माध्यम चुनें / Select Medium:

ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 21

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

घेरा (Circle)

आईसीएसई कक्षा 8 के गणित में, "सर्कल" एक आधिकारिक, ज्यामितीय रूप से कठोर मास्टर अध्ययन मार्गदर्शिका प्रदान करता है जो वृत्तों की ज्यामिति, वृत्ताकार घटकों, कोण गुणों, तार प्रमेय और वृत्त निर्माण की जांच करता है। यह व्यापक अध्याय मौलिक शब्दावली (केंद्र $O$, त्रिज्या $r$, व्यास $d = 2r$, परिधि $C = 2\pi r$; आंतरिक, सीमा और बाहरी क्षेत्र), वृत्ताकार रेखाएं और खंड (सेकेंट: एक वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटने वाली एक सीधी रेखा; स्पर्शरेखा: एक वृत्त को बिल्कुल एक बिंदु पर छूने वाली एक सीधी रेखा को संपर्क बिंदु कहा जाता है; तार: किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा खंड) की खोज करती है। परिधि पर सबसे लंबी जीवा के रूप में; संकेंद्रित वृत्त: समान केंद्र साझा करने वाले लेकिन अलग-अलग त्रिज्या वाले वृत्त; समान त्रिज्या वाले वृत्त), वृत्ताकार चाप और क्षेत्र (चाप: परिधि का निरंतर भाग; लघु चाप बनाम प्रमुख चाप; अर्धवृत्त: एक व्यास द्वारा अंतरित अर्ध-परिधि; केंद्रीय कोण $\theta$; क्षेत्र: दो त्रिज्या और अंतःखंडित चाप से घिरा क्षेत्र; लघु क्षेत्र बनाम प्रमुख) सेक्टर; खंड: एक जीवा और उसके अंतःखंडित चाप से घिरा क्षेत्र; लघु खंड बनाम प्रमुख खंड), एक वृत्त की जीवा पर मौलिक प्रमेय: 1. एक वृत्त के केंद्र से एक जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है ($OM \perp AB \implies AM = MB = \frac{AB}{2}$), 2. एक जीवा के केंद्र को मध्य बिंदु से जोड़ने वाली रेखा जीवा के लंबवत होती है, 3. समान जीवाएं केंद्र से समान दूरी पर होती हैं ($AB = CD \implies OM = ON$), 4. केंद्र से समदूरस्थ जीवाएं लंबाई में बराबर होती हैं, 5. अर्धवृत्त प्रमेय (अर्धवृत्त में व्यास द्वारा अंतरित कोण पूरी तरह से एक समकोण होता है: $\angle ACB = 90^{\circ}$), और कम्पास और रूलर का उपयोग करके वृत्त निर्माण 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित होते हैं।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें

प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

दुनिया में हर मैनहोल कवर का आकार वर्ग के बजाय वृत्त जैसा क्यों होता है?

लंदन, टोक्यो या न्यूयॉर्क में किसी भी शहर की सड़क पर चलें, और सड़क पर भारी कच्चे लोहे के मैनहोल कवर को देखें। हर एक एक पूर्ण वृत्त है! क्या तुमने कभी सोचा है क्यों? यदि मैनहोल कवर एक वर्गाकार होता, तो एक रखरखाव कर्मचारी इसे तिरछे झुका सकता था और गलती से इसे छेद के ठीक नीचे गिरा सकता था - क्योंकि एक वर्ग का विकर्ण उसके किनारे से $\sqrt{2} \approx 1.414$ गुना चौड़ा होता है! लेकिन सर्कल का हर एक दिशा में एक स्थिर व्यास ($d = 2r$) होता है! एक गोलाकार मैनहोल कवर का अपने ही गोलाकार छेद से गिरना गणितीय रूप से असंभव है, चाहे इसे कैसे भी घुमाया जाए! संपूर्ण गणित में वृत्त सबसे सममित और सामंजस्यपूर्ण आकार हैं: परिधि पर प्रत्येक बिंदु केंद्र से बिल्कुल समान दूरी $r$ पर बैठता है। यदि आप केंद्र से किसी जीवा पर एक लंब रेखा गिराते हैं तो क्या होता है? अर्धवृत्त में अंकित कोण हमेशा बिल्कुल $90^{\circ}$ क्यों होता है? आइए सर्कल पर महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

