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Class 8
Mathematics
अध्याय 12: बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions)

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ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 12

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions)

आईसीएसई कक्षा 8 गणित में, "बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ" बीजगणितीय अभिव्यक्तियों की शब्दावली, संचालन और बहुपद अंकगणित की जांच करने वाला एक आधिकारिक, गणितीय रूप से कठोर मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय बुनियादी अवधारणाओं (स्थिरांक, चर, पद, संख्यात्मक और शाब्दिक गुणांक; समान पद बनाम असमान पद; एक चर और बहु-चर में एक बहुपद की डिग्री), बहुपदों का वर्गीकरण (एकपद, द्विपद, त्रिपद, बहुपद), बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का जोड़ और घटाव (स्तंभ / ऊर्ध्वाधर विधि और क्षैतिज विधि; संकेत परिशुद्धता के साथ समान पदों का समूहन) की पड़ताल करता है। बीजीय व्यंजकों का गुणन (1. एकपदी को एकपदी से: संख्यात्मक गुणांकों को गुणा करें और घातांक के गुणनफल नियम को अक्षरशः पर लागू करें, 2. एकपदी से बहुपद: वितरण नियम $a(b + c + d) = ab + ac + ad$, 3. बहुपद को बहुपद से: पहले बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना और समान पदों को संयोजित करना; द्विपद को द्विपद से और त्रिपद को त्रिपद से। विस्तार), बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का विभाजन (1. एकपदी द्वारा एकपदी, 2. एकपदी द्वारा बहुपद: प्रत्येक पद को व्यक्तिगत रूप से विभाजित करना, 3. बहुपद द्वारा बहुपद: दीर्घ विभाजन एल्गोरिथ्म; चर की मानक अवरोही शक्तियों में बहुपद लिखना; भागफल और शेष सत्यापन: $\text{Dividend} = \text{Divisor} \times \text{Quotient} + \text{Remainder}$), और 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई के साथ संरेखित प्रतिस्थापन द्वारा अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन पाठ्यक्रम.

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एक मध्यकालीन फ़ारसी विद्वान की पुस्तक "टूटे हुए संतुलन को बहाल करना" ने मानवता को डिजिटल एल्गोरिदम की सार्वभौमिक भाषा कैसे दी?

9वीं शताब्दी में बगदाद में, गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी हाउस ऑफ विजडम में बैठकर एक क्रांतिकारी पांडुलिपि लिख रहे थे जिसका शीर्षक था अल-किताब अल-मुख्तासर फी हिसाब अल-जबर वल-मुकाबला. अरबी शब्द अल-जब्र का अर्थ है "टूटे हुए हिस्सों का पुनर्मिलन" या "हड्डियाँ जोड़ना" - शब्दों को एक तरफ से दूसरी तरफ स्थानांतरित करके टूटे हुए समीकरण में संतुलन बहाल करना! उस शब्द अल-जबर से दुनिया को बीजगणित मिला, और अल-ख्वारिज्मी के नाम से हमें एल्गोरिथम मिला! बीजगणित ने कठोर अंकगणित को लचीले प्रतीकों से बदल दिया: "5 सेब" या "10 सेब" के लिए एक समस्या को हल करने के बजाय, हम $x$ के लिए हल करते हैं, एक शाश्वत सत्य की खोज करते हैं जो पांच, पांच अरब या अनंत सेबों के लिए काम करता है! $5x^3y^4$ जैसे बहु-चर पद की डिग्री क्या है? दीर्घ विभाजन शुरू करने से पहले बहुपदों को अवरोही घातों में सख्ती से क्यों व्यवस्थित किया जाना चाहिए? आइए बीजीय व्यंजकों में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ सभी एसटीईएम विषयों का सार्वभौमिक प्रतीकात्मक कोड हैं: कंप्यूटर सॉफ्टवेयर एल्गोरिदम, इंजीनियरिंग वायुगतिकी, वित्तीय अर्थमिति और गति के भौतिकी समीकरण लिखना। बहुपद गुणन और दीर्घ विभाजन में महारत हासिल करना ICSE गणित का एक अनिवार्य स्तंभ है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

पूर्णांकों पर संचालन ($+$ और $-$ के लिए चिह्नों के नियम)।
कक्षा 7 से मूल बीजगणितीय पद और समान पद।
घातांक के नियम (उत्पाद कानून) $x^a \times x^b = x^{a+b}$).

