Co-ordinate Geometry: Distance Formula

মানব সভ্যতার ঊষালগ্নে গণনার প্রয়োজনেই প্রথম সংখ্যার ধারণা সূচিত হয়। আদিম মানুষ পশুর সংখ্যা বা শস্যের পরিমাণ মনে রাখতে দাগ কেটে বা নুড়িপাথর গুনে যে সংখ্যার জন্ম দিয়েছিল, তা-ই হলো স্বাভাবিক সংখ্যা। পর্যায়ক্রমে গণিতের বিকাশ ও মানবীয় চাহিদার পরিপ্রক্ষিতে সংখ্যার পরিধি সম্প্রসারিত হতে থাকে:

১. স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Numbers - ℕ):
গণনার কাজে ব্যবহৃত ১ থেকে শুরু করে অনির্দিষ্ট ধনাত্মক সংখ্যাগুলিকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে।
প্রতীক: ℕ = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ...}
বৈশিষ্ট্য: ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা হলো ১, কিন্তু কোনো বৃহত্তম স্বাভাবিক সংখ্যা নেই। স্বাভাবিক সংখ্যা সেটের উপাদানগুলি বিচ্ছিন্ন (Discrete)।

২. অখণ্ড সংখ্যা (Whole Numbers - 𝕎):
স্বাভাবিক সংখ্যাগুলির সঙ্গে শূন্য (০) অন্তর্ভুক্ত করলে যে সংখ্যার দল গঠিত হয়, তাকে অখণ্ড সংখ্যা বলে। ভারতীয় গণিতবিদ আর্যভট্ট ও ব্রহ্মগুপ্তের হাত ধরে শূন্যের বৈজ্ঞানিক ব্যবহারে গণিতে বিপ্লব সূচিত হয়।
প্রতীক: 𝕎 = {০, ১, ২, ৩, ৪, ...} = ℕ ∪ {০}
বৈশিষ্ট্য: ক্ষুদ্রতম অখণ্ড সংখ্যা হলো ০। সকল স্বাভাবিক সংখ্যাই অখণ্ড সংখ্যা, কিন্তু সকল অখণ্ড সংখ্যা স্বাভাবিক সংখ্যা নয় (কারণ ০ স্বাভাবিক সংখ্যা নয়)।

৩. পূর্ণসংখ্যা (Integers - ℤ):
সকল অখণ্ড সংখ্যার সাথে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (-১, -২, -৩, ...) যোগ করে যে সেট গঠিত হয়, তাকে পূর্ণসংখ্যা বলে। প্রতীক ℤ এসেছে জার্মান শব্দ 'Zahlen' (যার অর্থ 'গণনা করা') থেকে।
প্রতীক: ℤ = {..., -৪, -৩, -২, -১, ০, ১, ২, ৩, ৪, ...}
শ্রেণিবিভাগ:

• ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Positive Integers, ℤ⁺): {১, ২, ৩, ৪, ...} (যা মূলত স্বাভাবিক সংখ্যা ℕ)।
• ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Negative Integers, ℤ⁻): {-১, -২, -৩, -৪, ...}।
• নিরপেক্ষ পূর্ণসংখ্যা: শূন্য (০) ধনাত্মকও নয়, ঋণাত্মকও নয়।

৪. মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers - ℚ):
যে সমস্ত সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণসংখ্যা, q ≠ ০ এবং p ও q পরস্পর মৌলিক [অর্থাৎ গ.সা.গু(p, q) = ১], তাদের মূলদ সংখ্যা বলে। প্রতীক ℚ এসেছে ইংরেজি 'Quotient' (ভাগফল) থেকে।
গাণিতিক রূপ: ℚ = { p/q : p, q ∈ ℤ, q ≠ 0 এবং গ.সা.গু(p, q) = ১ }
উদাহরণ: ৩/৫, -৭/২, ৪/১ = ৪, ০/১ = ০ (শূন্য একটি মূলদ সংখ্যা)।
লক্ষ্য করো: প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা z-কে z/১ আকারে লেখা যায়, সুতরাং সকল পূর্ণসংখ্যাই মূলদ সংখ্যা।

