परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)

ए. परिभाषा एवं मानक प्रपत्र:

एक संख्या जिसे $\mathbf{\frac{p}{q}}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $\mathbf{q \ne 0}$, परिमेय संख्या ($\mathbb{Q}$) कहलाती है।

• मानक रूप: एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ मानक रूप में है यदि:
  1. इसका हर $q$ पूर्णतः सकारात्मक है ($q > 0$).
  2. अंश $p$ और हर $q$ में $1$ के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है (वे सह-अभाज्य हैं: $\gcd(|p|, q) = 1$)।
  3. उदाहरण: एक्सप्रेस $\frac{36}{-54}$ मानक रूप में: $\frac{36 \div (-18)}{-54 \div (-18)} = \mathbf{-\frac{2}{3}}$.

बी. परिमेय संख्याओं का घनत्व गुण:

किन्हीं दो अलग-अलग परिमेय संख्याओं $a$ और $b$ के बीच, अनंत अनेक परिमेय संख्याएँ मौजूद हैं! "अगली" परिमेय संख्या जैसी कोई चीज़ नहीं है।

1. समापन गुण: परिमेय संख्याओं को जोड़, घटाव और गुणा के अंतर्गत बंद किया जाता है। $$a + b \in \mathbb{Q}, \quad a - b \in \mathbb{Q}, \quad a \times b \in \mathbb{Q}$$ *(विभाजन केवल तभी बंद किया जाता है जब भाजक गैर-शून्य हो: $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ के लिए $b \ne 0$)*.
2. विनिमेय गुण:
   • जोड़ क्रमविनिमेय है: $a + b = b + a$.
   • गुणन क्रमविनिमेय है: $a \times b = b \times a$.
   • *घटाव और भाग क्रमविनिमेय नहीं हैं!* ($a - b \ne b - a$ और $a \div b \ne b \div a$).
3. साहचर्य संपत्ति: $$(a + b) + c = a + (b + c) \quad \land \quad (a \times b) \times c = a \times (b \times c)$$
4. जोड़/घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण: $$\mathbf{a(b \pm c) = ab \pm ac}$$
5. पहचान एवं व्युत्क्रम:
   • योगात्मक पहचान: $0$ ($a + 0 = 0 + a = a$).
   • गुणात्मक पहचान: $1$ ($a \times 1 = 1 \times a = a$).
   • योगात्मक व्युत्क्रम: $-a$ (जैसे कि $a + (-a) = 0$).
   • गुणात्मक व्युत्क्रम (पारस्परिक): $\frac{1}{a}$ $a \ne 0$ के लिए (जैसे कि $a \times \frac{1}{a} = 1$)। शून्य का कोई व्युत्क्रम नहीं है!

विधि 1: माध्य/औसत विधि:

$a$ और $b$ (जहां $a < b$) के बीच एक तर्कसंगत संख्या खोजने के लिए:

एकाधिक संख्याएँ उत्पन्न करने के लिए क्रमिक रूप से दोहराएँ: $a < \frac{a + m}{2} < m < \frac{m + b}{2} < b$.

विधि 2: सामान्य विभाजक और स्केलिंग विधि (एकाधिक संख्याओं के लिए तेज़):

$\frac{a}{b}$ और $\frac{c}{d}$ के बीच $n$ परिमेय संख्याएँ सम्मिलित करने के लिए:

1. एलसीएम का उपयोग करके दोनों भिन्नों को एक समान उभयनिष्ठ हर में परिवर्तित करें।
2. दोनों भिन्नों के अंश और हर दोनों को $(n + 1)$ (या 10) से गुणा करें।
3. सीधे मध्यवर्ती अंश का चयन करें!
4. उदाहरण: $-\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच 5 परिमेय संख्याएँ डालें:

   सामान्य हर एलसीएम(3, 2) = 6: $-\frac{2}{6}$ और $\frac{3}{6}$। 2 से गुणा करें: $-\frac{4}{12}$ और $\frac{6}{12}$.

   मध्यवर्ती परिमेय संख्याएँ: $\mathbf{-\frac{3}{12}, -\frac{2}{12}, -\frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{2}{12}}$.

प्रधान गुणनखंडन परीक्षण:

मान लीजिए $x = \frac{p}{q}$ अपने सरलतम मानक रूप में एक परिमेय संख्या है ($\gcd(p, q) = 1$):

• दशमलव को समाप्त करना: दशमलव विस्तार समाप्त (समाप्त) होता है यदि और केवल यदि हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 और/या 5 की शक्तियाँ हों: $$\mathbf{q = 2^m \times 5^n \quad (m, n \in \mathbb{W})}$$ उदाहरण: $\frac{7}{40} = \frac{7}{2^3 \times 5^1} = 0.175$ (समाप्त होता है!). $\frac{3}{25} = \frac{3}{5^2} = 0.12$ (समाप्त होता है!).
• नॉन-टर्मिनेटिंग रिपीटिंग (आवर्ती) दशमलव: यदि $q$ में 2 या 5 (जैसे 3, 7, 11, 13) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड है, तो दशमलव विस्तार नॉन-टर्मिनेटिंग और आवधिक है: उदाहरण: $\frac{1}{3} = 0.333\dots = 0.\bar{3}$; $\quad \frac{2}{7} = 0.\overline{285714}$.