वृत्त इंजीनियरिंग यांत्रिकी (पहिए, गियर, बॉल बेयरिंग, फ्लाईव्हील), आकाशीय कक्षीय गतिशीलता (ग्रहीय गति, उपग्रह कक्षाएँ), दूरसंचार रडार स्वीप और वास्तुकला (गुंबद, मेहराब) के लिए मौलिक हैं। आईसीएसई कक्षा 8, 9, और 10 यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए वृत्त प्रमेय और जीवा विभाजन में महारत हासिल करना आवश्यक है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

बुनियादी ज्यामितीय शब्द: बिंदु, रेखा खंड, कोण।
पाइथागोरस प्रमेय ($a^2 + b^2 = c^2$).
वृत्त की परिधि ($C = 2\pi r$).

इस अध्याय के लक्ष्य

परिभाषित करें वृत्त, त्रिज्या, व्यास, जीवा, छेदक, स्पर्शरेखा और संकेंद्रित वृत्त।
छोटे/बड़े चापों, सेक्टरों और खंडों के बीच अंतर करें।
पाइथागोरस प्रमेय के साथ जीवा द्विभाजन प्रमेय ($OM \perp AB \implies AM = MB$) को लागू करें।
प्रमेय लागू करें: समान जीवाएं समान दूरी पर होती हैं केंद्र.
अर्धवृत्त समकोण प्रमेय ($\angle ACB = 90^{\circ}$) का उपयोग करें.
समकोण त्रिभुज संबंधों का उपयोग करके जीवा की लंबाई, लंबवत दूरियां और त्रिज्या की गणना करें.

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. वृत्त की शारीरिक रचना: रेखाएँ, क...

2 2. मौलिक तार प्रमेय

3 3. समकोण त्रिभुज मीट्रिक: $r^2 = d^...

4 4. अर्धवृत्त समकोण प्रमेय

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. वृत्त की शारीरिक रचना: रेखाएँ, क्षेत्र और सेक्टर

2. मौलिक तार प्रमेय

3. समकोण त्रिभुज मीट्रिक: $r^2 = d^2 + (c/2)^2$

4. अर्धवृत्त समकोण प्रमेय

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

पायथागॉरियन तार-त्रिज्या नियम

$$r^2 = OM^2 + AM^2 = d^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2$$

त्रिज्या r, तार की लंबाई c, और दूरी d को जोड़ता है।

अर्धवृत्त में कोण

$$\angle ACB = 90^{\circ} \quad [AB \text{ is diameter}]$$

कर्ण के रूप में व्यास वाले अर्धवृत्त में अंकित कोई भी त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

ज्यामिति: तार लम्ब समद्विभाजक और अर्धवृत्त प्रमेय

² = d² + (AB/2)² (Pythagoras Theorem!) ANGLE IN A SEMICIRCLE IS 90° A B O C ∠ACB = 90° (Right Angle!) Hypotenuse is always the diameter AB PERPENDICULAR FROM CENTER BISECTS CHORD • r^2 = d^2 + (c/2)^2 • ∠ IN SEMICIRCLE = 90°

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

एक वृत्त केंद्र O से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का समतलीय स्थान है।

मुख्य बिंदु 2

व्यास सबसे लंबी जीवा है: d = 2r.

मुख्य बिंदु 3

एक छेदक एक वृत्त को दो बिंदुओं पर काटता है; एक स्पर्शरेखा ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करती है।

मुख्य बिंदु 4

एक त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है; एक खंड एक जीवा और एक चाप से घिरा है।

मुख्य बिंदु 5

केंद्र से जीवा पर डाली गई लंबवत रेखा जीवा को समद्विभाजित करती है: AM = MB.

मुख्य बिंदु 6

जीवाओं के लिए पायथागॉरियन संबंध: r^2 = d^2 + (c/2)^2.

मुख्य बिंदु 7

एक वृत्त में समान जीवाएं समान दूरी पर होती हैं केंद्र.

मुख्य बिंदु 8

किसी व्यास द्वारा अंतरित अर्धवृत्त में अंकित कोण हमेशा 90 डिग्री होता है.

