंब दूरी और ऑप्टिकल दूरी की गणना करता है।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

: 1. दिए गए मन: • उत्तल स्थिर स्थिर फोकस दूरी, $f = +15\text{ cm}$ (उत्तल स्थिर स्थिर फोकस दूरी, $f = +15\text{ cm}$) •दर्शन वास्तविक है, मूलतः आवर्धन ऋणात्मक होगा:

$$m = -3$$

• बिंब दूरी, $u = ?$

2. आवर्धन सूत्र से संबंध: $m = \frac{v}{u}$ के लिए स्थिर:

$$-3 = \frac{v}{u} \implies v = -3u$$

3. स्थिर सूत्र में प्रतिस्थापन करने पर:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$$

$$\frac{1}{15} = \frac{1}{-3u} - \frac{1}{u} = -\frac{1}{3u} - \frac{1}{u}$$

$$\frac{1}{15} = \frac{-1 - 3}{3u} = \frac{-4}{3u}$$

$$3u = -4 \times 15 = -60$$

$$u = \frac{-60}{3} = -20\text{ cm}$$

4. ज़ूम दूरी ($v$):

$$v = -3u = -3(-20) = +60\text{ cm}$$

उत्तर:बिंब को स्थिर के सामने 20 सेमी की दूरी पर ($2F_1$ और $F_1$ के बीच) रखना चाहिए, और चश्मे को दूसरी ओर 60 सेमी की दूरी पर ($2F_2$ से अधिक) वास्तविक, वास्तविक और 3 गुना बड़ा लगेगा।

उदाहरण 4

प्रश्न 4 (जेएसी 2020 - 3 अंक): प्रकाश वायु से 1.50 अपवर्तनांक की कांच की प्लेट में प्रवेश होता है। काँच में प्रकाश की चाल कितनी है? (निर्वात में प्रकाश की चाल = 3 × 10⁸ m/s)। स्टोर का अपवर्तनांक 2.42 है, इस कथन का अभिप्राय क्या है?

विस्तृत समाधान / उत्तर:

हल: (के) काँच में प्रकाश की चाल: निरपेक्ष अपवर्तनांक सूत्र:

$$n = \frac{c}{v} \implies v = \frac{c}{n}$$

दिए गए मान: $c = 3 \times 10^8\text{ m/s}$, $n = 1.50$

$$v = \frac{3 \times 10^8}{1.50} = 2.0 \times 10^8\text{ m/s}$$

मूलतः काँच में प्रकाश की चाल $2 \times 10^8\text{ m/s}$ ($2,00,000\text{ km/s}$) होगी।

(ख) "हीरे का अपवर्तनांक 2.42 है" का अभिप्राय: यह अभिप्राय है कि:

प्रकाश की चाल में निर्वात और ज्वालामुखी में प्रकाश की चाल का अनुपात 2.42 है ($\frac{c}{v_{\text{diamond}}} = 2.42$)।
आकाश में प्रकाश की चाल, वायु में प्रकाश की चाल की तुलना में $\frac{1}{2.42}$ गुना (लगभग 41%) राह जाती है ($v_{\text{diamond}} \approx 1.24 \times 10^8\text{ m/s}$)।
प्रकाशीय रूप से हीरे में सबसे अधिक रासायनिक पदार्थ होता है, जिसके कारण इसमें प्रकाश की चाल न्यूनतम और प्रकाश का मुड़ाव मुख्य रूप से होता है।

उदाहरण 5

प्रश्न 5 (जेएसी 2019 - 3 अंक): कोई डॉक्टर +2.0 डी क्षमता का संशोधक स्थिर नहीं है। (क) फोकस की दूरी ज्ञात की जाती है। (ख) स्थिर स्थिर अभिसारी या अपसारी क्या है? (जी) अगर इस स्थिर स्थिर के संपर्क में -0.5 डी का दूसरा स्थिर स्थिर रखा जाए, तो संयोजन की क्षमता क्या होगी?

विस्तृत समाधान / उत्तर:

हल: (के) फोकस दूरी की गणना: स्थिर की क्षमता $P = +2.0\text{ D}$ सूत्र: $P = \frac{1}{f\text{ (m)}} \implies f = \frac{1}{P}$

$$f = \frac{1}{+2.0} = +0.5\text{ m} = +50\text{ cm}$$

स्थिर की फोकस दूरी +50 सेमी (या +0.5 मीटर) है।

(ख) स्थिर की प्रकृति: ऑप्टिकल स्थिरांक की क्षमता ($P$) और फोकस दूरी ($f$) दोनों का मान धनात्मक ($+$) है, मूलतः यह उत्तल स्थिर (अभिसारी स्थिर / कन्वर्जिंग लेंस) है।

(जी) संयोजन की कुल क्षमता:

$$P_{\text{total}} = P_1 + P_2 = (+2.0\text{ D}) + (-0.5\text{ D}) = +1.5\text{ D}$$

संयोजन की क्षमता क्षमता +1.5 डायोप्टर होगी यह संयोजन भी एक उत्तल स्थिर की भाँति कार्य करेगा।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

दर्पण सूत्र में ऋण चिह्न (-) और लेंस सूत्र में धन चिह्न (+) लगा देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

कंठस्थ स्क्रीन: दर्पण सूत्र में बीच में प्लस होता है (1/f = 1/v + 1/u); स्थिर सूत्र के बीच में MINUS होता है (1/f = 1/v - 1/u)।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

आवर्धन सूत्र में ऋण चिह्न भूल जाना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

दर्पण के लिए m = -v/u (माइनस होता है); लेंस के लिए m = +v/u (प्लस होता है)। दोनों एक-दूसरे के विपरीत हैं!