স্বাভাবিক সংখ্যা বা পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে দুটি পরপর সংখ্যার মাঝে কোনো পূর্ণসংখ্যা থাকে না (যেমন ২ ও ৩-এর মাঝে কোনো পূর্ণসংখ্যা নেই)—একে সংখ্যার বিচ্ছিন্ন ধর্ম (Discrete Nature) বলে। কিন্তু মূলদ সংখ্যার জগৎ সম্পূর্ণ স্বতন্ত্র।

মূলদ সংখ্যার ঘনত্ব উপপাদ্য (Density Theorem):
"যেকোনো দুটি অসমান বাস্তব বা মূলদ সংখ্যার মধ্যে অসংখ্য (অনন্ত) মূলদ সংখ্যা বিদ্যমান।" একেই মূলদ সংখ্যার ঘনত্ব ধর্ম (Density Property) বলা হয়।

দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা নির্ণয়ের পদ্ধতিসমূহ:
ধরি দুটি প্রদত্ত মূলদ সংখ্যা a এবং b, যেখানে a < b। এদের মাঝে নির্দিষ্ট সংখ্যক মূলদ সংখ্যা নির্ণয়ের দুটি প্রতিষ্ঠিত গাণিতিক পদ্ধতি রয়েছে:

পদ্ধতি ১: সমদ্বিখণ্ডক বা গড় পদ্ধতি (Mean Method):
যেকোনো দুটি সংখ্যা a ও b-এর গড় হলো q₁ = (a + b) / ২, যা সর্বদা a ও b-এর ঠিক মাঝখানে অবস্থান করে (a < q₁ < b)। পুনরায় a ও q₁-এর মাঝে q₂ = (a + q₁) / ২ এবং q₁ ও b-এর মাঝে q₃ = (q₁ + b) / ২ নির্ণয় করা যায়। এই প্রক্রিয়ার পুনরাবৃত্তি ঘটিয়ে ইচ্ছামতো যত খুশি মূলদ সংখ্যা পাওয়া সম্ভব।

পদ্ধতি ২: সাধারণ ব্যবধান পদ্ধতি (Common Difference Method - বোর্ডের আদর্শ পদ্ধতি):
ধরি a ও b-এর মধ্যে n-সংখ্যক মূলদ সংখ্যা সন্নিবেশ করতে হবে (যেখানে a < b)।
প্রথমে সাধারণ ব্যবধান d নির্ণয় করতে হবে:
d = (b - a) / (n + ১)
তাহলে মধ্যবর্তী n-সংখ্যক ক্রমিক মূলদ সংখ্যাগুলি হবে:
(a + d), (a + ২d), (a + ৩d), ..., (a + nd)
যেখানে স্পষ্টভাবে: a < (a + d) < (a + ২d) < ... < (a + nd) < b।

যেকোনো মূলদ সংখ্যা p/q-কে দশমিকে বিস্তার করলে তার দশমিক বিন্দুর পর নির্দিষ্ট সংখ্যক অঙ্কের পর ভাগ প্রক্রিয়াটি মিলে যায় এবং ভাগশেষ শূন্য (০) হয়, তাকে সসীম দশমিক সংখ্যা (Terminating Decimal) বলে। যেমন: ১/২ = ০.৫, ৩/৪ = ০.৭৫, ৩/৮ = ০.৩৭৫।

এই উপপাদ্যের অন্তর্নিহিত গাণিতিক যুক্তি:
আমাদের দশমিক সংখ্যা ব্যবস্থার ভিত্তি (Base) হলো ১০। আর ১০-এর একমাত্র মৌলিক উৎপাদক দুটি হলো ২ এবং ৫ (১০ = ২ × ৫)। সুতরাং হরে যদি কেবল ২ এবং ৫ থাকে, তবে লব ও হরকে উপযুক্ত ২ বা ৫-এর ঘাত দ্বারা গুণ করে হরকে সহজেই ১০-এর কোনো পূর্ণবর্গ বা ঘাত (১০, ১০০, ১০০০ ইত্যাদি)-এ রূপান্তরিত করা সম্ভব হয়, ফলে ভাগশেষ নিশ্চিতভাবেই শূন্য হয়ে যায়।
উদাহরণসমূহ:

