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CISCE (ICSE & ISC)
Class 6
Mathematics
अध्याय 7: सेट का विचार और सेट के प्रकार (Idea of Sets and Types of Sets)

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ICSE • कक्षा 6 • Mathematics • अध्याय 7

अनुमानित समय: 45-60 mins

प्रगति: अध्ययनरत

सेट का विचार और सेट के प्रकार (Idea of Sets and Types of Sets)

काउंसिल फॉर द इंडियन स्कूल सर्टिफिकेट एग्जामिनेशंस (CISCE) के कक्षा 6 के गणित पाठ्यक्रम में 'समुच्चय की संकल्पना एवं समुच्चय के प्रकार' का अध्याय छात्रों को उच्चतर गणित की सबसे बुनियादी, तार्किक और व्यापक भाषा से परिचित कराता है। गणितीय दृष्टि से एक समुच्चय को 'सुपरिभाषित भिन्न वस्तुओं का संग्रह' कहा जाता है। यहाँ 'सुपरिभाषित' (Well-defined) शब्द समुच्चय की पहचान की सबसे महत्वपूर्ण और अनिवार्य कसौटी है। इसका सीधा अर्थ यह है कि किसी संग्रह के लिए एक ऐसा स्पष्ट, वस्तुनिष्ठ और असंदिग्ध नियम होना चाहिए, जिससे कोई भी व्यक्ति बिना किसी हिचकिचाहट के यह निश्चित रूप से बता सके कि कोई दी गई वस्तु उस संग्रह में सम्मिलित है अथवा नहीं। उदाहरण के लिए, 'अंग्रेजी वर्णमाला के सभी स्वरों का संग्रह' एक पूर्णतः सुपरिभाषित समुच्चय है, क्योंकि दुनिया का प्रत्येक व्यक्ति यह स्वीकार करेगा कि अक्षर 'e' इस संग्रह में आता है और अक्षर 'k' इसमें नहीं आता। इसके विपरीत, 'कक्षा 6 के सबसे बुद्धिमान छात्रों का संग्रह', 'भारत के पांच सबसे अच्छे क्रिकेट खिलाड़ी', या 'पुस्तकालय की रोचक पुस्तकों का संग्रह' गणित में समुच्चय नहीं कहलाते, क्योंकि 'बुद्धिमान', 'अच्छे' और 'रोचक' जैसे शब्द व्यक्तिगत राय और व्यक्तिपरक दृष्टिकोण पर आधारित होते हैं, जिनका कोई सार्वभौमिक गणितीय पैमाना नहीं होता। समुच्चय का निर्माण करने वाली वस्तुओं को उसके अवयव या सदस्य कहा जाता है। गणित के मानक नियमों के अनुसार समुच्चयों को सदैव अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों (जैसे A, B, C, X, Y, Z आदि) से दर्शाया जाता है, तथा उनके अवयवों को छोटे अक्षरों, संख्याओं या प्रतीकों द्वारा केवल और केवल मँझले कोष्ठक अर्थात कर्ली ब्रेसेज के भीतर अल्पविराम लगाकर लिखा जाता है। समुच्चय की सदस्यता को यूनानी प्रतीक एप्सिलॉन द्वारा प्रदर्शित किया जाता है: यदि कोई वस्तु x समुच्चय A का अवयव है, तो हम लिखते हैं कि x, A का सदस्य है। यदि वह A का अवयव नहीं है, तो कटे हुए एप्सिलॉन प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है कि x, A का सदस्य नहीं है। समुच्चय के संदर्भ में दो स्वर्णिम नियम सदैव याद रखने योग्य हैं: पहला अनावृत्ति का नियम, जिसके अनुसार किसी भी अवयव को समुच्चय में एक से अधिक बार नहीं लिखा जाता (जैसे 'MATHEMATICS' शब्द के अक्षरों का समुच्चय लिखते समय M, A, T अक्षरों को केवल एक-एक बार ही लिखा जाता है), और दूसरा क्रम अपरिवर्तनीयता का नियम, जिसके अनुसार कोष्ठक के भीतर अवयवों को किसी भी क्रम में लिखा जाए, समुच्चय के स्वरूप में कोई परिवर्तन नहीं आता। पाठ्यक्रम में समुच्चयों को निरूपित करने की तीन पारंपरिक पद्धतियाँ निर्धारित हैं। पहली पद्धति विवरण रूप (या कथन रूप) है, जिसमें समुच्चय के सभी अवयवों के उभयनिष्ठ गुण को शब्दों में स्पष्ट वाक्य के रूप में लिखा जाता है। दूसरी पद्धति रोस्टर रूप (या तालिका रूप अथवा सूचीकरण विधि) है, जिसमें समुच्चय के सभी अवयवों को मँझले कोष्ठक के भीतर अल्पविराम लगाकर प्रत्यक्ष रूप से सूचीबद्ध किया जाता है, जैसे दस से छोटी अभाज्य संख्याओं के लिए P बराबर मँझला कोष्ठक दो, तीन, पांच, सात मँझला कोष्ठक बंद। तीसरी और सर्वाधिक महत्वपूर्ण पद्धति समुच्चय निर्माण रूप (या नियम विधि) है, जिसमें एक चर राशि जैसे x का प्रयोग किया जाता है, जिसके पश्चात एक कोलन या ऊर्ध्वाधर रेखा लगाई जाती है जिसे 'इस प्रकार है कि' पढ़ा जाता है, और फिर x का विशिष्ट गणितीय गुणधर्म लिखा जाता है। रोस्टर रूप और समुच्चय निर्माण रूप के बीच परस्पर परिवर्तन का अभ्यास करना कक्षा 6 के छात्रों के लिए अत्यंत आवश्यक है। समुच्चयों का वर्गीकरण उनकी गणन संख्या के आधार पर किया जाता है। किसी परिमित समुच्चय में उपस्थित भिन्न-भिन्न अवयवों की कुल संख्या को उसकी गणन संख्या कहा जाता है, जिसे n(A) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। जिस समुच्चय में एक भी अवयव न हो, उसे रिक्त समुच्चय (या शून्य समुच्चय) कहते हैं, जिसे यूनानी अक्षर फाई अथवा खाली मँझले कोष्ठक से दर्शाया जाता है, तथा इसकी गणन संख्या शून्य होती है। यहाँ बोर्ड परीक्षाओं का एक बहुत बड़ा जाल यह है कि कई छात्र शून्य वाले समुच्चय अथवा फाई वाले समुच्चय को रिक्त समझ लेते हैं, जबकि शून्य वाला समुच्चय एक एकल समुच्चय होता है जिसकी गणन संख्या एक होती है! जिस समुच्चय में ठीक एक अवयव होता है, उसे एकल समुच्चय कहते हैं। जिस समुच्चय के अवयवों की गिनती की जा सकती है और गिनती समाप्त हो जाती है, उसे परिमित समुच्चय कहते हैं। इसके विपरीत, जिस समुच्चय के अवयवों की गिनती कभी समाप्त नहीं होती और अनंत तक चलती रहती है, उसे अपरिमित समुच्चय कहते हैं, जैसे प्राकृत संख्याओं, पूर्ण संख्याओं या पूर्णांकों का समुच्चय, जिसे रोस्टर रूप में दर्शाते समय अंत में तीन निरंतरता बिंदु (एलिप्सिस) लगाए जाते हैं। पाठ्यक्रम का एक अन्य महत्वपूर्ण सैद्धांतिक आयाम समान समुच्चय और समतुल्य समुच्चय का स्पष्ट अंतर है। दो परिमित समुच्चयों को समतुल्य समुच्चय तब कहा जाता है जब उनकी गणन संख्या बिल्कुल समान हो, अर्थात n(A) बराबर n(B) हो। इसमें अवयवों का एक जैसा होना आवश्यक नहीं होता, केवल संख्या बराबर होनी चाहिए। दो समुच्चयों को समान समुच्चय तब कहा जाता है जब दोनों में बिल्कुल वही और एक जैसे अवयव उपस्थित हों। अतः यह सार्वभौमिक गणितीय नियम स्थापित होता है कि सभी समान समुच्चय अनिवार्य रूप से समतुल्य होते हैं, परंतु समतुल्य समुच्चय परस्पर समान हों यह कतई आवश्यक नहीं है। समुच्चयों के परस्पर संबंधों के अंतर्गत उपसमुच्चय, उचित उपसमुच्चय तथा सार्वत्रिक समुच्चय की संकल्पनाएँ आती हैं। यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव समुच्चय B में भी उपस्थित हो, तो A को B का उपसमुच्चय कहा जाता है। यदि A, B का उपसमुच्चय है और B में कम से कम एक ऐसा अवयव है जो A में नहीं है, तो A को B का उचित उपसमुच्चय कहते हैं। उपसमुच्चयों के बुनियादी नियम हैं कि रिक्त समुच्चय प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, और प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। किसी n अवयवों वाले परिमित समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या दो की घात n होती है, तथा उचित उपसमुच्चयों की संख्या दो की घात n ऋण एक होती है। किसी संदर्भ में सभी प्रासंगिक समुच्चयों को समाहित करने वाले सबसे बड़े मूल समुच्चय को सार्वत्रिक समुच्चय (Universal Set) कहा जाता है। अंत में, वेन आरेख की सहायता से समुच्चयों का ज्यामितीय निरूपण छात्रों को उनकी दृश्य और व्यावहारिक समझ प्रदान करता है। अंग्रेज तर्कशास्त्री जॉन वेन द्वारा विकसित इस पद्धति में सार्वत्रिक समुच्चय को एक बड़े आयत द्वारा तथा उसके भीतर के समुच्चयों को वृत्तों द्वारा दर्शाया जाता है। जिन दो समुच्चयों में कोई भी साझा अवयव नहीं होता, उन्हें असंयुक्त समुच्चय कहते हैं और वे अलग-अलग वृत्तों के रूप में दिखते हैं। जिन समुच्चयों में उभयनिष्ठ अवयव होते हैं, वे अतिव्यापी समुच्चय कहलाते हैं और उनके वृत्त एक-दूसरे को काटते हैं। वेन आरेख के माध्यम से दो समुच्चयों का सम्मिलन (संघ) और सर्वनिष्ठ (उभयनिष्ठ भाग) ज्ञात करना अत्यंत सरल हो जाता है, जो छात्रों को उच्च कक्षाओं की बीजगणित, प्रायिकता और विश्लेषणात्मक चिंतन के लिए पूरी तरह तैयार करता है।

