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PSEB • कक्षा 9 • Mathematics • अध्याय 11

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

रचनाएँ (Constructions)

कक्षा 7 गणित में, अध्याय 14 "निर्माण और टाइलिंग" व्यावहारिक ज्यामितीय प्रारूपण और कलात्मक स्थानिक गणित को जोड़ता है। 2026-27 एनसीईआरटी गणित प्रकाश पाठ्यक्रम के साथ संरेखित, यह मास्टर सामग्री कम्पास-और-स्ट्रेटेज निर्माण (लंबवत द्विभाजक, कोण द्विभाजक, विशेष कोण $60^\circ, 90^\circ, 45^\circ, 30^\circ$) और टाइलिंग (टेस्सेलेशन) के गणित को कवर करती है, जिसमें बताया गया है कि केवल तीन नियमित बहुभुज बिना अंतराल के एक सपाट विमान को क्यों टाइल कर सकते हैं।

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🐝 क्या आपने कभी देखा है आश्चर्य है?

मधुमक्खियाँ वृत्तों या वर्गों के बजाय षट्कोणीय छत्ते का निर्माण क्यों करती हैं?

यदि मधुमक्खियाँ वृत्ताकार कोशिकाएँ बनाती हैं, तो आसन्न वृत्तों के बीच अंतराल दिखाई देंगे, जिससे कीमती मोम बर्बाद हो जाएगा। यदि वे वर्गों या त्रिकोणों का उपयोग करते हैं, तो कोशिकाएं बिना अंतराल के पैक हो जाएंगी, लेकिन षट्कोण में समान आंतरिक क्षेत्र के लिए सबसे छोटी परिधि होती है - जिसका अर्थ है कि मधुमक्खियां न्यूनतम मोम का उपयोग करके अधिकतम शहद संग्रहीत करती हैं!

किसी समतल फर्श को बिना किसी अंतराल या ओवरलैप के दोहराई जाने वाली ज्यामितीय टाइलों से ढकना टेसेलेशन (टाइलिंग) कहलाता है। समबाहु त्रिभुज, वर्ग और षट्भुज फर्श पर टाइल क्यों लगा सकते हैं, लेकिन नियमित पंचकोण अजीब अंतराल छोड़ देते हैं?

उत्तर एक सटीक कोणीय नियम है: प्रत्येक शीर्ष पर मिलने वाले आंतरिक कोणों का योग सख्ती से $360^\circ$ होना चाहिए! परकार और सीधे किनारे की एक जोड़ी के साथ, आप इन सटीक कोणों का निर्माण कर सकते हैं और लुभावनी ज्यामितीय टाइल पैटर्न बना सकते हैं।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

बेसिक कंपास हैंडलिंग: निश्चित त्रिज्या के चाप और वृत्त खींचना।
अध्याय 5 से लंबवत रेखाएं और कोण माप।
एक बिंदु के चारों ओर कोणों का योग सख्ती से होता है $360^\circ$.

इस अध्याय के लक्ष्य

रूलर और कम्पास का उपयोग करके किसी दिए गए रेखा खंड के लंबवत समद्विभाजक का निर्माण करें।
किसी दिए गए कोण के कोण द्विभाजक का निर्माण करें।
एक चांदे के बिना मानक ज्यामितीय कोण ($60^\circ, 120^\circ, 90^\circ, 45^\circ, 30^\circ$) का निर्माण करें।
टेसेलेशन (टाइलिंग) को परिभाषित करें और शीर्ष कोण योग स्थिति बताएं ($\sum \theta = 360^\circ$).
स्पष्ट करें कि केवल समबाहु त्रिभुज, वर्ग और नियमित षट्भुज ही नियमित टेस्सेलेशन क्यों बनाते हैं।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. मौलिक कम्पास निर्माण: द्विभाजक

2 2. विशेष कोणों का निर्माण ($60^\cir...