• ৩/৮ = ৩/(২^৩) = (৩ × ৫^৩)/(২^৩ × ৫^৩) = (৩ × ১২৫)/১০০০ = ৩৭৫/১০০০ = ০.৩৭৫ (সসীম)।
• ৭/২৫ = ৭/(৫^২) = (৭ × ২^২)/(৫^২ × ২^২) = ২৮/১০০ = ০.২৮ (সসীম)।
• ১৩/৪০ = ১৩/(২^৩ × ৫^১) = (১৩ × ৫^২)/(২^৩ × ৫^৩) = ৩২৫/১০০০ = ০.৩২৫ (সসীম)।

লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত কোনো মূলদ ভগ্নাংশ p/q-এর হর q-এ যদি ২ ও ৫ ব্যতীত অন্য কোনো মৌলিক উৎপাদক (যেমন ৩, ৭, ১১, ১৩ ইত্যাদি) উপস্থিত থাকে, তবে ভাগ প্রক্রিয়াটি কখনোই নিঃশেষে বিভাজ্য হবে না (ভাগশেষ কখনোই শূন্য হবে না)। এক্ষেত্রে দশমিক বিন্দুর পর এক বা একাধিক অঙ্ক ক্রমান্বয়ে নির্দিষ্ট পর্যায় মেনে আবর্তিত হতে থাকবে। একে অসীম আবৃত্ত বা পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা (Non-terminating Periodic / Recurring Decimal) বলে।

আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা প্রধানত দুই প্রকার:

1. বিশুদ্ধ আবৃত্ত দশমিক (Pure Recurring Decimal):
   যে আবৃত্ত দশমিক সংখ্যায় দশমিক বিন্দুর ঠিক পর থেকেই পৌনঃপুনিক বা আবৃত্ত অঙ্ক শুরু হয়, তাকে বিশুদ্ধ আবৃত্ত দশমিক বলে।
   উদাহরণ: ১/৩ = ০.৩৩৩... = ০.৩̅ (বা ০.৩̇); ২/৭ = ০.২৮৫৭১৪২৮৫৭১৪... = ০.২̅৮৫৭১৪̅।
2. মিশ্র আবৃত্ত দশমিক (Mixed Recurring Decimal):
   যে আবৃত্ত দশমিক সংখ্যায় দশমিক বিন্দুর পর অন্তত একটি বা একাধিক অনাবৃত্ত অঙ্ক থাকার পর আবৃত্ত অঙ্ক শুরু হয়, তাকে মিশ্র আবৃত্ত দশমিক বলে।
   উদাহরণ: ১/৬ = ০.১৬৬৬... = ০.১৬̅ (এখানে ১ অনাবৃত্ত, ৬ আবৃত্ত); ৭/৩০ = ০.২৩৩৩... = ০.২৩̅ (২ অনাবৃত্ত, ৩ আবৃত্ত); ১১/৪৫ = ০.২৪৪... = ০.২৪̅।

১. বিশুদ্ধ আবৃত্ত দশমিকের বীজগাণিতিক প্রমাণ:
ধরি, x = ০.৩̅ = ০.৩৩৩... -------- (সমীকরণ ১)
যেহেতু ১টি অঙ্ক আবর্তিত হচ্ছে, তাই উভয়পক্ষকে ১০ দ্বারা গুণ করি:
১০x = ৩.৩৩৩... = ৩.৩̅ -------- (সমীকরণ ২)
সমীকরণ (২) থেকে সমীকরণ (১) বিয়োগ করে পাই:
১০x - x = ৩.৩৩৩... - ০.৩৩৩...
⟹ ৯x = ৩
⟹ x = ৩ / ৯ = ১ / ৩ (লঘিষ্ঠ আকার, প্রমাণিত)।