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क्या आपने कभी सोचा है?

जब आप किसी ऑनलाइन खरीदारी वेबसाइट पर 'बीस हजार रुपये से कम मूल्य वाले तथा पांच सितारा रेटिंग प्राप्त स्मार्टफोन' खोजते हैं, या जब किसी अंतरराष्ट्रीय हवाई अड्डे की सुरक्षा प्रणाली 'उड़ान संख्या 402 से लंदन जाने वाले वैध वीजा धारक यात्रियों' को छांटती है, अथवा जब किसी अस्पताल का कंप्यूटर 'ओ-नेगेटिव रक्त समूह वाले उन सभी रक्तदाताओं' की सूची निकालता है जो आपातकालीन रक्तदान के लिए उपलब्ध हैं, तब वह कंप्यूटर केवल बिखरे हुए आंकड़ों को नहीं देख रहा होता—बल्कि वह शुद्ध रूप से समुच्चय सिद्धांत (Set Theory) का क्रियान्वयन कर रहा होता है। सैकड़ों वर्षों तक गणित के पास वस्तुओं और संख्याओं के समूहों को एक तार्किक, सुव्यवस्थित और असंदिग्ध ढांचे में बांधने का कोई सार्वभौमिक सिद्धांत नहीं था। उन्नीसवीं सदी के उत्तरार्ध में जर्मन गणितज्ञ गेऑर्ग कैंटर ने यह क्रांतिकारी साहसिक विचार प्रस्तुत किया कि वस्तुओं के किसी भी सुनिश्चित संग्रह को अपने आप में एक स्वतंत्र गणितीय इकाई अर्थात 'समुच्चय' (Set) माना जा सकता है। आरंभ में उनके विचारों का कड़ा विरोध हुआ, परंतु अंततः समुच्चय सिद्धांत आधुनिक गणित, तर्कशास्त्र, कंप्यूटर विज्ञान और डेटाबेस प्रबंधन की आधारशिला बन गया। समुच्चय सूचनाओं के विशाल समुद्र को सुव्यवस्थित नियमों में ढालने की अद्भुत कला है।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

समुच्चय सिद्धांत का अध्ययन केवल एक स्कूली अध्याय नहीं है, बल्कि यह आधुनिक सूचना युग और डिजिटल क्रांति की मूल रीढ़ है। संसार के सभी बैंक, एयरलाइन आरक्षण प्रणालियां, ई-कॉमर्स वेबसाइटें और सर्च इंजन जिस रिलेशनल डेटाबेस और एसक्यूएल (SQL) भाषा पर चलते हैं, वह पूरी तरह से गणितीय समुच्चय सिद्धांत के सिद्धांतों पर ही निर्मित है। जब कोई प्रोग्रामर किसी डेटाबेस से जानकारी निकालने के लिए दो तालिकाओं को आपस में जोड़ता है, तो वह वास्तव में समुच्चयों के संघ (Union) और सर्वनिष्ठ (Intersection) की संक्रियाएं ही चला रहा होता है। कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में 'सेट' एक अत्यंत अनिवार्य डेटा संरचना है, जिसका उपयोग तेज गति से दोहराव वाले डेटा को हटाने और खोज प्रक्रियाओं को गति देने में किया जाता है। कृत्रिम बुद्धिमत्ता (AI) और मशीन लर्निंग में डेटा को अलग-अलग श्रेणियों और उपसमुच्चयों में वर्गीकृत करने के लिए समुच्चय तर्क का ही प्रयोग होता है। जीव विज्ञान में पृथ्वी के लाखों जीवों का वर्गीकरण (जगत, संघ, वर्ग, गण, कुल, वंश, जाति) उपसमुच्चयों के इसी पदानुक्रम पर आधारित है। कानून और संविधान के विश्लेषण में भी यह जांचा जाता है कि किसी व्यक्ति का आचरण वैधानिक अनुमतियों के सुपरिभाषित समुच्चय में आता है अथवा नहीं। कक्षा 6 के स्तर पर सुपरिभाषित संग्रहों, गणन संख्या, उपसमुच्चयों और वेन आरेखों की सटीक समझ छात्रों के भीतर तार्किक स्पष्टता, वर्गीकरण क्षमता और वैज्ञानिक दृष्टिकोण का मजबूत आधार तैयार करती है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

प्राकृत संख्याओं (N), पूर्ण संख्याओं (W), पूर्णांकों (Z), सम संख्याओं, विषम संख्याओं एवं अभाज्य संख्याओं की बुनियादी अवधारणाओं का स्पष्ट ज्ञान।
प्राकृत संख्याओं के अपवर्तकों (गुणनखंडों) एवं अपवर्त्यों (गुणजों) को ज्ञात करने तथा उनकी विभाज्यता के नियमों की समझ।
अंग्रेजी वर्णमाला, गणितीय प्रतीकों एवं अज्ञात राशियों को दर्शाने के लिए अक्षरों के प्रयोग (चरों) से भली-भांति परिचय।
वस्तुनिष्ठ तथ्यों और व्यक्तिपरक व्यक्तिगत रायों (Subjective opinions) के बीच अंतर करने की प्राथमिक तार्किक क्षमता।
सरल समतलीय आकृतियों जैसे आयत, वृत्त तथा परस्पर प्रतिच्छेद करने वाले ज्यामितीय क्षेत्रों की सामान्य समझ।

इस अध्याय के लक्ष्य

समुच्चय की गणितीय परिभाषा स्पष्ट करना तथा सुपरिभाषित कसौटी का प्रयोग करके वास्तविक समुच्चयों एवं अस्पष्ट संग्रहों में भेद करना।
समुच्चय की सदस्यता के प्रतीकों (अवयव है एवं अवयव नहीं है) का शुद्ध प्रयोग करना तथा अनावृत्ति व क्रम अपरिवर्तनीयता के नियमों को समझाना।
किसी भी दिए गए समुच्चय को विवरण रूप, रोस्टर रूप (तालिका रूप) एवं समुच्चय निर्माण रूप (नियम विधि) में धाराप्रवाह रूपांतरित करना।
किसी परिमित समुच्चय की गणन संख्या n(A) ज्ञात करना तथा रिक्त समुच्चय, एकल समुच्चय, परिमित समुच्चय एवं अपरिमित समुच्चय की सही पहचान करना।
एकैकी संगति तथा अवयवों की समानता का परीक्षण करके समान समुच्चयों एवं समतुल्य समुच्चयों के मध्य स्पष्ट तार्किक अंतर करना।
किसी दिए गए समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों और उचित उपसमुच्चयों को क्रमबद्ध रूप से सूचीबद्ध करना तथा दो की घात n सूत्र को लागू करना।
सार्वत्रिक समुच्चय की व्याख्या करना तथा सार्वत्रिक समुच्चय, असंयुक्त समुच्चय एवं अतिव्यापी समुच्चयों के लिए मानक वेन आरेख बनाना।
वेन आरेख और रोस्टर रूप का प्रयोग करके दो समुच्चयों का सम्मिलन (संघ) एवं सर्वनिष्ठ ज्ञात करना तथा व्यावहारिक वर्गीकरण समस्याओं को हल करना।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 मॉड्यूल 1: समुच्चय की संकल्पना, सुप...

2 मॉड्यूल 2: समुच्चयों का निरूपण — वि...

3 मॉड्यूल 3: समुच्चय की गणन संख्या, र...

4 मॉड्यूल 4: परिमित समुच्चय एवं अपरिम...

5 मॉड्यूल 5: समान समुच्चय एवं समतुल्य...