इस अध्याय के लक्ष्य

पदों, गुणांकों, समान/विपरीत पदों की पहचान करें, और किसी भी बहुपद की डिग्री निर्धारित करें।
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों स्तंभ विधियों का उपयोग करके जटिल बहुपदों को जोड़ें और घटाएं।
वितरण का उपयोग करके बहुपदों को गुणा करें (द्विपद को द्विपद, त्रिपद को त्रिपद से) कानून.
एक बहुपद को एकपदी से विभाजित करें और शेषफलों के साथ बहुपद दीर्घ विभाजन निष्पादित करें।
विभाजन एल्गोरिदम सत्यापित करें: $\text{Dividend} = \text{Divisor} \times \text{Quotient} + \text{Remainder}$.
संख्यात्मक मान प्रतिस्थापन द्वारा बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. बहुपदों के मूल सिद्धांत और वर्गी...

2 2. बहुपदों का जोड़ और घटाव

3 3. बहुपदों का गुणन

4 4. बहुपद दीर्घ प्रभाग एल्गोरिथम

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. बहुपदों के मूल सिद्धांत और वर्गीकरण

2. बहुपदों का जोड़ और घटाव

3. बहुपदों का गुणन

4. बहुपद दीर्घ प्रभाग एल्गोरिथम

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

बहुपद विभाजन एल्गोरिथ्म

$$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x) \quad [\deg R(x) < \deg D(x)]$$

लाभांश = भाजक x भागफल + शेषफल।

बहु-चर पद डिग्री

$$\deg(a x^p y^q z^r) = p + q + r$$

एकपदी पद में सभी चरों के घातांकों का योग।

बीजगणित: बहु-चर पद शरीर रचना और दीर्घ प्रभाग

³ y⁴ • Numerical Coefficient: -7 • Literal Variables: x³ and y⁴ • Degree of Term: 3 + 4 = 7 (Sum of powers!) • Like Terms: Same variables with same powers (Add/Sub) • Unlike Terms: Cannot be combined! POLYNOMIAL LONG DIVISION Dividend = Divisor × Quotient + Remainder 1. Arrange in Descending Powers: x³ → x² → x → Constant 2. Subtract Step: FLIP ALL SIGNS! (+ becomes - and - becomes +) 3. Stop when: Degree of Remainder < Degree of Divisor ONLY LIKE TERMS CAN BE ADDED • MULTIPLY POWERS ADD • DIVIDEND = DIVISOR × Q + R

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति अंकगणितीय संक्रियाओं (+, -, *, /) का उपयोग करके स्थिरांक और चर को जोड़ती है।

मुख्य बिंदु 2

केवल समान पद (समान चर और घातांक) को जोड़ा या घटाया जा सकता है।

मुख्य बिंदु 3

एक चर में बहुपद की डिग्री उच्चतम घातांक है; अनेक चरों में, यह किसी एक पद में घातांकों का उच्चतम योग है।

मुख्य बिंदु 4

किसी व्यंजक को घटाते समय, घटाए गए व्यंजक के अंदर प्रत्येक पद के चिह्न को पलटें।

मुख्य बिंदु 5

एकपदी को संख्यात्मक गुणांकों को गुणा करके और समान चर की शक्तियों को जोड़कर गुणा किया जाता है।

मुख्य बिंदु 6

बहुपद गुणन वितरण नियम लागू करता है: पहले बहुपद में प्रत्येक पद दूसरे में प्रत्येक पद को गुणा करता है।

मुख्य बिंदु 7

बहुपद दीर्घ विभाजन में, हमेशा लाभांश की व्यवस्था करें और चर की अवरोही शक्तियों में विभाजक।

मुख्य बिंदु 8

लंबे विभाजन के प्रत्येक घटाव चरण में, नीचे के पदों के संकेतों को उलटा करें।

मुख्य बिंदु 9

विभाजन एल्गोरिदम: लाभांश = भाजक * भागफल + शेष।

मुख्य बिंदु 10

किसी अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करने के लिए, चर के लिए दिए गए संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करें और संचालन के क्रम (PEMDAS) का पालन करें।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

