HCF and LCM of Algebraic Expressions

एक भिन्न (Fraction) किसी पूर्ण वस्तु या संख्या के निश्चित भागों का गणितीय अनुपात होता है, जिसे $\frac{a}{b}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है (जहाँ $b \neq 0$)। भिन्न मुख्य रूप से तीन प्रकार के होते हैं:

• उचित भिन्न (Proper Fraction): अंश हर से छोटा होता है (जैसे: $\frac{3}{7}, \frac{5}{8}$)। इसका मान सदैव 1 से कम होता है।
• अनुचित भिन्न (Improper Fraction): अंश हर के बराबर या उससे बड़ा होता है (जैसे: $\frac{9}{4}, \frac{11}{5}$)। इसका मान 1 या 1 से अधिक होता है।
• मिश्र भिन्न (Mixed Fraction): इसमें एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न संयुक्त होते हैं (जैसे: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \times 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$)।
• व्युत्क्रम (Reciprocal / Multiplicative Inverse): किसी अशून्य भिन्न $\frac{a}{b}$ के अंश और हर को आपस में बदलने पर प्राप्त भिन्न $\frac{b}{a}$ को उसका व्युत्क्रम कहते हैं, जहाँ $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1$।

अनेक संक्रियाओं वाले जटिल व्यंजकों को हल करने के लिए गणित में एक निश्चित प्राथमिकता क्रम निर्धारित है जिसे VBODMAS नियम कहा जाता है:

जटिल कोष्ठकों को हमेशा सबसे भीतरी भाग से हल करना शुरू करते हैं: रेखा कोष्ठक $\rightarrow$ छोटा कोष्ठक $( )$ $\rightarrow$ मझला कोष्ठक $\{ \}$ $\rightarrow$ बड़ा कोष्ठक $[ ]$।

चिह्न वितरण का स्वर्णिम नियम: जब किसी कोष्ठक के बाहर ऋण चिह्न ($-$) हो, तो कोष्ठक हटाते समय अंदर के सभी पदों के चिह्न बदल जाते हैं:
$-(x + y) = -x - y \quad \text{तथा} \quad -(x - y) = -x + y$।

माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल, बैंकिंग सॉफ्टवेयर और सभी कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाएं (Python, C++, Java) इसी VBODMAS क्रम का सख्ती से पालन करती हैं ताकि किसी भी गणना में कोई अस्पष्टता या भिन्नता न रहे।

समान प्रकार तथा समान इकाइयों वाली दो राशियों की भाग द्वारा तुलना को अनुपात (Ratio) कहते हैं। इसे $a : b$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $a$ को पूर्वपद (Antecedent) और $b$ को उत्तरपद (Consequent) कहते हैं।

• इकाई-रहित राशि: समान राशियों की तुलना होने के कारण अनुपात की कोई इकाई नहीं होती।
• सरलतम रूप: यदि $a$ और $b$ का म.स.प. 1 हो, तो अनुपात अपने सरलतम रूप में होता है।
• विलोम (व्युत्क्रम) अनुपात: $a : b$ का विलोम अनुपात $b : a$ होता है।
• मिश्र अनुपात: $a : b$ और $c : d$ का मिश्र अनुपात $(a \times c) : (b \times d)$ होता है।

जब दो अनुपातों में एक उभयनिष्ठ चर हो, जैसे $A : B = a : b$ और $B : C = c : d$, तो मध्य पद $B$ को ल.स.प. द्वारा समान करके सतत अनुपात (Continued Ratio) $A : B : C$ ज्ञात किया जाता है:

$$\text{यदि } A : B = 2 : 3 \quad \text{तथा} \quad B : C = 4 : 5$$

$A : B$ को 4 से गुणा करने पर: $8 : 12$। $B : C$ को 3 से गुणा करने पर: $12 : 15$।
$$\mathbf{A : B : C = 8 : 12 : 15}$$

चार राशियाँ $a, b, c, d$ समानुपात में होंगी यदि $a : b = c : d$ या $a : b :: c : d$ हो, जिसका अर्थ है चरम पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल ($a \times d = b \times c$)।

