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ICSE • कक्षा XI • Physics • अध्याय 5
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

कणों और कठोर शरीर की प्रणाली की गति (Motion of System of Particles and Rigid Body)

द्रव्यमान के केंद्र, कणों की एक प्रणाली की गति, घूर्णी गतिकी, टोक़, कोणीय गति, जड़ता के क्षण, रोलिंग गति और बोर्ड-स्तरीय व्युत्पत्तियों और संख्यात्मकताओं के साथ कठोर-शरीर की गतिशीलता पर व्यापक आईएससी कक्षा 11 भौतिकी अध्याय।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें
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यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

यह अध्याय भौतिक दुनिया को समझने के लिए केंद्रीय है और उच्च-स्तरीय भौतिकी, इंजीनियरिंग और वैज्ञानिक तर्क की नींव बनाता है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • बुनियादी बीजगणित और इकाइयां
  • ग्राफ रीडिंग और व्याख्या
  • भौतिक मात्राओं और मापों से परिचित

इस अध्याय के लक्ष्य

  • अध्याय की प्रमुख अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से समझाएं।
  • संख्यात्मक और व्युत्पत्तियों में सूत्रों को सटीक रूप से लागू करें।
  • वैज्ञानिक तर्क का उपयोग करके भौतिक घटनाओं की व्याख्या करें।
  • समान अवधारणाओं के बीच अंतर करें और सामान्य से बचें गलतियाँ.

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. कणों की प्रणाली और द्रव्यमान का...
2 2. द्रव्यमान के केंद्र की गति
3 3. टोक़ और कोणीय गति
4 4. जड़ता का क्षण और घूर्णी गतिज ऊर्...
5 5. बिना फिसले लुढ़कना
6 6. कोणीय संवेग का संरक्षण

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. कणों की प्रणाली और द्रव्यमान का केंद्र

द्रव्यमान का केंद्र
परिभाषा

कणों की एक प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र वह बिंदु है जिस पर प्रणाली के संपूर्ण द्रव्यमान को केंद्रित करने की कल्पना की जा सकती है। $n$ कणों की एक प्रणाली के लिए:

$$\vec{R}_{cm} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{M}$$

एक आयाम में,

$$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{M}, \quad y_{cm} = \frac{\sum m_i y_i}{M}$$

निरंतर निकायों के लिए, योग को एक अभिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है: $\vec{R}_{cm} = \frac{1}{M} \int \vec{r} \, dm$.

महत्वपूर्ण: द्रव्यमान का केंद्र शरीर की सामग्री के अंदर स्थित होना आवश्यक नहीं है; एक अंगूठी के लिए यह केंद्र में स्थित है, जो खाली जगह है।

2. द्रव्यमान के केंद्र की गति

सीएम मोशन
केवल बाहरी बल

कणों के बीच आंतरिक बल जोड़े में रद्द हो जाते हैं, इसलिए केवल बाहरी बल द्रव्यमान के केंद्र की गति को प्रभावित करते हैं।

$$\vec{F}_{ext} = M\vec{a}_{cm}$$

इसलिए शरीर की अनुवादात्मक गति परिणामी बाहरी बल द्वारा निर्धारित होती है। यह पूरे शरीर को उसके द्रव्यमान के केंद्र पर स्थित एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में मानने के समान है।

बिना किसी घूर्णन के स्थानान्तरणीय गति के लिए, शरीर बिल्कुल द्रव्यमान के केंद्र में स्थित $M$ द्रव्यमान के कण के समान व्यवहार करता है।

3. टोक़ और कोणीय गति

घूर्णी गतिशीलता
टॉर्क

टॉर्क एक अक्ष के चारों ओर बल का घूमने वाला प्रभाव है:

$$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$$

यह बल का घूर्णी एनालॉग है। समतलीय गति के लिए अदिश रूप में, $\tau = rF\sin\theta$.

कोणीय संवेग

एक कण के लिए, एक बिंदु के बारे में कोणीय गति

है

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$$

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर शरीर के लिए,

$$L = I\omega$$

टोक़ और कोणीय गति के बीच संबंध है

$$\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$$

4. जड़ता का क्षण और घूर्णी गतिज ऊर्जा

जड़त्व आघूर्ण
परिभाषा

जड़ता का क्षण द्रव्यमान का घूर्णी एनालॉग है:

$$I = \sum m_i r_i^2$$

यह मापता है कि किसी अक्ष के चारों ओर किसी पिंड की घूर्णी गति को बदलना कितना कठिन है।

एक सतत शरीर के लिए,

$$I = \int r^2 \, dm$$

घूर्णी गतिज ऊर्जा

है

$$K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$$

इसलिए अनुवाद और घूर्णन में एक कठोर शरीर की कुल गतिज ऊर्जा

है

$$K = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$

5. बिना फिसले लुढ़कना

रोलिंग मोशन
शुद्ध रोलिंग स्थिति

किसी समतल सतह पर बिना फिसले लुढ़कते हुए पिंड के लिए, संपर्क बिंदु सतह के सापेक्ष तुरंत आराम की स्थिति में होता है।

इसलिए,

$$v_{cm} = R\omega$$

और, विभेदीकरण,

$$a_{cm} = R\alpha$$

यह स्थिति सिलिंडर, गोले, पहियों और रिंग के नीचे की ओर लुढ़कने से जुड़ी सभी समस्याओं में केंद्रीय है।

6. कोणीय संवेग का संरक्षण

संरक्षण कानून
कोणीय संवेग कब संरक्षित रहता है?