$(2x^3 - 4x^2 + 3x + 5)$ को घटाएं। $(4x^3 + x^2 - 2x + 7)$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: घटाव सेट करें: $(\text{Second Expression}) - (\text{First Expression})$:
$$(4x^3 + x^2 - 2x + 7) - (2x^3 - 4x^2 + 3x + 5)$$
चरण 2: घटाए गए अभिव्यक्ति में प्रत्येक पद का चिह्न बदलकर कोष्ठक हटाएं:
$$= 4x^3 + x^2 - 2x + 7 - 2x^3 + 4x^2 - 3x - 5$$
चरण 3: समूह बनाएं और इस तरह संयोजित करें शर्तें:
$$= (4x^3 - 2x^3) + (x^2 + 4x^2) + (-2x - 3x) + (7 - 5)$$
$$= \mathbf{2x^3 + 5x^2 - 5x + 2}$$.
घटाए गए अभिव्यक्ति के संकेत बदलें: $(4x^3 - 2x^3) + (x^2 + 4x^2) + (-2x - 3x) + (7 - 5) = 2x^3 + 5x^2 - 5x + 2$.

गुणा करें: $(3x^2 - 5x + 2)$ को $(2x - 3)$ से.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: वितरण नियम लागू करें:
$$(2x - 3)(3x^2 - 5x + 2) = 2x(3x^2 - 5x + 2) - 3(3x^2 - 5x + 2)$$
चरण 1: से गुणा करें $2x$:
$$2x(3x^2) - 2x(5x) + 2x(2) = 6x^3 - 10x^2 + 4x$$
चरण 2: $-3$ से गुणा करें:
$$-3(3x^2) - 3(-5x) - 3(2) = -9x^2 + 15x - 6$$
चरण 3: सभी पदों को संयोजित करें:
$$= 6x^3 + (-10x^2 - 9x^2) + (4x + 15x) - 6$$
$$= \mathbf{6x^3 - 19x^2 + 19x - 6}$$.
विस्तार $2x(3x^2 - 5x + 2) - 3(3x^2 - 5x + 2) = 6x^3 - 10x^2 + 4x - 9x^2 + 15x - 6 = 6x^3 - 19x^2 + 19x - 6$.

लॉन्ग डिवीजन विधि का उपयोग करके $(2x^2 + 11x + 15)$ को $(x + 3)$ से विभाजित करें। भागफल और शेषफल बताएं।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: पहले पद को विभाजित करें: $\frac{2x^2}{x} = 2x$। भाजक $(x + 3)$ को $2x$ से गुणा करें: $2x^2 + 6x$.
$(2x^2 + 11x)$ से घटाएं: $(2x^2 + 11x) - (2x^2 + 6x) = 5x$.
चरण 2: $+15$ को नीचे लाकर $5x + 15$.
बनाएं चरण 3: विभाजित करें: $\frac{5x}{x} = 5$. भाजक $(x + 3)$ को $5$ से गुणा करें: $5x + 15$.
घटाना: $(5x + 15) - (5x + 15) = 0$.
• भागफल:

$$\mathbf{2x + 5}$$

• शेष:

$$\mathbf{0}$$

• सत्यापन: $(x + 3)(2x + 5) + 0 = 2x^2 + 5x + 6x + 15 = 2x^2 + 11x + 15$. सही!

पहला भागफल पद $2x$ है, दूसरा $+5$ है। भागफल $2x + 5$ है, शेषफल $0$ है।

बहुपद की घात क्या है: $3x^4y^2 - 5x^2y^5 + 7x^3y^3 - 12$?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