• प्रत्यक्ष समानुपात (Direct Proportion): एक राशि के बढ़ने पर दूसरी राशि उसी अनुपात में बढ़े (जैसे: वस्तुओं की संख्या बढ़ने पर कुल मूल्य बढ़ता है)। यहाँ $\frac{x}{y} = k$ (स्थिरांक)।
• प्रतिलोम समानुपात (Inverse Proportion): एक राशि के बढ़ने पर दूसरी राशि उसी अनुपात में घटे (जैसे: गति बढ़ने पर निश्चित दूरी तय करने में कम समय लगता है; श्रमिकों की संख्या बढ़ने पर कार्य पूरा होने में कम दिन लगते हैं)। यहाँ $x \times y = k$ (स्थिरांक)।

प्रतिशत (Percentage) का अर्थ है 'प्रति सौ' (प्रतीक $\%$, जिसका हर 100 होता है)।
$$\text{भिन्न से प्रतिशत} = \frac{a}{b} \times 100\% \qquad \text{प्रतिशत से भिन्न} = \frac{x}{100}$$

प्रतिशत परिवर्तन सूत्र:
$$\text{प्रतिशत वृद्धि / कमी} = \frac{|\text{नया मान} - \text{प्रारंभिक मान}|}{\text{प्रारंभिक मान}} \times 100\%$$

मिश्रण की समस्याओं में कुल मात्रा को दिए गए अनुपात के अनुसार विभाजित किया जाता है। जैसे 60 लीटर दूध और पानी के मिश्रण में अनुपात 3 : 2 हो, तो अनुपाती पदों का योग $= 3 + 2 = 5$। अतः दूध $= \frac{3}{5} \times 60 = 36$ लीटर तथा पानी $= \frac{2}{5} \times 60 = 24$ लीटर।

जिस विधि में पहले एक इकाई का मान निकाला जाता है और फिर इच्छित इकाइयों का कुल मान ज्ञात किया जाता है, उसे ऐकिक नियम कहते हैं।

• प्रत्यक्ष संबंध में 1 इकाई का मान निकालने के लिए भाग किया जाता है।
• प्रतिलोम संबंध में 1 इकाई का मान निकालने के लिए गुणा किया जाता है (जैसे: 1 श्रमिक कार्य करेगा $= \text{श्रमिक} \times \text{दिन}$)।

दूरी ($D$), एकसमान गति ($S$) और समय ($T$) के बीच मूलभूत संबंध है:
$$\mathbf{\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}} \quad \Longleftrightarrow \quad S = \frac{D}{T} \quad \Longleftrightarrow \quad T = \frac{D}{S}$$

गति को सामान्यतः किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) या मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में मापा जाता है। रूपांतरण सूत्र:

$$1 \text{ किमी/घंटा} = \frac{1000 \text{ मीटर}}{3600 \text{ सेकंड}} = \mathbf{\frac{5}{18} \text{ मी/से}} \qquad 1 \text{ मी/से} = \frac{3600 \text{ किमी}}{1000 \text{ घंटा}} = \mathbf{\frac{18}{5} \text{ किमी/घंटा} = 3.6 \text{ किमी/घंटा}}$$

स्मरण नियम: किमी/घंटा से मी/से में जाने के लिए $\frac{5}{18}$ से गुणा करें; मी/से से किमी/घंटा में जाने के लिए $\frac{18}{5}$ से गुणा करें।

जब कोई गतिमान ट्रेन किसी नगण्य लंबाई वाली स्थिर वस्तु (जैसे बिजली का खंभा, पेड़, संकेत स्तंभ या खड़ा व्यक्ति) को पार करती है, तो उसे केवल अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करनी होती है:
$$\mathbf{\text{कुल तय दूरी} = \text{ट्रेन की लंबाई } (L_{\text{train}})}$$

$$\text{पार करने का समय} = \frac{L_{\text{train}}}{\text{ट्रेन की गति}}$$

जब कोई गतिमान ट्रेन किसी विस्तृत संरचना (जैसे रेलवे प्लेटफॉर्म, पुल या सुरंग जिसकी लंबाई $L_{\text{plat}}$ हो) को पार करती है, तो उसे अपनी लंबाई तथा प्लेटफॉर्म की लंबाई के योग के बराबर दूरी तय करनी होती है:
$$\mathbf{\text{कुल तय दूरी} = L_{\text{train}} + L_{\text{plat}}}$$

$$\text{पार करने का समय} = \frac{L_{\text{train}} + L_{\text{plat}}}{\text{ट्रेन की गति}}$$

