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पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा १०वीं (माध्यमिक) गणित (Mathematics) सेट ०२ (उन्नत स्तर) हिन्दी माध्यम 100% निःशुल्क टेस्ट

पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा १०वीं (माध्यमिक) गणित (Mathematics): वृत्त की स्पर्श रेखा से संबंधित प्रमेय ऑनलाइन टेस्ट (सेट ०२ (उन्नत स्तर))

वृत्त की स्पर्श रेखा से संबंधित प्रमेय — सेट ०२ (उन्नत स्तर)

पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा १०वीं (माध्यमिक) गणित (Mathematics) अध्याय 15 'वृत्त की स्पर्श रेखा से संबंधित प्रमेय' का ऑनलाइन मॉक टेस्ट अभ्यास करें। 20 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs), 20 मिनट, तुरंत स्कोरकार्ड एवं आधिकारिक पाठ्यक्रम पर आधारित विस्तृत समाधान।

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20 प्रश्न
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20 मिनट
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तुरंत स्कोरकार्ड विस्तृत उत्तर व्याख्या WBBSE माध्यमिक पाठ्यक्रम

अध्याय अध्ययन गाइड एवं त्वरित रिवीजन नोट्स

ऑनलाइन टेस्ट शुरू करने से पहले इस अध्याय का विस्तृत सारांश एवं सूत्र अवश्य पढ़ें।

3 मुख्य भाग

सारांश एवं केंद्रीय ज्यामितीय सिद्धांत: वृत्त से संबंधित प्रमेय (अध्याय ३)

WBBSE माध्यमिक गणित प्रकाश अध्याय ३

पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा १० गणित पाठ्यक्रम ('गणित प्रकाश') के अंतर्गत वृत्त से संबंधित प्रमेय (Theorems related to Circle - अध्याय ३) माध्यमिक ज्यामिति (Euclidean Geometry) का सर्वाधिक महत्वपूर्ण आधारस्तंभ है। समतल में किसी निश्चित स्थिर बिंदु (केंद्र $O$) से समान दूरी (त्रिज्या $r$) पर स्थित समस्त बिंदुओं के बिंदुपथ को वृत्त (Circle) कहते हैं। वृत्त की परिधि पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाले सरल रेखाखंड को जीवा (Chord) कहते हैं। केंद्र से होकर गुजरने वाली सबसे बड़ी जीवा को व्यास (Diameter - $d = 2r$) कहा जाता है।

इस अध्याय का सबसे केंद्रीय ज्यामितीय आधार प्रमेय ३२ एवं प्रमेय ३३ (Theorems 32 & 33) द्वारा स्थापित होता है: "वृत्त के केंद्र से किसी ऐसी जीवा पर, जो व्यास नहीं है, खींचा गया लम्ब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।" इसके विलोम (Converse) के अनुसार, "वृत्त के केंद्र और जीवा के मध्य-बिंदु को मिलाने वाला रेखाखंड उस जीवा पर लम्ब होता है।" यदि केंद्र $O$ से जीवा $AB$ पर लम्ब $OM$ डाला जाए, तो $AM = MB = \frac{1}{2}AB$ तथा समकोण त्रिभुज $\triangle OMA$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $$r^2 = d^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2$$ जहाँ $r = OA$ वृत्त की त्रिज्या, $d = OM$ केंद्र से जीवा की लम्बवत दूरी, और $L = AB$ जीवा की कुल लम्बाई है।

इसके अतिरिक्त, किसी वृत्त में केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएं आपस में समान लम्बाई की होती हैं ($d_1 = d_2 \iff L_1 = L_2$); तथा दो समान जीवाएं केंद्र से सदैव समदूरस्थ होती हैं। सकेंद्रीय वृत्तों (Concentric Circles) में बाह्य वृत्त की वह जीवा जो आंतरिक वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर आंतरिक वृत्त की त्रिज्या द्वारा समद्विभाजित होती है। इन प्रमेयों और पाइथागोरस संबंधों पर सुदृढ़ पकड़ WBBSE माध्यमिक परीक्षा में ज्यामितीय उपपत्ति (Proof) एवं संख्यात्मक प्रश्नों में १००% अंक सुनिश्चित करती है।