6 मॉड्यूल 6: उपसमुच्चय, उचित उपसमुच्च...

7 मॉड्यूल 7: वेन आरेख एवं समुच्चयों प...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

मॉड्यूल 1: समुच्चय की संकल्पना, सुपरिभाषित संग्रह एवं सदस्यता संकेतन

1.1 समुच्चय की परिभाषा एवं गेऑर्ग कैंटर की ऐतिहासिक क्रांति

दैनिक बोलचाल में हम विभिन्न प्रकार के समूहों के लिए अलग-अलग शब्दों का प्रयोग करते हैं: जैसे पक्षियों का झुंड, ताश की गड्डी, खिलाड़ियों की टीम, अथवा चाबियों का गुच्छा। गणित में हमें एक ऐसे सार्वभौमिक, तार्किक और सटीक ढांचे की आवश्यकता होती है जो बिना किसी व्यक्तिगत पक्षपात के काम करे। उस बुनियादी गणितीय अवधारणा को समुच्चय (Set) कहा जाता है।

सुपरिभाषित भिन्न वस्तुओं के संग्रह को समुच्चय (Set) कहते हैं।

समुच्चय सिद्धांत की यह मूलभूत नींव 1870 के दशक में प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ गेऑर्ग कैंटर (Georg Cantor, 1845–1918) द्वारा रखी गई थी। इस परिभाषा के दो अपरिहार्य स्तंभ हैं: संग्रह की वस्तुएं भिन्न (Distinct) होनी चाहिए (अर्थात कोई पुनरावृत्ति नहीं) और संग्रह पूर्णतः सुपरिभाषित (Well-defined) होना चाहिए।

1.2 "सुपरिभाषित" की कसौटी (वस्तुनिष्ठ नियम बनाम व्यक्तिगत राय)

किसी संग्रह को सुपरिभाषित (Well-defined) तब कहा जाता है जब हमारे पास एक ऐसा निश्चित, वस्तुनिष्ठ और असंदिग्ध नियम उपलब्ध हो, जिसके आधार पर बिना किसी संशय के यह तय किया जा सके कि कोई दी गई वस्तु उस संग्रह की सदस्य है अथवा नहीं। इसमें व्यक्तिगत पसंद, राय या भावना का कोई स्थान नहीं होता।

संग्रह का विवरण	क्या यह समुच्चय है?	गणितीय कारण एवं व्याख्या
"अंग्रेजी वर्णमाला के सभी स्वरों का संग्रह"	हाँ ✓	सुपरिभाषित। प्रत्येक अक्षर या तो $\{a, e, i, o, u\}$ में आता है या नहीं आता। वैश्विक सर्वसम्मति है।
"आपकी कक्षा के सबसे बुद्धिमान छात्रों का संग्रह"	नहीं ✗	सुपरिभाषित नहीं। 'बुद्धिमान' शब्द व्यक्तिपरक है; बुद्धिमत्ता मापने का कोई सार्वभौमिक पैमाना नहीं है।
"10 से छोटी सभी विषम प्राकृत संख्याओं का संग्रह"	हाँ ✓	सुपरिभाषित। संख्याएं स्पष्ट रूप से $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ हैं। कोई अस्पष्टता नहीं है।
"विश्व के पांच सबसे महान गणितज्ञों का संग्रह"	नहीं ✗	सुपरिभाषित नहीं। 'महान' एक व्यक्तिगत राय है; अलग-अलग व्यक्तियों की सूची भिन्न होगी।
"संख्या 18 के सभी अपवर्तकों (गुणनखंडों) का संग्रह"	हाँ ✓	सुपरिभाषित। अपवर्तक निश्चित हैं: $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$।
"पुस्तकालय की कठिन पुस्तकों का संग्रह"	नहीं ✗	सुपरिभाषित नहीं। जो पुस्तक एक छात्र के लिए कठिन है, वह दूसरे के लिए सरल हो सकती है।

बोर्ड परीक्षा चेतावनी: यदि किसी संग्रह में अच्छा, सुंदर, बुद्धिमान, कठिन, प्रसिद्ध, बड़ा, लोकप्रिय, भयानक जैसे गुणात्मक विशेषण प्रयुक्त हों, तो वह संग्रह कभी भी समुच्चय नहीं हो सकता।

1.3 अवयव, नामकरण एवं सदस्यता प्रतीक ($\\in$ और $\\notin$)

समुच्चय का निर्माण करने वाली वस्तुओं को उसके अवयव (Elements) या सदस्य (Members) कहा जाता है।

समुच्चय का नामकरण

समुच्चय को सदैव अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों (Capital Letters) से दर्शाया जाता है:
A, B, C, X, Y, Z, V, P

अवयवों का अंकन

अवयवों को अंग्रेजी के छोटे अक्षरों (Small Letters), संख्याओं या प्रतीकों द्वारा मँझले कोष्ठक $\{ \}$ के भीतर लिखा जाता है:
a, b, c, x, 1, 2, 3

सदस्यता प्रतीक (यूनानी अक्षर एप्सिलॉन)

सदस्य है ($\\in$):
यदि वस्तु $x$ समुच्चय $A$ का अवयव है, तो हम लिखते हैं:
$x \\in A$
(पढ़ा जाता है: '$x$, $A$ का सदस्य है' अथवा '$x$ belongs to $A$')

सदस्य नहीं है ($\\notin$):
यदि वस्तु $y$ समुच्चय $A$ का अवयव नहीं है, तो हम लिखते हैं:
$y \\notin A$
(पढ़ा जाता है: '$y$, $A$ का सदस्य नहीं है' अथवा '$y$ does not belong to $A$')

उदाहरण: यदि $V = \{a, e, i, o, u\}$, तब:
• $e \\in V$ (सत्य, क्योंकि $e$ स्वर है)
• $b \\notin V$ (सत्य, क्योंकि $b$ व्यंजन है, स्वर नहीं)
• $5 \\notin V$ (सत्य, क्योंकि 5 संख्या है, स्वर नहीं)

1.4 समुच्चय निर्माण के दो स्वर्णिम नियम

स्वर्णिम नियम 1: अनावृत्ति का नियम (पुनरावृत्ति वर्जित)

किसी भी समुच्चय में एक अवयव को केवल एक ही बार लिखा जाता है। किसी अवयव को बार-बार दोहराने से समुच्चय का आकार या पहचान नहीं बदलती।

शब्द 'MATHEMATICS' के अक्षरों का समुच्चय:
अक्षर: M, A, T, H, E, M, A, T, I, C, S
दोहराए गए अक्षरों (M, A, T) को हटाने पर:
$S = \{M, A, T, H, E, I, C, S\}$
(यहाँ कुल 8 भिन्न अवयव हैं, 11 नहीं!)

स्वर्णिम नियम 2: क्रम अपरिवर्तनीयता का नियम

कोष्ठक के भीतर अवयवों को किसी भी क्रम में लिखा जाए, समुच्चय के स्वरूप और समानता में कोई अंतर नहीं आता।

यदि $A = \{1, 2, 3\}$ और $B = \{3, 1, 2\}$ और $C = \{2, 3, 1\}$:
तब गणितीय रूप से:
$A = B = C$
(क्रम बदलने से समुच्चय की सदस्यता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता!)

मॉड्यूल 2: समुच्चयों का निरूपण — विवरण, रोस्टर एवं समुच्चय निर्माण रूप

2.1 समुच्चयों को निरूपित करने की तीन विधियाँ

काउंसिल फॉर द इंडियन स्कूल सर्टिफिकेट एग्जामिनेशंस (CISCE) के पाठ्यक्रम के अनुसार, किसी समुच्चय को व्यक्त करने की तीन मानक गणितीय विधियाँ हैं: विवरण रूप (Description Form), रोस्टर या तालिका रूप (Roster Form), तथा समुच्चय निर्माण या नियम रूप (Set-Builder Form)। प्रत्येक विद्यार्थी को इन तीनों रूपों के मध्य सरलता से रूपांतरण करना आना चाहिए।

विधि 1: विवरण रूप (Description or Statement Form)

इस विधि में समुच्चय के सभी अवयवों के उभयनिष्ठ गुणधर्म को शब्दों में एक स्पष्ट कथन या वाक्य के रूप में लिखा जाता है। इसे प्रायः मँझले कोष्ठक में रखा जाता है।

उदाहरण:
• $A = \{\text{अंग्रेजी वर्णमाला के सभी स्वर}\}$
• $B = \{\text{15 से छोटी सभी अभाज्य संख्याएं}\}$
• $C = \{\text{सप्ताह के दिनों के नाम}\}$

विधि 2: रोस्टर रूप या तालिका विधि (Roster or Tabular Form)

इस विधि में समुच्चय के प्रत्येक अवयव को मँझले कोष्ठक $\{ \}$ के भीतर अल्पविराम (कॉमा) लगाकर अलग-अलग सूचीबद्ध किया जाता है।