जिन पदों के बीजीय गुणनखंड और उनकी घातें बिल्कुल समान होती हैं, उन्हें समान पद (Like Terms) कहते हैं (जैसे: $3x^2y$ और $-7x^2y$)। केवल समान पदों को ही आपस में जोड़ा या घटाया जा सकता है।

कक्षा 8 के पाठ्यक्रम में निम्नलिखित मानक सर्वसमिकाओं का अभ्यास अनिवार्य है:

सर्वसमिका 1 और 2 को जोड़ने और घटाने पर दो अत्यंत उपयोगी सूत्र प्राप्त होते हैं:

$$\mathbf{4ab = (a + b)^2 - (a - b)^2} \qquad \mathbf{ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$$

$$\mathbf{2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 + (a - b)^2} \qquad \mathbf{a^2 + b^2 = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{2}}$$

यदि $x + \frac{1}{x} = k$ दिया हो, तो दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 = k^2 - 2$$
इसी प्रकार चतुर्थ घात के लिए: $x^4 + \frac{1}{x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 - 2$।

बीजीय पदों के गुणन में घातांक का नियम ($x^m \times x^n = x^{m+n}$) तथा वितरण नियम (Distributive Law) लागू होता है: $(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd$।

द्विविमीय आकृतियों के मूलभूत क्षेत्रमिति सूत्र:

• आयत (लंबाई $L$, चौड़ाई $B$):
  परिमाप $= 2(L + B)$ इकाई | क्षेत्रफल $= L \times B$ वर्ग इकाई | विकर्ण $= \sqrt{L^2 + B^2}$ इकाई।
• वर्ग (भुजा $s$):
  परिमाप $= 4s$ इकाई | क्षेत्रफल $= s^2$ वर्ग इकाई | विकर्ण $= s\sqrt{2}$ इकाई।

परीक्षाओं का सर्वाधिक महत्वपूर्ण प्रश्न मैदान के चारों ओर $w$ चौड़े रास्ते का क्षेत्रफल निकालना है:

• मैदान के बाहर चारों ओर रास्ता होने पर:
  रास्ते सहित लंबाई $= L + 2w$, रास्ते सहित चौड़ाई $= B + 2w$।
  रास्ते सहित कुल क्षेत्रफल $= (L + 2w)(B + 2w)$।
  $$\mathbf{\text{रास्ते का क्षेत्रफल} = \text{कुल क्षेत्रफल} - \text{मैदान का क्षेत्रफल} (L \times B)}$$
• मैदान के अंदर चारों ओर रास्ता होने पर:
  रास्ता छोड़कर लंबाई $= L - 2w$, चौड़ाई $= B - 2w$।
  $$\mathbf{\text{रास्ते का क्षेत्रफल} = (L \times B) - (L - 2w)(B - 2w)}$$

कोणों के पारस्परिक संबंध:

• पूरक कोण (Complementary Angles): यदि दो कोणों का योग $90^\circ$ (एक समकोण) हो, तो वे एक-दूसरे के पूरक कोण कहलाते हैं (जैसे: $30^\circ$ और $60^\circ$)।
• संपूरक कोण (Supplementary Angles): यदि दो कोणों का योग $180^\circ$ (दो समकोण) हो, तो वे एक-दूसरे के संपूरक कोण कहलाते हैं (जैसे: $110^\circ$ और $70^\circ$)।

यदि दो कोणों का एक ही शीर्षबिंदु हो, एक उभयनिष्ठ भुजा हो तथा कोण उभयनिष्ठ भुजा के विपरीत ओर हों, तो उन्हें आसन्न कोण (Adjacent Angles) कहते हैं। जब एक सरल रेखा पर दूसरी किरण खड़ी हो, तो बने दोनों आसन्न कोणों का योग सदैव $180^\circ$ होता है, इसे रैखिक युग्म (Linear Pair) कहते हैं।

जब दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो आमने-सामने बनने वाले कोण शीर्षाभिमुख कोण (Vertically Opposite Angles) कहलाते हैं।
प्रमेय: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा बने शीर्षाभिमुख कोण परस्पर बराबर होते हैं।