3 3. टाइलिंग का गणित: एक समतल पर केवल...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. मौलिक कम्पास निर्माण: द्विभाजक

1. एक खंड का लंब समद्विभाजक

A लंब समद्विभाजक एक रेखा है जो एक रेखा खंड को बिल्कुल समकोण ($90^\circ$) पर दो बराबर हिस्सों में विभाजित करती है।

निर्माण के चरण:

दिया गया खंड $AB$, कम्पास को त्रिज्या तक खोलें जो $AB$ के आधे से बिल्कुल अधिक है।
केंद्र $A$ के साथ, दो चाप बनाएं- एक $AB$ के ऊपर और एक $AB$ के नीचे।
केंद्र $B$ और बिल्कुल समान त्रिज्या के साथ, दो चाप बनाएं जो पिछले चाप को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटते हैं।
$P$ और $Q$ को मिलाने वाली सीधी रेखा खींचिए। रेखा $PQ$, $AB$!

2. एक कोण का समद्विभाजक

An कोण समद्विभाजक एक किरण है जो एक कोण को दो बराबर हिस्सों ($\angle 1 = \angle 2 = \frac{1}{2}\angle \text{Original}$) में काटती है।

निर्माण के चरण:

दिया गया $\angle ABC$, केंद्र $B$ के साथ, एक चाप काटने वाली भुजा $BA$ को $P$ पर और भुजा $BC$ को $Q$ पर बनाएं।
केंद्र $P$ और त्रिज्या $> \frac{1}{2}PQ$ के साथ, कोण के अंदर एक चाप बनाएं।
केंद्र $Q$ और समान त्रिज्या के साथ, एक चाप बनाएं जो पिछले चाप को $R$ पर काटता है।
किरण खींचिए $BR$. किरण $BR$ समद्विभाजित $\angle ABC$!

4. ख़तरा और परीक्षक ट्रैप

⚠️ ट्रैप: आधे से भी कम सेगमेंट में खुलने वाला कम्पास
यदि कम्पास त्रिज्या $AB$ के आधे से कम या उसके बराबर है, तो $A$ और $B$ से खींचे गए चाप कभी नहीं मिलेंगे! हमेशा त्रिज्या $> \frac{1}{2}AB$ सुनिश्चित करें।

5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

सड़क योजनाकार दो पड़ोसी शहरों से समान दूरी पर एक अस्पताल के लिए आदर्श स्थान खोजने के लिए लंबवत द्विभाजक का उपयोग करते हैं।

2. विशेष कोणों का निर्माण ($60^\circ, 120^\circ, 90^\circ, 45^\circ, 30^\circ$)

1. मास्टर $60^\circ$ आर्क

एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण $60^\circ$ के बराबर होते हैं और सभी भुजाएँ त्रिज्या $r$ के बराबर होती हैं। इसलिए, कम्पास त्रिज्या को स्थिर रखने से स्वाभाविक रूप से $60^\circ$!

का निर्माण होता है

$60^\circ$ कोण: शीर्ष $O$ से किरण को $P$ पर काटते हुए एक चाप बनाएं। केंद्र $P$ और समान त्रिज्या के साथ, चाप को $Q$ पर काटें। किरण $OQ$ सटीक $\mathbf{60^\circ}$ कोण बनाती है।
$120^\circ$ कोण: $Q$ से, चाप को दूसरी बार उसी त्रिज्या से काटें → $\mathbf{120^\circ}$.
$90^\circ$ कोण: $60^\circ$ और $120^\circ$ → $60^\circ + \frac{60^\circ}{2} = \mathbf{90^\circ}$.
$30^\circ$ कोण: $60^\circ$ कोण को समद्विभाजित करें → $\mathbf{30^\circ}$.
$45^\circ$ कोण: $90^\circ$ कोण को समद्विभाजित करें → $\mathbf{45^\circ}$.

3. कंक्रीट वर्क उदाहरण

उदाहरण: आप केवल कम्पास और रूलर का उपयोग करके $75^\circ$ का कोण कैसे बना सकते हैं?