रोस्टर रूप के नियम:
1. सभी अवयव अनिवार्य रूप से मँझले कोष्ठक $\{ \}$ में ही बंद होने चाहिए (छोटे या बड़े कोष्ठक अमान्य हैं)।
2. अवयवों को अलग करने के लिए अल्पविराम (,) का प्रयोग करें।
3. किसी भी अवयव की पुनरावृत्ति न करें।

उदाहरण:
• $A = \{a, e, i, o, u\}$
• $B = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$
• $C = \{\text{रविवार, सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार}\}$

विधि 3: समुच्चय निर्माण रूप या नियम विधि (Set-Builder or Rule Form)

इस विधि में अवयवों को प्रत्यक्ष रूप से न लिखकर, एक चर राशि (जैसे $x, y$ अथवा $z$) का उपयोग किया जाता है जो समुच्चय के प्रत्येक अवयव का प्रतिनिधित्व करती है। इसके बाद एक कोलन (:) या ऊर्ध्वाधर रेखा (|) लगाई जाती है जिसे 'इस प्रकार है कि' (such that) पढ़ा जाता है, और फिर उस चर का विशिष्ट नियम लिखा जाता है।

$A = \{x : x \text{ की विशिष्ट शर्त या गुणधर्म}\}$
(पढ़ा जाता है: '$A$ उन सभी $x$ का समुच्चय है, इस प्रकार कि $x$ दी गई शर्त को संतुष्ट करता है')

उदाहरण:
• $A = \{x : x \text{ अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है}\}$
• $B = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ तथा } x < 10\}$ (अर्थात $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$)
• $C = \{x : x = 2n, n \in \mathbb{N} \text{ तथा } n \le 5\}$ (अर्थात $\{2, 4, 6, 8, 10\}$)

2.2 तीनों रूपों का परस्पर रूपांतरण तुलनात्मक चार्ट

विवरण रूप (Description)	रोस्टर रूप (Roster Form)	समुच्चय निर्माण रूप (Set-Builder)
20 से छोटी विषम प्राकृत संख्याएँ	$\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\}$	$\{x : x \in \mathbb{N}, x \text{ विषम है, } x < 20\}$
संख्या 24 के सभी अपवर्तक (गुणनखंड)	$\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$	$\{x : x \in \mathbb{N}, x \text{ संख्या 24 का गुणनखंड है}\}$
प्रथम पांच पूर्ण वर्ग संख्याएँ	$\{1, 4, 9, 16, 25\}$	$\{x : x = n^2, n \in \mathbb{N}, 1 \le n \le 5\}$
शब्द 'MISSISSIPPI' के अक्षर	$\{M, I, S, P\}$	$\{x : x \text{ शब्द 'MISSISSIPPI' का एक अक्षर है}\}$

2.3 गणित के मानक संख्या समुच्चय (Universal Number Notations)

गणित में कुछ विशेष संख्या संग्रहों के लिए अंतरराष्ट्रीय स्तर पर आरक्षित मानक प्रतीक निश्चित हैं, जिनका प्रयोग समुच्चय निर्माण रूप में निरंतर होता है:

प्राकृत संख्याएँ ($\\mathbb{N}$):
$\\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$
(गिनती की सभी धनात्मक संख्याएँ)

पूर्ण संख्याएँ ($\\mathbb{W}$):
$\\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}$
(शून्य सहित सभी प्राकृत संख्याएँ)

पूर्णांक ($\\mathbb{Z}$ या $\\mathbb{I}$):
$\\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$
(ऋणात्मक, शून्य एवं धनात्मक पूर्ण मान)

अभाज्य संख्याएँ ($P$):
$P = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots\}$
(ठीक 2 भिन्न अपवर्तक वाली संख्याएँ)

मॉड्यूल 3: समुच्चय की गणन संख्या, रिक्त समुच्चय एवं एकल समुच्चय

3.1 समुच्चय की गणन संख्या (Cardinal Number of a Set: $n(A)$)

किसी परिमित समुच्चय में उपस्थित भिन्न-भिन्न (Unique/Distinct) अवयवों की कुल संख्या को उस समुच्चय की गणन संख्या (Cardinal Number) अथवा उसका क्रम (Order) कहा जाता है। इसे संकेतन में $n(A)$ अथवा $|A|$ से प्रदर्शित किया जाता है।

$n(A) = $ समुच्चय $A$ में उपस्थित भिन्न अवयवों की कुल संख्या

विभिन्न समुच्चयों की गणन संख्या के उदाहरण:

यदि $V = \{a, e, i, o, u\}$, तो इसमें 5 अवयव हैं $\implies \mathbf{n(V) = 5}$
यदि $D = \{\text{सप्ताह के दिन}\}$, तो 7 दिन होते हैं $\implies \mathbf{n(D) = 7}$
यदि $P = \{x : x \text{ 10 से छोटी अभाज्य संख्या है}\} = \{2, 3, 5, 7\} \implies \mathbf{n(P) = 4}$
यदि $M = \{x : x \text{ संख्या 12 का गुणनखंड है}\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \implies \mathbf{n(M) = 6}$

अक्षरों की गिनती में परीक्षक का ट्रैप (अनावृत्ति नियम का परीक्षण)

बोर्ड परीक्षाओं में शब्दों के अक्षरों का समुच्चय बनाकर उनकी गणन संख्या पूछी जाती है। बिना सोचे-समझे सीधे कुल अक्षरों को गिन लेना सबसे बड़ी त्रुटि है:

शब्द 'ALLAHABAD':
कुल अक्षर = 9
भिन्न अक्षर = $\{A, L, H, B, D\}$
सही गणन संख्या: $n = 5$

शब्द 'COMMITTEE':
कुल अक्षर = 9
भिन्न अक्षर = $\{C, O, M, I, T, E\}$
सही गणन संख्या: $n = 6$

3.2 रिक्त समुच्चय या शून्य समुच्चय (Empty / Null / Void Set: $\\emptyset$ या $\{\}$)

जिस समुच्चय में एक भी अवयव नहीं होता, उसे रिक्त समुच्चय (Empty Set), शून्य समुच्चय (Null Set), अथवा रिक्तिका (Void Set) कहते हैं। इसे डेनिश गणितीय प्रतीक $\\emptyset$ (फाई / Phi) अथवा खाली मँझले कोष्ठक $\{\}$ से प्रदर्शित किया जाता है।

रिक्त समुच्चय की गणन संख्या: चूंकि इसमें शून्य अवयव होते हैं, अतः सदैव:
$n(\\emptyset) = n(\{\}) = 0$

रिक्त समुच्चय के प्रमाणिक गणितीय उदाहरण:
• $A = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ तथा } 3 < x < 4\} = \emptyset$ (3 और 4 के बीच कोई प्राकृत संख्या नहीं होती)
• $B = \{x : x \text{ एक वर्ष में 32 दिनों वाला महीना है}\} = \emptyset$
• $C = \{x : x \text{ 2 से बड़ी सम अभाज्य संख्या है}\} = \emptyset$ (2 ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है)
• $D = \{x : x^2 = -4, x \text{ एक वास्तविक संख्या है}\} = \emptyset$

3.3 एकल समुच्चय (Singleton or Unit Set)

जिस समुच्चय में केवल और केवल एक ही अवयव उपस्थित होता है, उसे एकल समुच्चय (Singleton Set या Unit Set) कहा जाता है।

एकल समुच्चय की गणन संख्या: किसी भी एकल समुच्चय $S$ के लिए:
$n(S) = 1$

एकल समुच्चय के महत्वपूर्ण उदाहरण:
• $S_1 = \{5\} \implies n(S_1) = 1$
• $S_2 = \{x : x \text{ एकमात्र सम अभाज्य संख्या है}\} = \{2\} \implies n(S_2) = 1$
• $S_3 = \{x : x \in \mathbb{W} \text{ तथा } x < 1\} = \{0\} \implies n(S_3) = 1$
• $S_4 = \{\text{भारत की वर्तमान राजधानी}\} = \{\text{नई दिल्ली}\} \implies n(S_4) = 1$

3.4 परीक्षक का महा-जाल: $\{0\} \neq \emptyset$ तथा $\{\emptyset\} \neq \emptyset$

यह ICSE कक्षा 6 की परीक्षाओं में सबसे अधिक बार पूछा जाने वाला प्रश्न है, जहाँ 80% विद्यार्थी अंक गंवाते हैं:

समुच्चय $\{0\}$ रिक्त नहीं है!

संख्या 0 स्वयं में एक वैध पूर्ण संख्या और अवयव है। जब शून्य को कोष्ठक $\{0\}$ में लिखा जाता है, तो यह एक अवयव वाला समुच्चय बन जाता है।

$n(\{0\}) = 1$ (यह एकल समुच्चय है!)

समुच्चय $\{\emptyset\}$ रिक्त नहीं है!

जब प्रतीक $\emptyset$ को कोष्ठक $\{\emptyset\}$ के भीतर रखा जाता है, तो $\emptyset$ स्वयं उस समुच्चय का एक सदस्य बन जाता है।

$n(\{\emptyset\}) = 1$ (यह भी एकल समुच्चय है!)