मुख्य बिंदु 9

संकेंद्रित वृत्तों का केंद्र समान होता है लेकिन उनकी त्रिज्याएँ अलग-अलग होती हैं।

मुख्य बिंदु 10

छोटी जीवाओं की तुलना में लंबी जीवाएं केंद्र के करीब होती हैं।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

$24\text{ cm}$ लंबाई वाली एक जीवा एक वृत्त के केंद्र से $5\text{ cm}$ की दूरी पर होती है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: केंद्र से लंब जीवा को समद्विभाजित करता है:

$$AM = \frac{AB}{2} = \frac{24\text{ cm}}{2} = 12\text{ cm}$$

चरण 2: केंद्र से दूरी $OM = 5\text{ cm}$.
चरण 3: समकोण त्रिभुज $\triangle OMA$ में, पाइथागोरस द्वारा प्रमेय:

$$OA^2 = OM^2 + AM^2$$

$$r^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$

$$r = \sqrt{169} = \mathbf{13\text{ cm}}$$

.
वृत्त की त्रिज्या $13\text{ cm}$ है.

$r^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \implies r = 13\text{ cm}$.

वृत्त की त्रिज्या $17\text{ cm}$ है. एक जीवा की लंबाई ज्ञात करें जो केंद्र से $8\text{ cm}$ की दूरी पर है।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: मान लीजिए कि जीवा $AB$ है और केंद्र से इसकी दूरी $OM = 8\text{ cm}$ है, त्रिज्या $r = 17\text{ cm}$ है।
चरण 2: दाईं ओर $\triangle OMA$:
$$AM^2 = OA^2 - OM^2$$
$$AM^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$$
$$AM = \sqrt{225} = 15\text{ cm}$$
चरण 3: चूंकि $OM$ $AB$ को समद्विभाजित करता है, इसलिए जीवा की पूरी लंबाई है:
$$AB = 2 \times AM = 2 \times 15 = \mathbf{30\text{ cm}}$$.
$AM = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15\text{ cm}$. जीवा $AB = 2 \times 15 = 30\text{ cm}$.

त्रिज्या $5\text{ cm}$, $AB$ और $CD$ के एक वृत्त में क्रमशः $8\text{ cm}$ और $6\text{ cm}$ लंबाई की दो समानांतर जीवाएँ हैं। यदि जीवाएं निम्न पर स्थित हों तो उनके बीच की दूरी की गणना करें: (ए) केंद्र की विपरीत दिशा में, (बी) केंद्र की एक ही तरफ।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: केंद्र से प्रत्येक जीवा की दूरी की गणना करें $O$:
• जीवा का आधा भाग $AB = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}$। दूरी $d_1 = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = \mathbf{3\text{ cm}}$.
• जीवा का आधा हिस्सा $CD = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}$. दूरी $d_2 = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = \mathbf{4\text{ cm}}$.

• (ए) केंद्र के विपरीत तरफ की जीवाएं:

$$\text{Distance between chords} = d_1 + d_2 = 3 + 4 = \mathbf{7\text{ cm}}$$

§

• (बी) केंद्र के एक ही तरफ की जीवाएं:

$$\text{Distance between chords} = d_2 - d_1 = 4 - 3 = \mathbf{1\text{ cm}}$$

$d_1 = \sqrt{25 - 16} = 3\text{ cm}$, $d_2 = \sqrt{25 - 9} = 4\text{ cm}$. विपरीत भुजाएँ: $3 + 4 = 7\text{ cm}$. समान भुजा: $4 - 3 = 1\text{ cm}$.

$AB$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त का व्यास है। $C$ वृत्त पर एक बिंदु है जैसे $AC = 7\text{ cm}$ और $BC = 24\text{ cm}$। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: अर्धवृत्त प्रमेय के अनुसार, व्यास द्वारा अंतरित कोण एक समकोण है:
$$\angle ACB = 90^{\circ}$$
चरण 2: त्रिभुज $\triangle ABC$ कर्ण $AB$ (व्यास) के साथ एक समकोण त्रिभुज है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
$$AB^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$
$$AB = \sqrt{625} = 25\text{ cm}$$
चरण 3: त्रिज्या की गणना करें:
$$\text{Radius } r = \frac{\text{Diameter } AB}{2} = \frac{25}{2} = \mathbf{12.5\text{ cm}}$$.
$\\angle ACB = 90^{\\circ}$. व्यास $AB = \\sqrt{7^2 + 24^2} = 25\text{ cm}$. त्रिज्या $= 25 / 2 = 12.5\text{ cm}$.