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

लेंस की क्षमता P = 1/f निकालते समय f को सेमी में ही रख देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

यदि f सेमी में हो, तो P = 100/f का उपयोग करें; अथवा f को पहले मीटर में बदलें, तभी उत्तर डायोप्टर में सही आएगा।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

उत्तल दर्पण और अवतल दर्पण की फोकस दूरी के चिह्न में गलती।

सही वैज्ञानिक तथ्य

अवतल दर्पण/लेंस की फोकस दूरी सदैव ऋणात्मक (-) होती है; उत्तल दर्पण/लेंस की फोकस दूरी सदैव धनात्मक (+) होती है।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

अपवर्तनांक का मात्रक लिख देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

अपवर्तनांक समान प्रारूप (चालों का अनुपात c/v) का अनुपात है, मूलतः यह एक गुणहीन (इकाई रहित) और विमाहीन संख्या है।

गोलीय दर्पण एवं गोलीय लेंस: किरण आरेख एवं चिह्न परिपाटी तुलनात्मक चार्ट

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

प्रकाश का परावर्तन: आपतन कोण = परावर्तन कोण (∠i = ∠r); आपतित किरण, परावर्तित किरण व अभिलंब एक ही तल में होते हैं।

मुख्य बिंदु 2

गोलीय दर्पण में फोकस दूरी वक्रता त्रिज्या की आधी होती है: f = R / 2।

मुख्य बिंदु 3

अवतल दर्पण वास्तविक व उल्टे प्रतिबिंब बनाता है, केवल P व F के बीच रखने पर आभासी, सीधा व बड़ा प्रतिबिंब बनाता है (शेविंग मिरर)।

मुख्य बिंदु 4

उत्तल दर्पण सदैव आभासी, सीधा व छोटा प्रतिबिंब बनाता है और विस्तृत दृष्टि क्षेत्र प्रदान करता है (वाहनों का पश्च-दृश्य दर्पण)।

मुख्य बिंदु 5

दर्पण सूत्र: 1/f = 1/v + 1/u; रेखीय आवर्धन m = h'/h = -v/u।

मुख्य बिंदु 6

प्रकाश का अपवर्तन माध्यम परिवर्तन प्रकाश की चाल में परिवर्तन का कारण होता है; स्नेल का नियम: पाप i / पाप r = स्थिरांक = n₂₁।

मुख्य बिंदु 7

निरपेक्ष अपवर्तनांक n = c / v; हीरे का अपवर्तनांक 2.42 प्रकृति में सर्वाधिक है।

मुख्य बिंदु 8

उत्तल लेंस प्रकाश को अभिसरित करता है (f धनात्मक); अवतल लेंस प्रकाश को अपसारित करता है (f ऋणात्मक)।

मुख्य बिंदु 9

लेंस सूत्र: 1/f = 1/v - 1/u; लेंस का आवर्धन m = h'/h = +v/u।

मुख्य बिंदु 10

लेंस की क्षमता P = 1 / f(m); मात्रक डायोप्टर (D) है। उत्तल लेंस की क्षमता धनात्मक (+) तथा अवतल की ऋणात्मक (-) होती है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1. एक समतल दर्पण का आवर्धन m = +1 है। इसका गणितीय एवं भौतिक अर्थ क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: धन चिह्न (+) दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी एवं सीधा है; और संख्यात्मक मान 1 दर्शाता है कि प्रतिबिंब का आकार ठीक बिंब (वस्तु) के आकार के बराबर है।

2. अवतल दर्पण के सामने वस्तु को कहाँ रखा जाए कि उसका वास्तविक, उल्टा और वस्तु के बराबर आकार का प्रतिबिंब बने?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: वक्रता केंद्र (C) पर रखने पर प्रतिबिंब वक्रता केंद्र पर ही वास्तविक, उल्टा और ठीक वस्तु के बराबर आकार का (m = -1) बनता है।

3. पानी में रखा नींबू बाहर से देखने पर अपने वास्तविक आकार से बड़ा क्यों प्रतीत होता है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: प्रकाश के अपवर्तन के कारण; जब पानी (सघन माध्यम) से प्रकाश किरणें वायु (विरल माध्यम) में आती हैं, तो वे अभिलंब से दूर हटती हैं, जिससे नेत्र को आभासी उठाव और आवर्धन दिखाई देता है।

4. 1 डायोप्टर (1 D) क्षमता वाले लेंस की परिभाषा दीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: 1 डायोप्टर उस लेंस की क्षमता होती है जिसकी फोकस दूरी ठीक 1 मीटर (1 m) हो (1 D = 1 m⁻¹)।

5. यदि किसी लेंस की क्षमता -2.5 D है, तो इसकी फोकस दूरी कितनी होगी और यह किस प्रकार का लेंस है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: f = 100 / P = 100 / (-2.5) = -40 सेमी; ऋण चिह्न दर्शाता है कि यह अवतल लेंस (अपसारी लेंस) है।

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