निष्कर्ष सारांश:
• $\\emptyset$ अथवा $\{\}$ = रिक्त समुच्चय $\implies n = 0$
• $\{0\}$ = एकल समुच्चय $\implies n = 1$
• $\{\\emptyset\}$ = एकल समुच्चय $\implies n = 1$
अतः परीक्षा में कभी भी $\{0\}$ अथवा $\{\\emptyset\}$ को रिक्त समुच्चय न लिखें!

मॉड्यूल 4: परिमित समुच्चय एवं अपरिमित समुच्चय

4.1 परिमित समुच्चय (Finite Sets): परिभाषा, गणनीयता एवं रिक्त समुच्चय का सिद्धांत

जिस समुच्चय के अवयवों की गिनती की जा सकती है और गिनती की प्रक्रिया अंततः समाप्त हो जाती है, उसे परिमित समुच्चय (Finite Set) कहते हैं। औपचारिक गणितीय भाषा में, एक समुच्चय परिमित होता है यदि उसकी गणन संख्या $n(A)$ एक निश्चित पूर्ण संख्या ($0, 1, 2, 3, \dots$) होती है।

मुख्य विशेषता: परिमित समुच्चय में अवयवों की संख्या सीमित और गणनीय होती है।
• $A = \{\text{एक वर्ष के महीने}\} \implies n(A) = 12$ (परिमित समुच्चय)
• $B = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ तथा } x \le 100\} \implies n(B) = 100$ (परिमित समुच्चय)
• $C = \{\text{संख्या 24 के सभी गुणनखंड}\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \implies n(C) = 8$ (परिमित समुच्चय)

महत्वपूर्ण बोर्ड तथ्य: रिक्त समुच्चय $\\emptyset$ भी एक परिमित समुच्चय है, क्योंकि इसकी गणन संख्या 0 है, जो कि एक निश्चित पूर्ण संख्या है ($n(\\emptyset) = 0$).

4.2 अपरिमित समुच्चय (Infinite Sets): असीमित अवयव एवं दीर्घवृत्त ($\\dots$) संकेतन

जिस समुच्चय के अवयवों की गिनती कभी समाप्त नहीं होती और अनंत तक अनवरत चलती रहती है, उसे अपरिमित समुच्चय (Infinite Set) कहते हैं। इसमें अवयवों की संख्या असीमित होती है।

किसी अपरिमित समुच्चय की गणन संख्या को किसी प्राकृत संख्या या शून्य द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता।
रोस्टर रूप में अपरिमित समुच्चय को दर्शाने के लिए प्रारंभिक कुछ अवयवों को लिखकर पैटर्न स्पष्ट किया जाता है, और फिर ठीक तीन निरंतरता बिंदु (दीर्घवृत्त या इलिप्सिस: $\\dots$) लगाए जाते हैं।

• सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय: $\\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$
• सभी पूर्ण संख्याओं का समुच्चय: $\\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}$
• सभी पूर्णांकों का समुच्चय: $\\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$
• 7 के सभी गुणजों (अपवर्त्य) का समुच्चय: $M_7 = \{7, 14, 21, 28, \dots\}$
• एक रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं का समुच्चय (ज्यामितीय रूप से अपरिमित)

गुणनखंड (अपवर्तक) बनाम गुणज (अपवर्त्य) का स्वर्णिम अंतर

यह ICSE की वार्षिक परीक्षा का एक अत्यंत प्रिय प्रश्न है:

गुणनखंड (Factors): सदैव परिमित!
किसी भी संख्या के गुणनखंड उस संख्या से बड़े नहीं हो सकते। अतः गुणनखंडों की सूची हमेशा परिमित होती है।
उदाहरण: $\{\text{12 के गुणनखंड}\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ (परिमित)

गुणज (Multiples): सदैव अपरिमित!
किसी भी संख्या के गुणज अनंत तक बढ़ते चले जाते हैं। अतः गुणजों का समुच्चय हमेशा अपरिमित होता है।
उदाहरण: $\{\text{12 के गुणज}\} = \{12, 24, 36, 48, \dots\}$ (अपरिमित)

मॉड्यूल 5: समान समुच्चय एवं समतुल्य समुच्चय

5.1 समान समुच्चय (Equal Sets: $A = B$)

दो समुच्चय $A$ और $B$ समान समुच्चय कहलाते हैं यदि उनमें ठीक वही और बिल्कुल एक जैसे अवयव हों। अर्थात $A$ का प्रत्येक अवयव $B$ में हो और $B$ का प्रत्येक अवयव $A$ में हो।

औपचारिक परिभाषा:
$A = B \iff (A \subseteq B \text{ तथा } B \subseteq A)$

उदाहरण:
यदि $A = \{1, 2, 3\}$ और $B = \{3, 1, 2\}$,
तो अवयव बिल्कुल समान हैं (क्रम का कोई महत्व नहीं)।
$\implies A = B$

5.2 समतुल्य समुच्चय (Equivalent Sets: $A \\leftrightarrow B$)

दो परिमित समुच्चय $A$ और $B$ समतुल्य समुच्चय कहलाते हैं यदि उनकी गणन संख्या (अवयवों की संख्या) परस्पर समान हो। इसमें अवयवों का एक जैसा होना आवश्यक नहीं है, केवल संख्या समान होनी चाहिए।

औपचारिक शर्त:
$A \\leftrightarrow B \iff n(A) = n(B)$

उदाहरण:
यदि $A = \{1, 2, 3\}$ और $B = \{p, q, r\}$,
यहाँ $n(A) = 3$ तथा $n(B) = 3$।
अवयव अलग हैं, पर संख्या समान है।
$\implies A \\leftrightarrow B$ (समतुल्य हैं, समान नहीं)

एकैकी संगति (One-to-One Correspondence)

दो समुच्चय समतुल्य होते हैं यदि और केवल यदि उनके अवयवों के मध्य एक एकैकी संगति (One-to-One Matching) स्थापित की जा सके, अर्थात समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव का समुच्चय $B$ के ठीक एक अवयव से जोड़ा बनाया जा सके बिना किसी अवयव के छूटे।

      $A = \{\text{लाल}, \text{हरा}, \text{नीला}\} \quad \longleftrightarrow \quad B = \{10, 20, 30\}$

      लाल $\leftrightarrow$ 10,   हरा $\leftrightarrow$ 20,   नीला $\leftrightarrow$ 30 $\implies n(A) = n(B) = 3$

सुवर्ण नियम: "सभी समान समुच्चय सदैव समतुल्य होते हैं, परंतु विलोम सत्य नहीं है"

यह समुच्चय सिद्धांत का सबसे आधारभूत तुलनात्मक नियम है:

दिशा 1: समान $\implies$ समतुल्य (सदैव सत्य ✓)
यदि दो समुच्चय समान हैं ($A = B$), तो उनमें बिल्कुल वही अवयव होंगे। इसलिए उनकी गणन संख्या भी निश्चित रूप से समान होगी ($n(A) = n(B)$)। अतः वे हमेशा समतुल्य होंगे।

दिशा 2: समतुल्य $\implies$ समान (सत्य नहीं ✗)
यदि दो समुच्चय समतुल्य हैं ($n(A) = n(B)$), तो इसका अर्थ केवल यह है कि उनमें अवयवों की संख्या बराबर है। उनके अवयव पूरी तरह से भिन्न हो सकते हैं। जैसे $\{1, 2\} \leftrightarrow \{a, b\}$ समतुल्य हैं, पर समान नहीं!

मॉड्यूल 6: उपसमुच्चय, उचित उपसमुच्चय एवं सार्वत्रिक समुच्चय

6.1 उपसमुच्चय की अवधारणा ($A \\subseteq B$) एवं अधिसमुच्चय

यदि किसी समुच्चय $A$ का प्रत्येक अवयव किसी अन्य समुच्चय $B$ का भी एक अवयव हो, तो समुच्चय $A$ को समुच्चय $B$ का उपसमुच्चय (Subset) कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से $A \\subseteq B$ लिखा जाता है।

• प्रतीक: $A \\subseteq B$ (पढ़ा जाता है: '$A$, $B$ का उपसमुच्चय है' अथवा '$A$ is a subset of $B$')
• इस स्थिति में समुच्चय $B$ को $A$ का अधिसमुच्चय (Superset) कहा जाता है और इसे $B \\supseteq A$ लिखा जाता है।
• यदि $A$ का कम से कम एक अवयव ऐसा हो जो $B$ में न हो, तो $A$, $B$ का उपसमुच्चय नहीं होता और इसे $A \\not\\subseteq B$ लिखते हैं।

उदाहरण: यदि $A = \{2, 4\}$ और $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$:
चूंकि 2 और 4 दोनों समुच्चय $B$ में उपस्थित हैं, अतः $A \\subseteq B$ सत्य है।

6.2 उचित उपसमुच्चय (Proper Subset: $A \\subset B$)