कविता का केंद्रीय संदेश एवं सीख:

केंद्र से जीवा पर लम्ब $OM \perp AB$, जीवा का समद्विभाजन $AM = \frac{L}{2}$, और समकोण संबंध $r^2 = d^2 + (L/2)^2$ पर पूर्ण पकड़ माध्यमिक परीक्षा में सर्वोच्च अंक सुनिश्चित करती है।

मुख्य ज्यामितीय सूत्र, प्रमेय एवं पारिभाषिक शब्दावली

सूत्र संग्रह व प्रमेय सूची
शब्द / सूत्र प्रकार विवरण (English) परिभाषा / अर्थ उदाहरण / प्रयोग
प्रमेय ३२ (Theorem 32) प्रमेय Line joining centre to chord midpoint is perpendicular: OM ⊥ AB वृत्त के केंद्र और जीवा के मध्य-बिंदु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है। "यदि M जीवा AB का मध्य बिंदु हो, तो ∠OMA = 90°।"
प्रमेय ३३ (Theorem 33) प्रमेय Perpendicular from centre bisects chord: AM = MB = L/2 वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लम्ब उस जीवा को समद्विभाजित करता है। "यदि OM ⊥ AB, तो AM = MB = AB/2।"
जीवा-त्रिज्या संबंध सूत्र पाइथागोरस सूत्र r² = d² + (L/2)² त्रिज्या² = (केंद्र से दूरी)² + (अर्ध-जीवा)² "यदि r = 10 सेमी, d = 6 सेमी, तो अर्ध-जीवा = √(100 - 36) = 8 सेमी, जीवा = 16 सेमी।"
केंद्र से दूरी (Distance - d) व्युत्पन्न सूत्र d = √(r² - (L/2)²) केंद्र से जीवा की लम्बवत दूरी = √(त्रिज्या² - (जीवा/२)²)। "r = 13 सेमी और जीवा = 24 सेमी पर d = √(169 - 144) = 5 सेमी।"
जीवा की लम्बाई (Chord Length - L) व्युत्पन्न सूत्र L = 2 · √(r² - d²) जीवा की कुल लम्बाई = 2 × √(त्रिज्या² - दूरी²)। "r = 5 सेमी और d = 3 सेमी पर L = 2 × √(25 - 9) = 2 × 4 = 8 सेमी।"
समदूरस्थ जीवा नियम गुणधर्म Equal chords are equidistant from centre: L₁ = L₂ ⇔ d₁ = d₂ समान लम्बाई की जीवाएं केंद्र से समान दूरी पर स्थित होती हैं। "यदि दो जीवाएं 12 सेमी की हैं, तो केंद्र से दोनों की दूरियां एकसमान होंगी।"
विपरीत दिशा में समानांतर जीवाएं दूरी सूत्र D = d₁ + d₂ (Opposite sides of centre) केंद्र के दोनों ओर स्थित समानांतर जीवाओं के बीच की कुल दूरी = d₁ + d₂। "d₁ = 4 सेमी और d₂ = 3 सेमी होने पर बीच की दूरी = 4 + 3 = 7 सेमी।"
सकेंद्रीय वृत्त (Concentric Circles) अवधारणा Circles with common centre: L = 2√(R² - r²) एक ही केंद्र और भिन्न त्रिज्याओं वाले वृत्त। बाह्य जीवा की लम्बाई = 2√(R² - r²)। "R = 5 सेमी, r = 3 सेमी पर जीवा L = 2√(25 - 9) = 8 सेमी।"

काव्य सौंदर्य, अलंकार एवं मुख्य विशेषताएं:

समकोण त्रिभुज रचना विधि
केंद्र O, मध्य-बिंदु M और जीवा के अंत्य-बिंदु A को जोड़कर सदैव समकोण त्रिभुज OMA बनाएं।
अर्ध-जीवा रूपांतरण नियम
गणना में सदैव जीवा की आधी लम्बाई (L/2) का प्रयोग करें, फिर अंतिम उत्तर में 2 से गुणा करें।
समानांतर जीवा पक्ष विश्लेषण
प्रश्न में ध्यान दें कि समानांतर जीवाएं केंद्र के एक ही ओर (d₁ - d₂) हैं या विपरीत ओर (d₁ + d₂)।
सकेंद्रीय वृत्त स्पर्श रेखा प्रविधि
आंतरिक वृत्त की स्पर्श रेखा पर त्रिज्या सदैव 90° का कोण बनाती है, जिससे लम्बवत दूरी सीधे आंतरिक त्रिज्या r बन जाती है।

परीक्षा उपयोगी मुख्य बिंदु व हल सहित बोर्ड मॉडल प्रश्नोत्तर

WBBSE परीक्षा रिवीजन नोट्स
⚡ परीक्षा उपयोगी मुख्य बिंदु:
  • पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean Triplets): बोर्ड प्रश्नों में प्रायः (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), तथा (8, 15, 17) त्रिक प्रयुक्त होते हैं।
  • जीवा समद्विभाजन: केंद्र से डाला गया लम्ब जीवा को दो बराबर भागों में बांटता है ($AM = MB$)—इसका उपयोग ज्यामितीय रचनाओं में भी होता है।
  • व्यास सबसे बड़ी जीवा: वृत्त की सबसे बड़ी जीवा उसका व्यास ($d = 2r$) होती है, जिसकी केंद्र से दूरी शून्य ($d = 0$) होती है।
  • केंद्र से दूरी और जीवा का आकार: केंद्र के जितने निकट जीवा होगी, उसकी लम्बाई उतनी ही अधिक होगी; केंद्र से दूरी बढ़ने पर जीवा छोटी होती जाती है।
  • उपपत्ति चरण: प्रमेय सिद्ध करते समय 'दत्त', 'सिद्ध करना है', 'रचना', और 'उपपत्ति' चार औपचारिक शीर्षकों का ही प्रयोग करें।
महत्वपूर्ण परीक्षा प्रश्नोत्तर (Model Answers):
Q1 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में 16 सेमी लम्बी एक जीवा केंद्र से कितनी दूरी पर स्थित होगी?
उत्तर: यहाँ वृत्त की त्रिज्या $r = 10\text{ सेमी}$ और जीवा $AB = 16\text{ सेमी}$। केंद्र $O$ से जीवा पर लम्ब $OM$ डालने पर: $$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{16}{2} = 8\text{ सेमी}$$ समकोण $\triangle OMA$ में पाइथागोरस प्रमेय से: $$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\text{ सेमी}$$ अतः जीवा की केंद्र से दूरी 6 सेमी है।
Q2 13 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में एक जीवा केंद्र से 5 सेमी की दूरी पर है। जीवा की कुल लम्बाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: यहाँ त्रिज्या $r = 13\text{ सेमी}$ तथा केंद्र से लम्बवत दूरी $d = OM = 5\text{ सेमी}$। समकोण $\triangle OMA$ से अर्ध-जीवा: $$AM = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ सेमी}$$ चूँकि केंद्र से लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है, अतः जीवा की कुल लम्बाई: $$AB = 2 \times AM = 2 \times 12 = 24\text{ सेमी}$$
Q3 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में केंद्र के विपरीत पक्षों में 8 सेमी और 6 सेमी लम्बाई की दो समानांतर जीवाएं खींची गई हैं। दोनों जीवाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर: यहाँ $r = 5\text{ सेमी}$। पहली जीवा $AB = 8\text{ सेमी}$ की केंद्र से दूरी: $$d_1 = \sqrt{5^2 - (8/2)^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\text{ सेमी}$$ दूसरी जीवा $CD = 6\text{ सेमी}$ की केंद्र से दूरी: $$d_2 = \sqrt{5^2 - (6/2)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ सेमी}$$ चूँकि दोनों जीवाएं केंद्र के विपरीत ओर हैं, अतः उनके बीच की कुल दूरी: $$D = d_1 + d_2 = 3 + 4 = 7\text{ सेमी}$$
Q4 दो सकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएं क्रमशः 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बाह्य वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो आंतरिक वृत्त को स्पर्श करती है।
उत्तर: माना बड़े वृत्त की त्रिज्या $R = 5\text{ सेमी}$ तथा छोटे वृत्त की त्रिज्या $r = 3\text{ सेमी}$ है। बाह्य वृत्त की जीवा $AB$ छोटे वृत्त को बिंदु $M$ पर स्पर्श करती है, अतः $OM \perp AB$ और $OM = r = 3\text{ सेमी}$। समकोण $\triangle OMA$ में: $$AM = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ सेमी}$$ चूँकि $OM$, जीवा $AB$ को समद्विभाजित करता है, अतः जीवा की कुल लम्बाई: $$AB = 2 \times AM = 2 \times 4 = 8\text{ सेमी}$$