यदि किसी सिस्टम पर शुद्ध बाहरी टॉर्क शून्य है, तो

$$\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt} = 0$$

इसलिए,

$$\vec{L} = \text{constant}$$

यह कानून आइस स्केटर्स, घूमने वाली डिस्क और घूमने वाले पिंडों के टकराव से जुड़ी समस्याओं के लिए बेहद उपयोगी है। सिद्धांत विशेष रूप से मोड़ने या मोड़ने की गति में बदलाव के लिए महत्वपूर्ण है जहां जड़ता का क्षण बदलता है लेकिन कोणीय गति स्थिर रहती है।

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

ISC Physics: System of Particles & Rigid Body 1. Centre of Mass R = Σ mᵢ rᵢ / M For discrete masses x_cm = Σ mᵢxᵢ / M CM may be outside body Internal forces cancel Motion of CM follows total external force 2. General Motion F_ext = M a_cm Total external force decides translational acceleration K = ½ M v_cm² + ½ I ω² Translation + rotation Pure rolling Energy split between CM and spin 3. Torque & Angular Momentum τ = r × F Rotational effect of force L = r × p Angular momentum τ_ext = dL/dt Angular momentum is conserved when τ_ext=0 4. Moment of Inertia I = Σ mᵢ rᵢ² Analog of mass in rotation K_rot = ½ I ω² Rotational kinetic energy I depends on axis Different shapes, different inertia High-Yield Formulae • CM: R = Σ mᵢrᵢ / M • Torque: τ = r × F ; τ_ext = dL/dt ; Angular momentum: L = Iω • Rotational KE: K_rot = ½ Iω² ; For pure rolling: v_cm = Rω and a_cm = Rα