समुच्चय $A$ को समुच्चय $B$ का उचित उपसमुच्चय (Proper Subset) कहा जाता है यदि $A$, $B$ का उपसमुच्चय हो ($A \\subseteq B$) तथा $A \\neq B$ हो। इसका सीधा अर्थ यह है कि समुच्चय $B$ में कम से कम एक ऐसा अवयव अवश्य होना चाहिए जो समुच्चय $A$ में उपस्थित न हो।

उचित उपसमुच्चय ($A \\subset B$):
यदि $A = \{1, 2\}$ और $B = \{1, 2, 3\}$:
यहाँ $A \\subset B$ सत्य है, क्योंकि अवयव 3 समुच्चय $B$ में अतिरिक्त है।

अनुचित उपसमुच्चय ($A = B$):
यदि $A = \{1, 2\}$ और $B = \{1, 2\}$:
यहाँ $A \\subseteq B$ तो है, पर $A \\subset B$ नहीं है क्योंकि $B$ में कोई भी अतिरिक्त अवयव नहीं है।

6.3 उपसमुच्चय के दो सार्वभौमिक नियम

नियम 1: रिक्त समुच्चय प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है

$$\\emptyset \\subseteq A \quad (\\text{प्रत्येक समुच्चय } A \\text{ के लिए})$$

चूंकि रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, अतः ऐसा कोई अवयव खोजना असंभव है जो $A$ में न हो।

नियम 2: प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है

$$A \\subseteq A \quad (\\text{प्रत्येक समुच्चय } A \\text{ के लिए})$$

समुच्चय $A$ का प्रत्येक अवयव स्वतः $A$ में उपस्थित होता है। यह अनुचित उपसमुच्चय कहलाता है।

6.4 कुल उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र ($2^n$)

यदि किसी परिमित समुच्चय $A$ में $n$ अवयव हों (अर्थात $n(A) = n$), तो:

कुल उपसमुच्चयों की संख्या
$2^n$

उचित उपसमुच्चयों की संख्या
$2^n - 1$
(स्वयं उस समुच्चय को घटाकर)

व्यावहारिक उदाहरण: समुच्चय $S = \{a, b, c\}$ के सभी उपसमुच्चय लिखिए:
यहाँ अवयवों की संख्या $n = 3$ है। कुल उपसमुच्चय = $2^3 = 8$ होंगे:
1. शून्य अवयव वाला (रिक्त समुच्चय): $\\emptyset$
2. एक-एक अवयव वाले (एकल समुच्चय): $\{a\}, \{b\}, \{c\}$ (3 उपसमुच्चय)
3. दो-दो अवयव वाले: $\{a, b\}, \{b, c\}, \{a, c\}$ (3 उपसमुच्चय)
4. तीनों अवयवों वाला (स्वयं समुच्चय): $\{a, b, c\}$ (1 उपसमुच्चय)
कुल उपसमुच्चय = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 उपसमुच्चय
उचित उपसमुच्चय = 8 - 1 = 7 उपसमुच्चय (केवल $\{a, b, c\}$ को छोड़कर)

6.5 सार्वत्रिक समुच्चय (Universal Set: $U$ अथवा $\\xi$)

किसी विशेष गणितीय संदर्भ अथवा समस्या में, वह आधारभूत समुच्चय जिसमें उस संदर्भ की सभी संभव वस्तुएं और अन्य सभी विचाराधीन समुच्चय पूर्णतः समाहित होते हैं, उसे सार्वत्रिक समुच्चय (Universal Set) कहते हैं।

• सार्वत्रिक समुच्चय को प्रायः $U$ अथवा यूनानी अक्षर $\\xi$ (जाइ / Xi) से दर्शाया जाता है।
• विचाराधीन संदर्भ का प्रत्येक समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है: $A \\subseteq U, B \\subseteq U, C \\subseteq U$।

उदाहरण: यदि $A = \{1, 3, 5\}$ और $B = \{2, 4, 6\}$,
तो एक संभावित सार्वत्रिक समुच्चय हो सकता है:
$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ अथवा $U = \\mathbb{N}$।

मॉड्यूल 7: वेन आरेख एवं समुच्चयों पर मूल संक्रियाएं (सम्मिलन एवं सर्वनिष्ठ)

7.1 जॉन वेन का योगदान एवं वेन आरेख (Venn Diagrams) की ज्यामितीय संरचना

समुच्चयों और उनके पारस्परिक संबंधों को चित्रों के माध्यम से सरलता से समझने के लिए ज्यामितीय आकृतियों का प्रयोग किया जाता है। इस आरेखीय पद्धति का विकास 1880 में अंग्रेजी तर्कशास्त्री जॉन वेन (John Venn, 1834–1923) द्वारा किया गया था, इसलिए इन्हें वेन आरेख (Venn Diagrams) कहा जाता है।

सार्वत्रिक समुच्चय ($U$ अथवा $\\xi$)

वेन आरेख में सार्वत्रिक समुच्चय को सदैव एक बड़े आयत (Rectangle) द्वारा दर्शाया जाता है, तथा ऊपरी कोने पर $U$ या $\\xi$ लिखा जाता है।

उपसमुच्चय ($A, B, C$)

सार्वत्रिक समुच्चय के भीतर स्थित सभी समुच्चयों को आयत के अंदर वृत्तों (Circles) अथवा बंद वक्रों द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

7.2 असंयुक्त समुच्चय बनाम अतिव्यापी समुच्चय

असंयुक्त समुच्चय (Disjoint Sets)

ऐसे दो समुच्चय जिनमें एक भी उभयनिष्ठ (Common) अवयव नहीं होता, उन्हें असंयुक्त समुच्चय कहते हैं।

शर्त: $A \\cap B = \\emptyset$
वेन आरेख में दोनों वृत्त पूरी तरह अलग-अलग (Non-intersecting) होते हैं।

उदाहरण: $A = \{1, 3, 5\}$ (विषम) तथा $B = \{2, 4, 6\}$ (सम)

अतिव्यापी समुच्चय (Overlapping / Joint Sets)

ऐसे दो समुच्चय जिनमें कम से कम एक उभयनिष्ठ अवयव अवश्य उपस्थित होता है, उन्हें अतिव्यापी समुच्चय कहते हैं।

शर्त: $A \\cap B \\neq \\emptyset$
वेन आरेख में दोनों वृत्त एक-दूसरे को काटते (Overlap) हैं।

उदाहरण: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ तथा $B = \{3, 4, 5, 6\}$ (उभयनिष्ठ: 3, 4)

7.3 समुच्चयों का सम्मिलन या संघ ($A \\cup B$)

दो समुच्चयों $A$ और $B$ का सम्मिलन (Union) वह समुच्चय है जिसमें $A$ के सभी अवयव, $B$ के सभी अवयव, तथा दोनों के उभयनिष्ठ अवयव समाहित होते हैं (अनावृत्ति नियम का पालन करते हुए)।

प्रतीक: $A \\cup B$
नियम: '$A$ या $B$' (Either in $A$, or in $B$, or in both)
$A \\cup B = \{x : x \\in A \text{ अथवा } x \\in B\}$

उदाहरण:
यदि $A = \{1, 2, 3\}$ और $B = \{2, 3, 4, 5\}$:
$A \\cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

7.4 समुच्चयों का सर्वनिष्ठ या प्रतिच्छेदन ($A \\cap B$)

दो समुच्चयों $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ (Intersection) वह समुच्चय है जिसमें केवल वही अवयव आते हैं जो $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ (Common) हों।

प्रतीक: $A \\cap B$
नियम: '$A$ और $B$' (Both in $A$ and in $B$)
$A \\cap B = \{x : x \\in A \text{ तथा } x \\in B\}$

उदाहरण:
यदि $A = \{1, 2, 3\}$ और $B = \{2, 3, 4, 5\}$:
उभयनिष्ठ अवयव 2 और 3 हैं:
$A \\cap B = \{2, 3\}$

महत्वपूर्ण वेन आरेख निष्कर्ष:
• यदि $A$ और $B$ असंयुक्त हैं, तो $A \\cap B = \\emptyset$ तथा $n(A \\cup B) = n(A) + n(B)$।
• यदि $A$ और $B$ अतिव्यापी हैं, तो $n(A \\cup B) = n(A) + n(B) - n(A \\cap B)$ (उभयनिष्ठ भाग दो बार न गिना जाए)।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

समुच्चय सदस्यता एवं अनावृत्ति का नियम

$$x A ⇔ x समुच्चय A का अवयव है; {x_1, x_1, x_2} = {x_1, x_2}$$

परिमित समुच्चय की गणन संख्या का सूत्र

$$n(A) = |A| = _{x A} 1 (जहाँ प्रत्येक भिन्न अवयव केवल एक बार गिना जाता है)$$

रिक्त एवं एकल समुच्चय की गणन संख्या सर्वसमिकाएं

$$n() = n() = 0; n({a}) = 1; विशेष: {0} ≠ तथा ≠ $$

समतुल्य समुच्चयों की सम-गणनीयता शर्त

$$A \leftrightarrow B \iff n(A) = n(B)$$

समान समुच्चयों का पारस्परिक अंतर्वेशन नियम

$$A = B ⇔ (A B तथा B A) ⇒ (A = B ⇒ n(A) = n(B))$$

कुल उपसमुच्चयों की संख्या का घात नियम

$$कुल उपसमुच्चय(A) = 2^n (जहाँ n = n(A))$$

उचित उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र

$$उचित उपसमुच्चय(A) = 2^n - 1 (जहाँ n = n(A))$$

अतिव्यापी समुच्चयों के सम्मिलन की गणन संख्या का सूत्र

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

विस्तृत समाधान / उत्तर:

हल:
(a) भारत के सभी राज्यों का संग्रह:
• निर्णय: यह एक समुच्चय है (✓)।
• कारण: यह संग्रह पूर्णतः सुपरिभाषित (Well-defined) है। किसी भी दिए गए भौगोलिक क्षेत्र (जैसे बिहार, केरल अथवा लंदन) के लिए बिना किसी संशय या मतभेद के वस्तुनिष्ठ रूप से यह तय किया जा सकता है कि वह भारत का राज्य है अथवा नहीं। इसमें कोई व्यक्तिगत राय सम्मिलित नहीं है। [1 अंक]

(b) आपकी कक्षा के सबसे बुद्धिमान छात्रों का संग्रह:
• निर्णय: यह एक समुच्चय नहीं है (✗)।
• कारण: यह संग्रह सुपरिभाषित नहीं है। 'बुद्धिमान' शब्द एक गुणात्मक और व्यक्तिपरक (Subjective) विशेषण है। बुद्धिमत्ता को मापने का कोई सार्वभौमिक सर्वमान्य गणितीय पैमाना नहीं है; जो छात्र एक शिक्षक या सहपाठी की दृष्टि में बुद्धिमान है, वह दूसरे के अनुसार सामान्य हो सकता है। [1 अंक]

उदाहरण 2

विस्तृत समाधान / उत्तर:

हल:
(a) रोस्टर रूप में निरूपण:
शब्द 'MATHEMATICS' में कुल 11 अक्षर हैं: M, A, T, H, E, M, A, T, I, C, S।
समुच्चय के अनावृत्ति के स्वर्णिम नियम (Rule of Non-Repetition) के अनुसार, किसी भी अवयव को दोहराया नहीं जाता।
दोहराए गए अक्षरों (M, A, T) को केवल एक-एक बार लेने पर:
$$\mathbf{W = \{M, A, T, H, E, I, C, S\}}$$ [1 अंक]

(b) गणन संख्या $n(W)$ की गणना:
रोस्टर रूप में उपस्थित भिन्न-भिन्न अवयवों की कुल संख्या:
M, A, T, H, E, I, C, S $\implies$ कुल 8 अद्वितीय अवयव हैं।
अतः: $$\mathbf{n(W) = 8}$$ [1 अंक]
(नोट: कुल अक्षरों 11 को गणन संख्या लिखना गलत होगा।)

(c) सदस्यता कथनों की सत्यता की जांच:
• अक्षर 'E' समुच्चय $W$ का सदस्य है $\implies \mathbf{'E' \in W}$ सत्य (True) है।
• अक्षर 'Z' शब्द में कहीं भी उपस्थित नहीं है $\implies \mathbf{'Z' \in W}$ असत्य (False) है (सही कथन 'Z' $\notin W$ होगा)। [1 अंक]

उदाहरण 3

विस्तृत समाधान / उत्तर:

हल:
चरण 1: समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिखना एवं गणन संख्या ज्ञात करना:
• समुच्चय $A$: प्राकृत संख्याएं जिनका वर्ग 9 से छोटा या बराबर हो ($1^2=1, 2^2=4, 3^2=9$):
$A = \{1, 2, 3\} \implies n(A) = 3$
• समुच्चय $B$: $B = \{1, 2, 3\} \implies n(B) = 3$
• समुच्चय $C$: $C = \{a, b, c\} \implies n(C) = 3$

(a) समुच्चयों $A$ और $B$ का संबंध:
समुच्चय $A$ और $B$ में ठीक वही और बिल्कुल एक जैसे अवयव हैं ($1, 2, 3$)।
अतः $A$ और $B$ समान समुच्चय (Equal Sets) हैं, अर्थात $$\mathbf{A = B}$$
(चूंकि वे समान हैं, अतः वे स्वतः समतुल्य भी हैं, $A \leftrightarrow B$)। [1 अंक]

(b) समुच्चयों $B$ और $C$ का संबंध:
यहाँ $n(B) = 3$ तथा $n(C) = 3$। दोनों में अवयवों की संख्या बिल्कुल बराबर है ($n(B) = n(C) = 3$), परंतु उनके अवयव पूरी तरह से भिन्न हैं ($B$ में संख्याएं हैं और $C$ में वर्णमाला के अक्षर)।
अतः $B$ और $C$ समतुल्य समुच्चय (Equivalent Sets) हैं, अर्थात $$\mathbf{B \leftrightarrow C}$$ [1 अंक]

(c) क्या $A = C$ सत्य है?
नहीं, $A = C$ असत्य है।
कारण: समान होने के लिए अवयवों का एक जैसा होना अनिवार्य है। यहाँ $1 \in A$ परंतु $1 \notin C$। यद्यपि वे समतुल्य हैं ($n(A) = n(C) = 3$), पर समान कदापि नहीं हैं। [1 अंक]

उदाहरण 4

विस्तृत समाधान / उत्तर:

हल:
(a) गणन संख्या:
समुच्चय $P = \{2, 5, 7\}$ में 3 भिन्न अवयव हैं $\implies \mathbf{n = n(P) = 3}$ [1 अंक]

(b) सूत्रों द्वारा संख्या की गणना:
• कुल उपसमुच्चयों की संख्या $= 2^n = 2^3 = \mathbf{8}$ उपसमुच्चय [0.5 अंक]
• कुल उचित उपसमुच्चयों की संख्या $= 2^n - 1 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = \mathbf{7}$ उपसमुच्चय [0.5 अंक]

(c) सभी 8 उपसमुच्चयों की व्यवस्थित सूची:
उपसमुच्चयों को उनके आकार के अनुसार व्यवस्थित क्रम में सूचीबद्ध करने पर:

शून्य अवयव वाला उपसमुच्चय (रिक्त समुच्चय):

$$\emptyset \text{ अथवा } \{\}$$

(1 उपसमुच्चय)
2. एक-एक अवयव वाले उपसमुच्चय (एकल समुच्चय):

$$\{2\}, \{5\}, \{7\}$$

(3 उपसमुच्चय)
3. दो-दो अवयव वाले उपसमुच्चय:

$$\{2, 5\}, \{2, 7\}, \{5, 7\}$$

(3 उपसमुच्चय)
4. तीनों अवयवों वाला उपसमुच्चय (स्वयं समुच्चय $P$ - अनुचित उपसमुच्चय):

$$\{2, 5, 7\}$$

(1 उपसमुच्चय) [1.5 अंक]

सत्यापन: कुल सूचीबद्ध उपसमुच्चय $= 1 + 3 + 3 + 1 = 8$ उपसमुच्चय (सूत्र $2^3 = 8$ से पूर्णतः सत्यापित)।
(उचित उपसमुच्चय वे सभी 7 उपसमुच्चय हैं, केवल $\{2, 5, 7\}$ को छोड़कर।) [0.5 अंक]

उदाहरण 5

विस्तृत समाधान / उत्तर:

हल:
(a) रोस्टर रूप में निरूपण:
• $A$ = 8 तक की सम प्राकृत संख्याएं $\implies \mathbf{A = \{2, 4, 6, 8\}}$
• $B$ = 12 के सभी गुणनखंड (अपवर्तक) $\implies \mathbf{B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}}$ [1 अंक]

(b) सम्मिलन ($A \cup B$) तथा सर्वनिष्ठ ($A \cap B$) की गणना:
• सम्मिलन ($A \cup B$): $A$ और $B$ के सभी अवयवों को बिना दोहराव के मिलाने पर:
$$\mathbf{A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12\}}$$
• सर्वनिष्ठ ($A \cap B$): दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ अवयव केवल 2, 4, 6 हैं:
$$\mathbf{A \cap B = \{2, 4, 6\}}$$ [1 अंक]

(c) असंयुक्त अथवा अतिव्यापी का परीक्षण:
चूंकि $A \cap B = \{2, 4, 6\} \neq \emptyset$ (इनमें 3 उभयनिष्ठ अवयव विद्यमान हैं), अतः $A$ और $B$ अतिव्यापी समुच्चय (Overlapping Sets) हैं। ये असंयुक्त नहीं हैं। [1 अंक]

(d) गणन संख्या सूत्र का सत्यापन:
• $n(A) = 4$
• $n(B) = 6$
• $n(A \cap B) = 3$
• $n(A \cup B) = 7$
दायाँ पक्ष $= n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 4 + 6 - 3 = 10 - 3 = 7$
बायाँ पक्ष $= n(A \cup B) = 7$
चूँकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष ($7 = 7$), अतः सूत्र पूर्णतः सत्यापित है। [1 अंक]