एक वृत्त के एक सेक्टर और एक वृत्त के एक खंड के बीच अंतर करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• सेक्टर: दो त्रिज्याओं और उनके बीच चाप से घिरा क्षेत्र (दो रेखा खंडों और एक घुमावदार चाप से घिरा हुआ, एक पाई स्लाइस की तरह)।
• खंड: क्षेत्र एक एकल तार और उस तार द्वारा अंतरित चाप से घिरा हुआ (एक सीधी रेखा खंड और एक घुमावदार चाप से घिरा हुआ)।

सेक्टर 2 त्रिज्या और एक चाप से घिरा हुआ है; खंड 1 जीवा और एक चाप से घिरा है।

सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त में दो असमान जीवाओं में, लंबी जीवा केंद्र के करीब होती है।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: मान लीजिए कि जीवाएं $c_1$ और $c_2$ हैं और त्रिज्या $r$.
के एक वृत्त में केंद्र से दूरी $d_1$ और $d_2$ हैं, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$$d_1^2 = r^2 - \left(\frac{c_1}{2}\right)^2 \quad \text{and} \quad d_2^2 = r^2 - \left(\frac{c_2}{2}\right)^2$$
यदि $c_1 > c_2$, तो $\left(\frac{c_1}{2}\right)^2 > \left(\frac{c_2}{2}\right)^2$.
इसमें से एक बड़ी सकारात्मक मात्रा घटाना $r^2$ परिणाम को छोटा बनाता है:
$$d_1^2 < d_2^2 \implies \mathbf{d_1 < d_2}$$
इसलिए, लंबी जीवा $c_1$ छोटी जीवा $c_2$ की तुलना में केंद्र के करीब होती है। साबित हुआ!
चूँकि $d^2 = r^2 - (c/2)^2$, जैसे-जैसे तार $c$ बढ़ता है, दूरी $d$ घटती जाती है।

एक सीधी रेखा किसी वृत्त को अधिकतम कितने बिंदुओं पर काट सकती है? पंक्तियों को नाम दें.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• $0$ अंक: एक बाहरी गैर-प्रतिच्छेदी रेखा।
• $1$ बिंदु: ए स्पर्शरेखा, जो वृत्त को बिल्कुल एक संपर्क बिंदु पर छूती है।
• $2$ बिंदु: ए सेकेंट, जो वृत्त को दो अलग-अलग सीमा बिंदुओं पर काटती है।
• एक सीधी रेखा किसी वृत्त को कभी भी अधिक दूरी पर नहीं काट सकती है। $2$ अंक से क्योंकि एक वृत्त एक डिग्री-2 वक्र है।

अधिकतम 2 अंक (एक सेकंड)। 1 बिंदु पर, यह एक स्पर्श रेखा है।

संकेंद्रित वृत्तों को परिभाषित करें और बताएं कि क्या वे कभी प्रतिच्छेद करते हैं।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• संकेंद्रित वृत्त एक ही तल में स्थित दो या दो से अधिक वृत्त हैं जो बिल्कुल एक ही केंद्रीय बिंदु ($O$) को साझा करते हैं, लेकिन अलग-अलग त्रिज्या ($r_1 \ne r_2$) रखते हैं।
• क्योंकि वृत्त 1 पर प्रत्येक बिंदु $O$ से $r_1$ की दूरी पर है और वृत्त 2 पर प्रत्येक बिंदु $O$ से $r_2$ की दूरी पर है, वे कभी नहीं कर सकते किसी भी बिंदु पर एक दूसरे को काटें या स्पर्श करें। उनके बीच का कुंडलाकार स्थान एक गोलाकार वलय बनाता है।

संकेंद्रित वृत्त विभिन्न त्रिज्याओं के साथ समान केंद्र साझा करते हैं। वे कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करते.

अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?

अभ्यास के लिए तैयार?

ऑनलाइन CBT टेस्ट देकर तैयारी का मूल्यांकन करें

झारखण्ड बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित बहुविकल्पीय प्रश्नों का ऑनलाइन टेस्ट दें। तुरंत परिणाम, समय विश्लेषण और प्रत्येक प्रश्न का विस्तृत हल प्राप्त करें।

फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स