২. মিশ্র আবৃত্ত দশমিকের বীজগাণিতিক প্রমাণ:
ধরি, x = ০.২৩̅৪ = ০.২৩৪৩৪৩৪... -------- (সমীকরণ ১)
প্রথমে দশমিক বিন্দুর পর অনাবৃত্ত অঙ্ক ১টি (২)। তাই অনাবৃত্ত অংশকে দশমিকের বাঁয়ে আনতে উভয়পক্ষকে ১০ দিয়ে গুণ করি:
১০x = ২.৩৪̅ = ২.৩৪৩৪৩৪... -------- (সমীকরণ ২)
এখন আবৃত্ত অংশে ২টি অঙ্ক (৩ এবং ৪)। তাই সমীকরণ (২)-এর উভয়পক্ষকে ১০০ দিয়ে গুণ করি:
১০০০x = ২৩৪.৩৪̅ = ২৩৪.৩৪৩৪৩৪... -------- (সমীকরণ ৩)
এখন সমীকরণ (৩) থেকে সমীকরণ (২) বিয়োগ করি:
১০০০x - ১০x = ২৩৪.৩৪̅ - ২.৩৪̅
⟹ ৯৯০x = ২৩২
⟹ x = ২৩২ / ৯৯০ = ১১৬ / ৪৯৫ (লঘিষ্ঠ মূলদ রূপ)।

যে সকল বাস্তব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ অর্থাৎ p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ ০), তাদের অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers, প্রতীক: ℚ' বা ℝ \ ℚ) বলা হয়।

দশমিক বিস্তারের অনন্য বৈশিষ্ট্য:
অমূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তার সর্বদা অসীম এবং অনাবৃত্ত (Non-terminating and Non-recurring)। এদের দশমিকের পর অঙ্কগুলি কখনোই শেষ হয় না এবং কোনো নির্দিষ্ট পর্যায়ক্রম মেনে আবর্তিতও হয় না।
উদাহরণ:

• ০.১০১০০১০০০১০০০০১... (এখানে ১-এর পর ক্রমান্বয়ে শূন্যের সংখ্যা একটি করে বাড়ছে, কোনো পৌনঃপুনিক নেই)।
• ০.২০২২০০২২২... বা ০.১২৩৪৫৬৭৮৯১০১১১২...
• পূর্ণবর্গ নয় এমন যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল: √২ ≈ ১.৪১৪২১৩৫৬..., √৩ ≈ ১.৭৩২০৫০৮..., √৫ ≈ ২.২৩৬০৬৮...
• বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত পাই (π) ≈ ৩.১৪১৫৯২৬৫... (লক্ষ্য করো: ২২/৭ একটি মূলদ সংখ্যা যা π-এর আসন্ন মান মাত্র, প্রকৃত π অমূলদ)।
• ইউলীয় সংখ্যা e ≈ ২.৭১৮২৮...

ঐতিহাসিক পটভূমি ও হিপ্পাসাসের আত্মত্যাগ:
খ্রিস্টপূর্ব ষষ্ঠ শতকে গ্রিক দার্শনিক ও গণিতবিদ পিথাগোরাস এবং তাঁর গোপন বিদ্যায়তনের শিষ্যরা বিশ্বাস করতেন যে মহাবিশ্বের সমস্ত বস্তু ও দূরত্বের সম্পর্ক দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে প্রকাশযোগ্য। কিন্তু খ্রিস্টপূর্ব পঞ্চম শতকে পিথাগোরাসের শিষ্য হিপ্পাসাস (Hippasus of Metapontum) জ্যামিতিক অঙ্কন করতে গিয়ে আবিষ্কার করেন যে ১ একক বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য (√২) এমন এক সংখ্যা যাকে কোনো পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা অসম্ভব! এই সত্য পিথাগোরীয় মতবাদের মূল ভিত্তি কাঁপিয়ে দেয়। কথিত আছে, এই গোপন সত্য প্রকাশের অপরাধে পিথাগোরাসের অনুগামীরা হিপ্পাসাসকে সমুদ্রে নিক্ষেপ করে হত্যা করেছিল। তবে সত্যকে দমিয়ে রাখা যায়নি—অমূলদ সংখ্যার আবিষ্কার বিশ্ব গণিতকে এক নতুন দিগন্তে পৌঁছে দেয়।