अभ्यास प्रश्नों की झलक (Sample Questions)

निःशुल्क पूर्वावलोकन

इस टेस्ट सेट के कुछ प्रमुख अभ्यास प्रश्न नीचे दिए गए हैं। टेस्ट शुरू करने से पहले उत्तर और व्याख्या देखकर अपनी तैयारी परखें:

Q1
In a circle with center O, tangents PA and PB are drawn from P. If ∠APB = 60° and OP = 10 cm, find the radius of the circle.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তে, স্পর্শক PA এবং PB P থেকে আঁকা হয়। ∠APB = 60° এবং OP = 10 সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করুন।
केंद्र O वाले एक वृत्त में, P से स्पर्शरेखाएँ PA और PB खींची जाती हैं। यदि ∠APB = 60° और OP = 10 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
A
10 cm
B
5 cm
C
5√3 cm
D
2.5 cm
सही उत्तर: विकल्प B
व्याख्या:
OP bisects ∠APB => ∠APO = 30°. In right ΔOAP: sin 30° = OA
OP দ্বিখণ্ডিত ∠APB => ∠APO = 30°। ডানদিকে ΔOAP: sin 30° = OA
OP, ∠APB => ∠APO = 30° को समद्विभाजित करता है। दाएं ΔOAP में: पाप 30° = OA
Q2
According to the Alternate Segment Theorem, the angle between a tangent and a chord through the point of contact is equal to:
অল্টারনেট সেগমেন্ট থিওরেম অনুসারে, যোগাযোগের বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি স্পর্শক এবং একটি জ্যার মধ্যে কোণ সমান:
वैकल्पिक खंड प्रमेय के अनुसार, संपर्क बिंदु के माध्यम से स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण बराबर होता है:
A
The central angleকেন্দ্রীয় কোণकेन्द्रीय कोण
B
Double the alternate angleবিকল্প কোণ দ্বিগুণ করুনवैकल्पिक कोण को दोगुना करें
C
The angle subtended by the chord in the alternate segmentবিকল্প সেগমেন্টে জ্যা দ্বারা সাবটেনড কোণएकांतर खंड में जीवा द्वारा बनाया गया कोण
D
90°
सही उत्तर: विकल्प C
व्याख्या:
The Alternate Segment Theorem states that the angle between a tangent and a chord equals the angle in the alternate segment.
বিকল্প সেগমেন্ট থিওরেম বলে যে একটি স্পর্শক এবং একটি জ্যার মধ্যবর্তী কোণটি বিকল্প অংশের কোণের সমান।
वैकल्पिक खंड प्रमेय बताता है कि स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण वैकल्पिक खंड में कोण के बराबर होता है।

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कागज की जांच में हफ्तों लगते हैं, जिससे छात्र अपनी गलतियां भूल जाते हैं। हमारे प्लेटफॉर्म पर टेस्ट सबमिट होते ही तुरंत स्कोरकार्ड और 20 प्रश्नों की व्याख्या मिल जाती है, जिससे कमजोर बिंदु तुरंत दुरुस्त हो जाते हैं।

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इस अध्याय में जांची जाने वाली मुख्य दक्षताएं