तर्क: $75^\circ$, $60^\circ$ और $90^\circ$ ($60^\circ + \frac{30^\circ}{2} = 75^\circ$) के बिल्कुल बीच में है।

निर्माण: $60^\circ$ और $90^\circ$ का निर्माण करें, फिर उनकी भुजाओं के बीच $30^\circ$ के कोण को समद्विभाजित करें!

5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

बढ़ई और धातु फैब्रिकेटर मजबूत खिड़की के फ्रेम और चित्र बॉर्डर बनाने के लिए $90^\circ$ और $45^\circ$ मेटर जोड़ों का उपयोग करते हैं।

3. टाइलिंग का गणित: एक समतल पर केवल 3 नियमित बहुभुज टाइलें क्यों

1. टेस्सेलेशन क्या है?

A टेसेलेशन (टाइलिंग) ज्यामितीय आकृतियों का एक पैटर्न है जो शून्य अंतराल और शून्य ओवरलैपिंग.

के साथ एक द्वि-आयामी सतह को पूरी तरह से कवर करता है।

2. शीर्ष कोण योग नियम

एक ही प्रकार के नियमित बहुभुजों को एक ही शीर्ष के चारों ओर एक साथ फिट करने के लिए, उस शीर्ष पर मिलने वाले आंतरिक कोणों का योग बिल्कुल $360^\circ$:

होना चाहिए

$$\mathbf{k \times \theta = 360^\circ} \quad (\text{where } k \text{ is an integer } \ge 3)$$

नियमित बहुभुज	आंतरिक कोण ($\theta$)	$360^\circ \div \theta$	क्या यह अकेले टाइल कर सकता है?
समबाहु त्रिभुज	$60^\circ$	$\frac{360}{60} = 6$ (पूर्णांक)	हाँ (6 एक शीर्ष पर मिलते हैं)
वर्ग	$90^\circ$	$\frac{360}{90} = 4$ (पूर्णांक)	हाँ (4 एक शीर्ष पर मिलते हैं)
रेगुलर पेंटागन	$108^\circ$	§$\frac{360}{108} = 3.33$	NO (का अंतर छोड़ता है $36^\circ$!)
नियमित षट्कोण	$120^\circ$	$\frac{360}{120} = 3$ (पूर्णांक)	हाँ (3 एक पर मिलते हैं वर्टेक्स)
नियमित अष्टकोण	$135^\circ$	$\frac{360}{135} = 2.67$	NO (भरने के लिए वर्गों की आवश्यकता है अंतराल)

निष्कर्ष: केवल तीन नियमित बहुभुज हैं जो एक समतल की नियमित टाइलिंग बना सकते हैं: त्रिकोण, वर्ग और षट्कोण!

4. ख़तरा और परीक्षक ट्रैप

⚠️ ट्रैप: विश्वास है कि पेंटागोनल टाइलिंग नियमित पेंटागन के साथ मौजूद हैं
तीन नियमित पंचकोण $3 \times 108^\circ = 324^\circ$ देते हैं ($36^\circ$ अंतर छोड़कर); चार $432^\circ$ (अतिव्यापी) देते हैं। एक नियमित पंचकोण कभी भी किसी समतल पर अकेले टाइल नहीं लगा सकता!

5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

आगरा और दिल्ली में ऐतिहासिक मुगल स्मारकों (जैसे कि ताज महल और लाल किला) में इन सटीक ज्यामितीय टाइलिंग कानूनों के आधार पर जटिल संगमरमर *जाली* जाली और मोज़ेक फर्श हैं।

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

The Three Regular Tilings of the Plane

Angles meeting at each vertex sum to strictly $360^\circ$

TRIANGLE TILING

$6 \times 60^\circ$

$= 360^\circ$ (6 triangles)

SQUARE TILING

$4 \times 90^\circ$

$= 360^\circ$ (4 squares)