उदाहरण 6

विस्तृत समाधान / उत्तर:

हल:
(a) रोस्टर रूप एवं गणन संख्याएँ:
• सार्वत्रिक समुच्चय:

$$\mathbf{\xi = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}} \implies n(\xi) = 12$$

• समुच्चय $X$ (12 के गुणनखंड जो $\xi$ में हैं):

$$\mathbf{X = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}} \implies n(X) = 6$$

• समुच्चय $Y$ (3 के गुणज जो $\le 12$ हैं):

$$\mathbf{Y = \{3, 6, 9, 12\}} \implies n(Y) = 4$$

[1 अंक]

(b) $X \cup Y$ तथा $X \cap Y$ की गणना:
• सम्मिलन ($X \cup Y$):

$$\mathbf{X \cup Y = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12\}} \implies n(X \cup Y) = 7$$

• सर्वनिष्ठ ($X \cap Y$): दोनों में उभयनिष्ठ अवयव 3, 6, 12 हैं:

$$\mathbf{X \cap Y = \{3, 6, 12\}} \implies n(X \cap Y) = 3$$

[1 अंक]

(c) उपसमुच्चय संबंध का सत्यापन:
समुच्चय $X \cap Y = \{3, 6, 12\}$ के अवयव:
• 3, 6, 12 तीनों समुच्चय $X$ में उपस्थित हैं $\implies \mathbf{(X \cap Y) \subseteq X}$ सिद्ध हुआ।
• 3, 6, 12 तीनों समुच्चय $Y$ में भी उपस्थित हैं $\implies \mathbf{(X \cap Y) \subseteq Y}$ सिद्ध हुआ। [1 अंक]

(d) $X \cap Y$ के उचित उपसमुच्चयों की संख्या:
समुच्चय $X \cap Y$ में अवयवों की संख्या $k = 3$ है।
उचित उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र $= 2^k - 1$
अतः उचित उपसमुच्चय $= 2^3 - 1 = 8 - 1 = \mathbf{7}$ उचित उपसमुच्चय। [1 अंक]

(e) वेन आरेख में क्षेत्रों का सटीक विभाजन:
आयत $\xi$ के भीतर दो प्रतिच्छेदी वृत्त $X$ और $Y$ खींचे जाएंगे:

उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन क्षेत्र ($X \cap Y$): इसमें अवयव $\{3, 6, 12\}$ लिखे जाएंगे।
केवल $X$ का क्षेत्र ($X$ में से उभयनिष्ठ घटाकर): अवयव $\{1, 2, 4\}$ लिखे जाएंगे।
केवल $Y$ का क्षेत्र ($Y$ में से उभयनिष्ठ घटाकर): अवयव $\{9\}$ लिखा जाएगा।
वृत्तों के बाहर आयत के भीतर का क्षेत्र ($\{X \cup Y\}$ से बाहर $\xi$ के शेष अवयव): $\{5, 7, 8, 10, 11\}$ लिखे जाएंगे। [1 अंक]
(जांच: 3 + 3 + 1 + 5 = 12 अवयव, जो संपूर्ण सार्वत्रिक समुच्चय $\xi$ को पूर्ण करते हैं।)

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

समुच्चय का निर्माण करने वाली वस्तुओं को उसके अवयव या सदस्य कहते हैं, जिन्हें सदस्यता प्रतीकों एप्सिलॉन (सदस्य है) तथा कटे हुए एप्सिलॉन (सदस्य नहीं है) से दर्शाया जाता है।

मुख्य बिंदु 3

समुच्चय के दो आधारभूत स्वर्णिम नियम हैं: अनावृत्ति का नियम (दोहराए गए अवयव हटा दिए जाते हैं) तथा क्रम अपरिवर्तनीयता का नियम (अवयवों का क्रम अर्थहीन होता है)।

मुख्य बिंदु 4

समुच्चयों को निरूपित करने की तीन मानक विधियाँ हैं: विवरण रूप (वाक्य द्वारा), रोस्टर रूप (मँझले कोष्ठक में अल्पविराम सहित सूची), तथा समुच्चय निर्माण रूप (नियम विधि: x : शर्त)।

मुख्य बिंदु 5

किसी परिमित समुच्चय में उपस्थित भिन्न-भिन्न अवयवों की कुल संख्या को उसकी गणन संख्या n(A) कहा जाता है।

मुख्य बिंदु 6

जिस समुच्चय में कोई अवयव न हो उसे रिक्त समुच्चय (phi अथवा { }, n = 0) कहते हैं; ठीक एक अवयव वाले समुच्चय को एकल समुच्चय (n = 1) कहते हैं।

मुख्य बिंदु 7

परिमित समुच्चय में अवयवों की गिनती सीमित होती है (n पूर्ण संख्या है), जबकि अपरिमित समुच्चय में अवयव असीमित होते हैं जिन्हें तीन बिंदुओं (...) द्वारा दर्शाया जाता है।

मुख्य बिंदु 8

समतुल्य समुच्चयों की गणन संख्या समान होती है (n(A) = n(B)), जबकि समान समुच्चयों के सभी अवयव बिल्कुल एक जैसे होते हैं; सभी समान समुच्चय समतुल्य होते हैं परंतु विलोम सत्य नहीं है।

मुख्य बिंदु 9

यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव B में हो, तो A, B का उपसमुच्चय (A subseteq B) कहलाता है; n अवयवों वाले समुच्चय के कुल 2^n उपसमुच्चय तथा 2^n - 1 उचित उपसमुच्चय होते हैं।

मुख्य बिंदु 10

वेन आरेख में सार्वत्रिक समुच्चय (U अथवा जाइ) को एक बड़े आयत द्वारा तथा उसके उपसमुच्चयों को आयत के भीतर वृत्तों द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

बताइए कि क्या '11 से विभाज्य दो अंकों की सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह' एक समुच्चय है? यदि हाँ, तो इसे रोस्टर रूप में लिखिए तथा इसकी गणन संख्या बताइए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: हाँ, यह एक पूर्णतः सुपरिभाषित समुच्चय है। रोस्टर रूप में: S = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}। इसकी गणन संख्या n(S) = 9 है।
संख्याएं 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 हैं।

यदि A = {x : x एक अभाज्य संख्या है तथा x < 10} और B = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है तथा x < 10}, तो n(A), n(B) ज्ञात कीजिए और बताइए कि क्या A और B समतुल्य हैं?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: A = {2, 3, 5, 7} => n(A) = 4। B = {1, 3, 5, 7, 9} => n(B) = 5। चूंकि n(A) = 4 != 5 = n(B), अतः समुच्चय A और B समतुल्य नहीं हैं।
अभाज्य संख्याएं: {2, 3, 5, 7}। विषम प्राकृत संख्याएं: {1, 3, 5, 7, 9}।

समुच्चय P = {x, y} के सभी उपसमुच्चय लिखिए। समुच्चय P के कितने उचित उपसमुच्चय हैं?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: समुच्चय P के सभी उपसमुच्चय हैं: phi, {x}, {y}, तथा {x, y}। उचित उपसमुच्चयों की संख्या = 2^2 - 1 = 3 (अर्थात phi, {x}, तथा {y})।
यहाँ n = 2 है। कुल उपसमुच्चय = 2^2 = 4।

निम्नलिखित समुच्चयों को परिमित अथवा अपरिमित में वर्गीकृत कीजिए: (a) 8 के सभी गुणजों (अपवर्त्यों) का समुच्चय। (b) संख्या 48 के सभी गुणनखंडों (अपवर्तकों) का समुच्चय।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: (a) 8 के गुणज = {8, 16, 24, 32, ...} एक अपरिमित समुच्चय है। (b) 48 के गुणनखंड = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} की गणन संख्या n = 10 है, अतः यह एक परिमित समुच्चय है।
गुणज अंतहीन चलते रहते हैं; जबकि गुणनखंड संख्या 48 से सीमित होते हैं।

यदि X = {a, b, c, d} और Y = {c, d, e, f} हों, तो ज्ञात कीजिए: (a) X union Y तथा (b) X intersection Y।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: (a) X union Y = {a, b, c, d, e, f}। (b) X intersection Y = {c, d}।
सम्मिलन में सभी अवयवों को मिलाते हैं; सर्वनिष्ठ में केवल उभयनिष्ठ अवयव {c, d} लेते हैं।

क्या समुच्चय A = {x : x शब्द 'FOLLOW' का एक अक्षर है} तथा B = {x : x शब्द 'WOLF' का एक अक्षर है} समान समुच्चय हैं? कारण सहित स्पष्ट कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: शब्द 'FOLLOW' के अद्वितीय अक्षर = {F, O, L, W} हैं। शब्द 'WOLF' के अक्षर = {W, O, L, F} हैं। चूंकि दोनों समुच्चयों में बिल्कुल वही समान अवयव हैं (क्रम बदलने से कोई अंतर नहीं पड़ता), अतः A = B (ये समान समुच्चय हैं)।
दोनों को दोहराए गए अक्षर हटाकर रोस्टर रूप में लिखिए।

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