नवीनतम पाठ्यक्रम के अनुसार इस टेस्ट में निम्नलिखित मुख्य बिंदुओं का मूल्यांकन किया जाता है:

  • वृत्त, केंद्र, त्रिज्या, व्यास, जीवा, चाप एवं वृत्तखंड की आधारभूत परिभाषाएं।
  • प्रमेय ३२: वृत्त के केंद्र और जीवा के मध्य-बिंदु को मिलाने वाली रेखा की जीवा पर लम्बवत उपपत्ति।
  • प्रमेय ३३: वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाले गए लम्ब द्वारा जीवा के समद्विभाजन की उपपत्ति एवं अनुप्रयोग।
  • पाइथागोरस सूत्र $r^2 = d^2 + (L/2)^2$ द्वारा अज्ञात त्रिज्या, जीवा अथवा दूरी की संख्यात्मक गणना।
  • समानांतर जीवाओं के बीच की दूरी का निर्धारण (केंद्र के एक ही ओर अथवा विपरीत दिशा में)।
  • सकेंद्रीय वृत्तों में आंतरिक वृत्त को स्पर्श करने वाली बाह्य जीवा की लम्बाई ज्ञात करना।

परीक्षा नियम एवं ऑनलाइन टेस्ट निर्देश

  • कुल प्रश्न: इस टेस्ट में ठीक 20 वस्तुनिष्ठ बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) सम्मिलित हैं।
  • निर्धारित समय: टेस्ट प्रारंभ होते ही 20 मिनट का उलटी गिनती टाइमर शुरू हो जाएगा।
  • अंकन प्रणाली: प्रत्येक सही उत्तर के लिए +1.0 अंक प्रदान किया जाएगा।
  • शून्य नकारात्मक अंकन: गलत उत्तर के लिए कोई अंक (0.0) नहीं काटा जाएगा।
  • प्रश्न नेविगेशन: आप किसी भी प्रश्न पर जाने के लिए प्रश्न पैलेट और रिव्यू फ्लैग का उपयोग कर सकते हैं।
  • समीक्षा व व्याख्या: टेस्ट सबमिट करने के बाद सभी 20 प्रश्नों की विस्तृत व्याख्या देखें।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

हाँ! पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा १०वीं (माध्यमिक) गणित (Mathematics) के प्रत्येक अध्याय का आधार अभ्यास सेट ०१ (Set 01) सभी विद्यार्थियों के लिए 100% निःशुल्क है। बिना किसी शुल्क के सीधे ऑनलाइन टेस्ट का अभ्यास किया जा सकता है।
यह टेस्ट पूर्णतः पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) के आधिकारिक पाठ्यक्रम और कक्षा १०वीं (माध्यमिक) की पाठ्यचर्या पर आधारित है, जिसमें अध्याय 15 के सभी महत्वपूर्ण सिद्धांत, सूत्र और परीक्षा प्रारूप के प्रश्न शामिल हैं।
यह समर्पित टेस्ट पेज पूर्णतः हिन्दी माध्यम (Hindi Medium) में तैयार किया गया है। यदि आप अंग्रेज़ी या बांग्ला माध्यम में अभ्यास करना चाहते हैं, तो पृष्ठ के शीर्ष पर दिए गए भाषा स्विचर बार से आसानी से स्विच कर सकते हैं।
इस टेस्ट में कुल 20 वस्तुनिष्ठ बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) हैं और 20 मिनट का समय निर्धारित है। प्रत्येक सही उत्तर पर +1.0 अंक मिलता है तथा कोई नकारात्मक अंकन (Zero Negative Marking) नहीं है।
हाँ! टेस्ट सबमिट करते ही आपको तुरंत आपका कुल प्राप्तांक, सटीकता प्रतिशत, समय विश्लेषण और सभी 20 प्रश्नों की चरण-दर-चरण विस्तृत उत्तर व्याख्या प्राप्त होगी।

इस अध्याय के सभी टेस्ट सेट

सेट 01 (आधार स्तर)

20 प्रश्न • 20 मिनट
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सेट 02 (कठिन स्तर)

20 प्रश्न • 20 मिनट
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