HEXAGON TILING

$3 \times 120^\circ$

$= 360^\circ$ (3 hexagons)

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

लंबवत द्विभाजक: एक रेखा खंड को $90^\circ$ पर दो बराबर हिस्सों में विभाजित करता है, जिसका निर्माण त्रिज्या $> \frac{1}{2}\text{length}$ के कम्पास आर्क का उपयोग करके किया जाता है।

मुख्य बिंदु 2

कोण द्विभाजक: एक किरण जो एक कोण को दो बराबर हिस्सों में विभाजित करती है, जो प्रतिच्छेदी चापों का उपयोग करके निर्मित होती है।

मुख्य बिंदु 3

विशेष कोण: $60^\circ$ का निर्माण सीधे वृत्त त्रिज्या का उपयोग करके किया जाता है; द्विभाजित उपज $30^\circ$; $60^\circ \to 120^\circ$ को द्विभाजित करने पर $90^\circ$ प्राप्त होता है; $90^\circ$ को द्विभाजित करने पर $45^\circ$ प्राप्त होता है।

मुख्य बिंदु 4

टेस्सेलेशन (टाइलिंग): शून्य अंतराल और शून्य ओवरलैप छोड़ते हुए आकृतियों के साथ 2डी सतह को कवर करना।

मुख्य बिंदु 5

टाइलिंग की स्थिति: किसी भी शीर्ष के चारों ओर मिलने वाली आकृतियों के आंतरिक कोणों का योग बिल्कुल $360^\circ$ होना चाहिए।

मुख्य बिंदु 6

तीन नियमित टाइलिंग: केवल समबाहु त्रिभुज ($60^\circ$), वर्ग ($90^\circ$), और नियमित षट्कोण ($120^\circ$) अकेले एक समतल पर टाइल लगा सकते हैं।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

नियमित अष्टकोण (आंतरिक कोण $135^\circ$) अकेले फर्श पर टाइल क्यों नहीं लगा सकते?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: दो अष्टकोण $270^\circ$ देते हैं ($90^\circ$ अंतर छोड़कर); तीन $405^\circ$ (अतिव्यापी) देते हैं। चूँकि $360$, $135$ से विभाज्य नहीं है, इसलिए अंतराल उत्पन्न हो जाते हैं (जिन्हें केवल वर्गों द्वारा ही भरा जा सकता है)।
जांचें कि क्या $360^\circ \div 135^\circ$ एक पूर्ण संख्या है।

एक नियमित त्रिभुजाकार टाइलिंग में प्रत्येक शीर्ष पर कितने समबाहु त्रिभुज मिलते हैं?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: 6 त्रिकोण
प्रत्येक आंतरिक कोण $60^\circ$ है। $360^\circ \div 60^\circ = 6$.

यदि $120^\circ$ का कोण समद्विभाजित किया जाता है, और परिणामी कोणों में से एक को फिर से समद्विभाजित किया जाता है, तो प्राप्त सबसे छोटे कोण का माप क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $30^\circ$
$120^\circ \div 2 = 60^\circ$, और $60^\circ \div 2 = 30^\circ$.

$8\text{ cm}$ रेखा खंड के लंबवत समद्विभाजक का निर्माण करते समय आवश्यक न्यूनतम कंपास त्रिज्या क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: कोई भी त्रिज्या सख्ती से $4\text{ cm}$ ($r > 4\text{ cm}$) से अधिक हो।
त्रिज्या खंड की लंबाई ($8 \div 2 = 4\text{ cm}$) के आधे से अधिक होनी चाहिए।

आप केवल कम्पास और रूलर का उपयोग करके $105^\circ$ का कोण कैसे बना सकते हैं?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $90^\circ$ और $120^\circ$ का निर्माण करें, फिर उनके बीच के $30^\circ$ कोण को समद्विभाजित करें ($90^\circ + 15^\circ = 105^\circ$)।
$105^\circ$, $90^\circ$ और $120^\circ$ के बीच आधा है।

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