গণিতে কোনো বিবৃতিকে সত্য প্রমাণ করার এক অত্যন্ত শক্তিশালী ও দার্শনিক পদ্ধতি হলো অনিষ্টাপত্তি পদ্ধতি বা বিপরীত যুক্তি (Proof by Contradiction / Reductio ad absurdum)। এই পদ্ধতিতে যা প্রমাণ করতে হবে, প্রথমে তার সম্পূর্ণ বিপরীতটি সত্য বলে ধরে নেওয়া হয়। তারপর নির্ভুল গাণিতিক যুক্তিজাল বিস্তার করে দেখা হয় যে এই অনুমানের ফলে এমন একটি সিদ্ধান্ত আসে যা পূর্বপ্রতিষ্ঠিত কোনো সত্য বা স্বতঃসিদ্ধের পরিপন্থী (Contradiction)। ফলে বাধ্য হয়ে স্বীকার করতে হয় যে প্রাথমিক অনুমানটি অসত্য ছিল, অর্থাৎ মূল বিবৃতিটিই সত্য।

উপপাদ্য ২: প্রমাণ করো যে ৩ + ২√৫ একটি অমূলদ সংখ্যা (যেখানে √৫ অমূলদ):
ধরি বিপরীতক্রমে, ৩ + ২√৫ একটি মূলদ সংখ্যা = r (যেখানে r ∈ ℚ)।
তাহলে,
২√৫ = r - ৩
⟹ √৫ = (r - ৩) / ২
যেহেতু r মূলদ এবং ৩ ও ২ মূলদ সংখ্যা, সুতরাং বীজগণিতের নিয়মে (r - ৩)/২ একটি মূলদ সংখ্যা হবে।
কিন্তু এর অর্থ দাঁড়ায় √৫ একটি মূলদ সংখ্যা—যা সর্বজনবিদিত সত্যের (√৫ অমূলদ) সম্পূর্ণ পরিপন্থী!
সুতরাং আমাদের অনুমান অসত্য ছিল। অতএব, ৩ + ২√৫ একটি অমূলদ সংখ্যা (প্রমাণিত)।

ধরি ১/৭ এবং ২/৭ দুটি মূলদ সংখ্যা। এদের মাঝে অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করতে হলে প্রথমে এদের দশমিক বিস্তার দেখে নিতে হয়:
১/৭ = ০.১৪২৮৫৭১৪২৮৫৭... = ০.১̅৪২৮৫৭̅
২/৭ = ০.২৮৫৭১৪২৮৫৭১৪... = ০.২̅৮৫৭১৪̅
এখন ০.১৪২৮৫৭... এবং ০.২৮৫৭১৪...-এর মাঝে একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক বিস্তার রচনা করলেই তা একটি অমূলদ সংখ্যা হবে।
যেমন: ০.১৫০১৫০০১৫০০০১৫০০০০১... বা ০.২০০২০০০০২...। এদের মান ১/৭ ও ২/৭-এর অন্তর্বর্তী এবং এরা নিশ্চিতভাবেই অমূলদ সংখ্যা।

বাস্তব সংখ্যা এবং জ্যামিতিক সরলরেখার মধ্যকার নিবিড় সম্পর্ক ব্যাখ্যা করতে গিয়ে ১৯ শতকের দুই মহান জার্মান গণিতবিদ রিচার্ড দেদেকিন্ড (Richard Dedekind) এবং গেয়র্গ ক্যান্টর (Georg Cantor) এক যুগান্তকারী স্বতঃসিদ্ধ উপস্থাপন করেন:

অবিচ্ছিন্নতার ধারণা (Completeness of the Continuum):
যদি সংখ্যারেখার ওপর কেবল মূলদ সংখ্যাগুলিকে বসানো হতো, তবে সংখ্যারেখায় অসংখ্য 'ছিদ্র' বা ফাঁকা জায়গা থেকে যেত (যেমন √২, √৩, √৫, π ইত্যাদি বিন্দুগুলির স্থান ফাঁকা থাকত)। অমূলদ সংখ্যাগুলি সেই সমস্ত ফাঁকা স্থান নিখুঁতভাবে পূর্ণ করে সংখ্যারেখাকে এক অবিচ্ছিন্ন ও নিরেট (Continuous Continuum) রূপ দান করে।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = √(ভূমি^২ + লম্ব^২)।
যদি ভূমি = ১ একক এবং লম্ব = ১ একক হয়, তবে অতিভুজ = √(১^২ + ১^২) = √(১ + ১) = √২ একক।

অঙ্কন প্রণালী (Step-by-Step Construction):

1. একটি সরলরেখা এঁকে তার ওপর শূন্যবিন্দুকে মূলবিন্দু O এবং ১ একক দৈর্ঘ্যের বিন্দুকে A চিহ্নিত করি (OA = ১ একক)।
2. A বিন্দুতে চাঁদা বা পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে OA-এর ওপর ৯০° কোণ এঁকে একটি লম্ব রেখাংশ টানি এবং স্কেল দিয়ে মেপে তার ওপর AB = ১ একক কেটে নিই।
3. O এবং B বিন্দু স্কেল দিয়ে যুক্ত করি। ফলে ΔOAB একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হলো।
4. পিথাগোরাসের উপপাদ্যানুসারে: OB = √(OA^২ + AB^২) = √(১^২ + ১^২) = √২ একক।
5. এখন কাঁটাকম্পাসের কাঁটা O বিন্দুতে বসিয়ে এবং পেনসিলের মুখ B বিন্দুতে রেখে OB-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ঘড়ির কাঁটার দিকে সংখ্যারেখার ওপর একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি।
6. বৃত্তচাপটি সংখ্যারেখাকে যে বিন্দুতে ছেদ করে, তার নাম দিই P। এই P বিন্দুই হলো সংখ্যারেখায় √২-এর সঠিক জ্যামিতিক অবস্থান (OP = √২ একক ≈ ১.৪১৪ একক)।

প্রাচীন গ্রিক গণিতবিদ থিওডোরাস (Theodorus of Cyrene) ক্রমিক সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কনের মাধ্যমে যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয়ের এক অপূর্ব পদ্ধতি আবিষ্কার করেন, যা থিওডোরাসের সর্পিল বা শামুক-কুণ্ডলী নামে পরিচিত:

• √৩ স্থাপন: সমকোণী ত্রিভুজ OAB-এর অতিভুজ OB (যার দৈর্ঘ্য √২)-এর ওপর B বিন্দুতে OB-এর ওপর লম্বভাবে BC = ১ একক আঁকি। O এবং C যুক্ত করি। সমকোণী ত্রিভুজ OBC-তে অতিভুজ OC = √(OB^২ + BC^২) = √((√২)^২ + ১^২) = √(২ + ১) = √৩ একক। O-কে কেন্দ্র করে OC ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ টানলে সংখ্যারেখায় √৩ পাওয়া যায়।
• √৪ = ২ স্থাপন: OC-এর ওপর C বিন্দুতে লম্ব CD = ১ একক আঁকলে OD = √((√৩)^২ + ১^২) = √(৩ + ১) = √৪ = ২ একক।
• √৫ স্থাপন: OD-এর ওপর D বিন্দুতে লম্ব DE = ১ একক আঁকলে OE = √(২^২ + ১^২) = √(৪ + ১) = √৫ একক।

যেকোনো ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা x (যেমন ৯.৩, ৪.৫ ইত্যাদি)-এর বর্গমূল √x জ্যামিতিক স্কেল ও কম্পাসের সাহায্যে অর্ধবৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতির মাধ্যমে অত্যন্ত নির্ভুলভাবে নির্ণয় ও সংখ্যারেখায় স্থাপন করা যায়।

অঙ্কন প্রণালী (Construction Steps for √x):