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
द्रव्यमान का केंद्र वह बिंदु है जहां किसी प्रणाली के संपूर्ण द्रव्यमान को केंद्रित माना जा सकता है; कणों की एक प्रणाली के लिए, $ ec{R}_{cm} = rac{\sum m_i ec{r}_i}{M}$, $M = \sum m_i$.
मुख्य बिंदु 2
के साथ द्रव्यमान के केंद्र की गति केवल बाहरी ताकतों द्वारा नियंत्रित होती है: $ ec{F}_{ext} = M ec{a}_{cm}$, जबकि आंतरिक बल न्यूटन के तीसरे नियम द्वारा जोड़े में रद्द हो जाते हैं।
मुख्य बिंदु 3
एक कठोर पिंड की कुल गतिज ऊर्जा को अनुवादात्मक और घूर्णी भागों में विभाजित किया जा सकता है: $K = rac{1}{2}Mv_{cm}^2 + rac{1}{2}I\omega^2$.
मुख्य बिंदु 4
टॉर्क बल का घूर्णी एनालॉग है: $ ec{ au} = ec{r} imes ec{F}$ और इसके परिवर्तन की समय दर कोणीय गति के परिवर्तन की दर के बराबर होती है: $ ec{ au}_{ext} = rac{d ec{L}}{dt}$.
मुख्य बिंदु 5
कोणीय गति एक कण के लिए $ ec{L} = ec{r} imes ec{p}$ है और एक स्थिर के बारे में एक कठोर शरीर के लिए $ ec{L} = I ec{\omega}$ है axis.
मुख्य बिंदु 6
जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ किसी पिंड द्वारा कोणीय त्वरण के प्रति प्रस्तुत प्रतिरोध को मापता है; यह द्रव्यमान वितरण और घूर्णन की धुरी पर निर्भर करता है।
मुख्य बिंदु 7
शुद्ध रोलिंग एक विशेष संयुक्त गति है जहां संपर्क बिंदु तुरंत आराम पर होता है: $v_{cm} = R\omega$ और $a_{cm} = Rlpha$ बिना फिसले रोलिंग के लिए।
मुख्य बिंदु 8
शुद्ध बाहरी टोक़ की अनुपस्थिति में, कोणीय गति संरक्षित रहती है: $ ec{L}_{initial} = ec{L}_{final}$.
मुख्य बिंदु 9
न्यूटन के दूसरे नियम का घूर्णी एनालॉग है एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर पिंडों के लिए $ au = Ilpha$।
मुख्य बिंदु 10
अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान वितरण $I$ का मान निर्धारित करता है, इसलिए एक ही द्रव्यमान की अंगूठी, डिस्क और गोले में एक ही व्यास या केंद्रीय अक्ष के बारे में अलग-अलग घूर्णी जड़त्व होते हैं।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
द्रव्यमान के केंद्र को परिभाषित करें। एकसमान वलय का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर क्यों होता है जबकि वहां कोई द्रव्यमान मौजूद नहीं होता है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: द्रव्यमान का केंद्र वह बिंदु है जहां सिस्टम का संपूर्ण द्रव्यमान प्रभावी रूप से केंद्रित होता है। एक समान वलय के लिए, द्रव्यमान वितरण सममित होता है और सभी द्रव्यमान तत्वों की औसत स्थिति ज्यामितीय केंद्र पर होती है; इसलिए द्रव्यमान का केंद्र वहां स्थित होता है, भले ही उस बिंदु पर वलय का कोई पदार्थ न हो।
2
द्रव्यमान के केंद्र की गति के प्रमेय को बताएं और समझाएं।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: किसी प्रणाली पर कार्य करने वाला परिणामी बाहरी बल कुल द्रव्यमान गुणा द्रव्यमान के केंद्र के त्वरण के बराबर होता है: $ ec{F}_{ext} = M ec{a}_{cm}$। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि आंतरिक बल जोड़े में रद्द हो जाते हैं, जिससे सिस्टम की अनुवादात्मक गति को बदलने के लिए केवल बाहरी बल बचता है।
3
कोणीय गति टोक़ से कैसे संबंधित है? भौतिक महत्व दीजिए।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: बाहरी टॉर्क कोणीय गति के परिवर्तन की दर के बराबर है: $ au_{ext} = dL/dt$। इसका मतलब है कि टॉर्क वह एजेंट है जो कोणीय गति को बदलता है, जैसे बल रैखिक गति को बदलता है।
4
ट्रांसलेशनल गतिज ऊर्जा और घूर्णी गतिज ऊर्जा के बीच अंतर करें। एक लुढ़कते हुए पिंड की कुल गतिज ऊर्जा लिखें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: अनुवादात्मक गतिज ऊर्जा $ rac12 Mv_{cm}^2$ है और घूर्णी गतिज ऊर्जा $ rac12 I\omega^2$ है। एक लुढ़कती हुई वस्तु के लिए, कुल गतिज ऊर्जा $K = rac12 Mv_{cm}^2 + rac12 I\omega^2$ है।
5
शुद्ध रोलिंग क्या है? बिना फिसले लुढ़कने की स्थिति प्राप्त करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: शुद्ध रोलिंग का मतलब है कि सतह के सापेक्ष संपर्क बिंदु तुरंत आराम पर है। इस प्रकार बिना फिसले लुढ़कने के लिए $v_{cm} = R\omega$ और $a_{cm} = Rlpha$।
6
जड़ता के क्षण को परिभाषित करें और उन कारकों की व्याख्या करें जिन पर यह निर्भर करता है।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: जड़ता का क्षण कोणीय त्वरण के प्रतिरोध को मापता है: $I = \sum m_i r_i^2$। यह द्रव्यमान, अक्ष के सापेक्ष इसके वितरण और चुनी गई धुरी पर निर्भर करता है।
7
किसी पिंड का कोणीय संवेग बाह्य बलाघूर्ण की अनुपस्थिति में संरक्षित क्यों होता है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: क्योंकि $ au_{ext} = dL/dt$। यदि $ au_{ext}=0$, तो $dL/dt=0$ तो कोणीय गति स्थिर रहती है।
8
दैनिक जीवन या खेल में कोणीय गति के संरक्षण के नियम का महत्व बताएं।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: यह बताता है कि जब हथियार अंदर की ओर मुड़े होते हैं तो एक घूमता हुआ स्केटर गति क्यों करता है और जब हथियार फैलाए जाते हैं तो धीमा क्यों हो जाता है। स्पिन को नियंत्रित करने के लिए डाइविंग, जिम्नास्टिक और कलाबाजी में इसी सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।
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एडवांस्ड टेस्ट
15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स

कक्षा 11 Physics के सभी अध्याय

अध्याय 1: भौतिक संसार और मापन (Physical World and Measurement) अध्याय 2: गतिकी (Kinematics) अध्याय 3: गति के नियम (Laws of Motion) अध्याय 4: कार्य, शक्ति और ऊर्जा (Work, Power and Energy) अध्याय 5: कणों और कठोर शरीर की प्रणाली की गति (Motion of System of Particles and Rigid Body) अध्याय 6: गुरुत्वाकर्षण (Gravitation) अध्याय 7: थोक पदार्थ के गुण (Properties of Bulk Matter) अध्याय 8: ताप और ऊष्मप्रवैगिकी (Heat and Thermodynamics) अध्याय 9: उत्तम गैसों का व्यवहार और गैसों का गतिज सिद्धांत (Behaviour of Perfect Gases and Kinetic Theory of Gases) अध्याय 10: दोलन और लहरें (Oscillations and Waves)

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