उस पद में चरों की घातों का योग करके प्रत्येक पद की घात की गणना करें:
• पद 1 ($3x^4y^2$): $4 + 2 = 6$
• पद 2 ($-5x^2y^5$): $2 + 5 = \mathbf{7}$
• पद 3 ($7x^3y^3$): $3 + 3 = 6$
• पद 4 ($-12$): स्थिर पद की घात $0$ होती है।
एक बहुपद की घात इसके सभी पदों में से उच्चतम घात होती है।
• बहुपद की घात:

$$\mathbf{7}$$

शब्द $-5x^2y^5$ का घातांक योग $2 + 5 = 7$ है, जो कि उच्चतम है।

सरलीकृत करें: $2x - [3y - \{2x - (y - x)\}]$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: अंतरतम कोष्ठकों से बाहर की ओर काम करें:
चरण 1: कोष्ठकों को हटा दें $(y - x)$:
$$y - x \implies 2x - (y - x) = 2x - y + x = 3x - y$$
चरण 2: घुंघराले ब्रेसिज़ में रखें $\{ \}$:
$$3y - \{3x - y\} = 3y - 3x + y = 4y - 3x$$
चरण 3: वर्गाकार कोष्ठकों में रखें $[ \]$:
$$2x - [4y - 3x] = 2x - 4y + 3x = \mathbf{5x - 4y}$$.
अंदर: $2x - y + x = 3x - y$। अगला: $3y - 3x + y = 4y - 3x$. अंतिम: $2x - 4y + 3x = 5x - 4y$.

यदि $x = 2$ और $y = -1$, तो अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करें: $3x^2y - 2xy^2 + 4xy - 5$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: विकल्प $x = 2$ और $y = -1$:
$$= 3(2)^2(-1) - 2(2)(-1)^2 + 4(2)(-1) - 5$$
$$= 3(4)(-1) - 2(2)(1) + 4(-2) - 5$$
$$= -12 - 4 - 8 - 5 = \mathbf{-29}$$।
$3(4)(-1) - 2(2)(1) + 4(-2) - 5 = -12 - 4 - 8 - 5 = -29$.

$(2x^3 + x^2 - 4x + 6)$ प्राप्त करने के लिए $(x^3 - 3x^2 + 5x - 2)$ में क्या जोड़ा जाना चाहिए?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: जोड़े जाने वाले आवश्यक अभिव्यक्ति को $P$ होने दें।
$$(x^3 - 3x^2 + 5x - 2) + P = (2x^3 + x^2 - 4x + 6)$$
$$P = (2x^3 + x^2 - 4x + 6) - (x^3 - 3x^2 + 5x - 2)$$
$$P = 2x^3 + x^2 - 4x + 6 - x^3 + 3x^2 - 5x + 2$$
जैसे संयोजित करें शर्तें:
$$P = (2x^3 - x^3) + (x^2 + 3x^2) + (-4x - 5x) + (6 + 2)$$
$$\mathbf{P = x^3 + 4x^2 - 9x + 8}$$.
पहले को दूसरे से घटाएं: $(2x^3 - x^3) + (x^2 + 3x^2) + (-4x - 5x) + (6 + 2) = x^3 + 4x^2 - 9x + 8$.

लंबे विभाजन का उपयोग करके $(x^3 - 1)$ को $(x - 1)$ से विभाजित करें और दिखाएं कि शेष $0$ है।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

$x^3 - 1$ को स्थान-धारक शून्य शब्दों के साथ अवरोही क्रम में लिखें: $x^3 + 0x^2 + 0x - 1$.
चरण 1: $\frac{x^3}{x} = x^2$. $(x - 1)$ को $x^2$ से गुणा करें: $x^3 - x^2$.
घटाएँ: $(x^3 + 0x^2) - (x^3 - x^2) = x^2$.
चरण 2: $x^2 + 0x$ प्राप्त करने के लिए $0x$ को नीचे लाएँ। $\frac{x^2}{x} = x$. $(x - 1)$ को $x$ से गुणा करें: $x^2 - x$.
घटाएँ: $(x^2 + 0x) - (x^2 - x) = x$.
चरण 3: $x - 1$ प्राप्त करने के लिए $-1$ को नीचे लाएँ। $\frac{x}{x} = 1$. $(x - 1)$ को $1$ से गुणा करें: $x - 1$.
घटाएं: $(x - 1) - (x - 1) = 0$.
• भागफल:

$$\mathbf{x^2 + x + 1}$$

• शेष:

$$\mathbf{0}$$

प्लेसहोल्डर शून्य शब्दों का उपयोग करें $x^3 + 0x^2 + 0x - 1$. भागफल $x^2 + x + 1$ है, शेषफल 0 है।

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फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स