1. একটি সোজা রেখা টেনে তার ওপর স্কেলের সাহায্যে AB = x একক (যেমন ৯.৩ সেমি) রেখাংশ নিই।
2. B বিন্দু থেকে রেখাটিকে একই সরলরেখায় আরও ১ একক বাড়িয়ে C বিন্দু পর্যন্ত টানি (BC = ১ সেমি)। ফলে সমগ্র রেখাংশটির দৈর্ঘ্য হলো AC = x + ১ একক (যেমন ৯.৩ + ১ = ১০.৩ সেমি)।
3. AC রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করে তার মধ্যবিন্দু M নির্ণয় করি।
4. M বিন্দুকে কেন্দ্র করে MA (বা MC) ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করি। অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ R = (x + ১) / ২ একক।
5. B বিন্দুতে AC রেখাংশের ওপর একটি খাড়া লম্ব অঙ্কন করি, যা অর্ধবৃত্তের পরিধিকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
6. এই BD রেখাংশের দৈর্ঘ্যই হলো অবিকল √x একক (অর্থাৎ √৯.৩ সেমি)।
7. এখন B বিন্দুকে মূলবিন্দু (০) ধরে সংখ্যারেখা কল্পনা করে কাঁটাকম্পাসের সাহায্যে BD-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ টানলে তা সংখ্যারেখাকে যে বিন্দুতে ছেদ করে, তা-ই হলো √x-এর অবস্থান।

সমস্ত মূলদ সংখ্যা (ℚ) এবং সমস্ত অমূলদ সংখ্যা (ℚ')-এর সামগ্রিক সংযোগে গঠিত পূর্ণাঙ্গ সংখ্যা সেটকে বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers, প্রতীক: ℝ) বলে।
গাণিতিক সূত্রে: ℝ = ℚ ∪ ℚ' এবং ℚ ∩ ℚ' = ∅ (মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা সম্পূর্ণ পরস্পরছেদী সেট)।

বাস্তব সংখ্যার সেট ℝ দুটি মৌলিক দ্বি-পদ প্রক্রিয়া—যোগ (+) এবং গুণ (·)-এর সাপেক্ষে একটি সম্পূর্ণ ক্ষেত্র (Field) গঠন করে। বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্র স্বীকার্যগুলি নিম্নরূপ:

মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ প্রক্রিয়ায় বেশ কিছু সুনির্দিষ্ট গাণিতিক বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করা যায়:

১. মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার পারস্পরিক ক্রিয়া:

• একটি মূলদ সংখ্যা ও একটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা হয়। (যেমন: ৩ + √২ অমূলদ)।
• একটি মূলদ সংখ্যা থেকে একটি অমূলদ সংখ্যার বিয়োগফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা হয়। (যেমন: ৫ - √৩ অমূলদ)।
• একটি অশূন্য মূলদ সংখ্যা ও একটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা হয়। (যেমন: ৪ × √৫ = ৪√৫ অমূলদ; কিন্তু ০ × √৫ = ০ যা মূলদ)।
• একটি অমূলদ সংখ্যাকে অশূন্য মূলদ সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা হয়। (যেমন: √৬ / ২ অমূলদ)।

২. দুটি অমূলদ সংখ্যার পারস্পরিক ক্রিয়া (চরম গুরুত্বপূর্ণ সতর্কবার্তা):
দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগ সর্বদা অমূলদ নাও হতে পারে; ক্ষেত্রবিশেষে তারা মূলদ কিংবা অমূলদ উভয়ই হতে পারে।

যদি a একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা হয় কিন্তু কোনো মূলদ সংখ্যার পূর্ণবর্গ নয়, তবে ±√a আকারের অমূলদ সংখ্যাকে দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd) বলে।
যেমন: √২, √৩, √৫, √৭ দ্বিঘাত করণী; কিন্তু √৪ = ২ বা √৯ = ৩ করণী নয়, কারণ ৪ ও ৯ পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

করণীর প্রকারভেদ:

• ১. শুদ্ধ দ্বিঘাত করণী (Pure Quadratic Surd): যে দ্বিঘাত করণীর মূলদ সহগ ১ বা -১ হয়, তাকে শুদ্ধ দ্বিঘাত করণী বলে। যেমন: √৩, -√৫, √৮ = ২√২, √১২ = ২√৩।
• ২. মিশ্র দ্বিঘাত করণী (Mixed Quadratic Surd): কোনো মূলদ সংখ্যা এবং একটি শুদ্ধ দ্বিঘাত করণীর বীজগণিতীয় সমষ্টি বা অন্তরকে মিশ্র দ্বিঘাত করণী বলে। অর্থাৎ এর সাধারণ আকার a ± √b (যেখানে a মূলদ এবং √b শুদ্ধ করণী)। যেমন: ৩ + √৫, ২ - ৩√৭।
• ৩. সদৃশ করণী (Similar Surds): দুই বা ততোধিক করণীকে সরলতম বা লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করলে যদি তাদের অমূলদ বা করণী অংশ হুবহু একই হয়, তবে তাদের সদৃশ করণী বলে।
  যেমন: √৮ = ২√২, √১৮ = ৩√২, √৩২ = ৪√২, √৫০ = ৫√২—এদের প্রত্যেকেরই করণী অংশ হলো √২, সুতরাং এরা সদৃশ করণী। একমাত্র সদৃশ করণীগুলির মধ্যেই বীজগণিতীয় যোগ ও বিয়োগ সম্ভব (যেমন ২√২ + ৩√২ = ৫√২)।
• ৪. অসদৃশ করণী (Dissimilar Surds): সরলতম আকারে প্রকাশ করার পর যদি করণী অংশ ভিন্ন হয়, তবে তাদের অসদৃশ করণী বলে। যেমন: √১২ = ২√৩ এবং √১৮ = ৩√২। এদের সাধারণ যোগ-বিয়োগ সম্ভব নয়।

করণী নিরসক উৎপাদক (Rationalizing Factor):
কোনো করণীযুক্ত রাশিকে যে উপযুক্ত করণীযুক্ত রাশি দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি সম্পূর্ণ করণীমুক্ত একটি মূলদ সংখ্যায় পরিণত হয়, সেই গুণকটিকে প্রথম রাশির করণী নিরসক উৎপাদক বলে।
যেমন: √৫-এর করণী নিরসক উৎপাদক হলো √৫ (যেহেতু √৫ × √৫ = ৫)।
আবার (২ + √৩)-এর করণী নিরসক উৎপাদক হলো (২ - √৩), কারণ (২ + √৩)(২ - √৩) = ২^২ - (√৩)^২ = ৪ - ৩ = ১ (মূলদ)।

হরের করণী নিরসন (Rationalizing the Denominator):
কোনো ভগ্নাংশের হরে করণী থাকলে হিসাব-নিকাশ অত্যন্ত জটিল হয়। হরের করণী নিরসক অনুবন্ধী উৎপাদক দিয়ে ভগ্নাংশের লব ও হর উভয়কে গুণ করে হরকে মূলদ সংখ্যায় রূপান্তর করার কৌশলকে হরের করণী নিরসন বলে।
যেমন: ১ / (√৩ - √২) = [১ × (√৩ + √২)] / [(√৩ - √২)(√৩ + √২)] = (√৩ + √২) / (৩ - ২) = √৩ + √২।

একাধিক করণীর মানের তুলনা (Comparing Surds):
যদি দুটি করণীর মানের তুলনা করতে হয়, তবে তাদের সমঘাতী সূচকে রূপান্তর করতে হয় অথবা বর্গ করে তুলনা করা হয়।
উদাহরণ: (√৫ + √৩) এবং (√৬ + √২)-এর মধ্যে কোনটি বৃহত্তর?
(√৫ + √৩)^২ = ৫ + ৩ + ২√(১৫) = ৮ + ২√১৫
(√৬ + √২)^২ = ৬ + ২ + ২√(১২) = ৮ + ২√১২
যেহেতু ১৫ > ১২, সুতরাং ২√১৫ > ২√১২। অতএব (৮ + ২√১৫) > (৮ + ২√১২)।
সুতরাং (√৫ + √৩) > (√৬ + √২)।