Areas Related to Circles

(क) वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल:

यदि वृत्त की त्रिज्या $r$ तथा व्यास $d = 2r$ हो, तो:

• परिधि (Circumference - बाह्य घेरा): $C = 2\pi r = \pi d$
• क्षेत्रफल (Area): $A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$
• अर्धवृत्त की परिधि (अति महत्वपूर्ण): अर्धवृत्ताकार चाप $+$ व्यास $= \pi r + 2r = r(\pi + 2)$
• अर्धवृत्त का क्षेत्रफल: $\frac{1}{2} \pi r^2$
• चतुर्थांश (Quadrant) का क्षेत्रफल: $\frac{1}{4} \pi r^2$ (केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$)

(ख) वलयाकार भाग (Ring / Annulus / Circular Track):

दो संकेंद्रीय वृत्तों (उभयनिष्ठ केंद्र $O$, बाह्य त्रिज्या $R$ तथा आंतरिक त्रिज्या $r$) के बीच घिरे भाग का क्षेत्रफल:

(क) त्रिज्यखंड की परिभाषा:

वृत्त के दो त्रिज्याओं और उनके बीच के संगत चाप से घिरा हुआ वृत्तीय क्षेत्र त्रिज्यखंड (Sector) कहलाता है:

• लघु त्रिज्यखंड (Minor Sector): जब केंद्रीय कोण $\theta < 180^\circ$ हो।
• दीर्घ त्रिज्यखंड (Major Sector): शेष बड़ा भाग, जिसका कोण $360^\circ - \theta$ होता है।

(क) वृत्तखंड की परिभाषा:

एक जीवा और उसके संगत चाप के बीच घिरे वृत्तीय क्षेत्र को वृत्तखंड (Segment) कहते हैं:

• लघु वृत्तखंड (Minor Segment): जीवा और लघु चाप के बीच का भाग।
• दीर्घ वृत्तखंड (Major Segment): जीवा और दीर्घ चाप के बीच का भाग।

(ख) $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल निकालने के 3 मानक रूप:

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय सूत्र: किसी भी कोण $\theta$ के लिए $\text{ar}(\triangle OAB) = \mathbf{\frac{1}{2} r^2 \sin\theta}$ होता है।

(क) घड़ी की मिनट की सुई का कोण (JAC 3 अंक लोकप्रिय प्रश्न):

घड़ी की मिनट की सुई 60 मिनट में एक पूरा चक्कर ($360^\circ$) लगाती है:

• 1 मिनट में बना कोण: $\frac{360^\circ}{60} = \mathbf{6^\circ}$
• $t$ मिनट में बना कोण: $\theta = \mathbf{6^\circ \times t}$
• उदाहरण: 5 मिनट में सुई द्वारा बना कोण $= 6^\circ \times 5 = 30^\circ$। 15 मिनट में $= 90^\circ$। 20 मिनट में $= 120^\circ$।
• सुई की लंबाई $L$ वृत्त की त्रिज्या $r$ बन जाती है। सुई द्वारा रचित क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$।

(ख) खूंटे से बंधे घोड़े/गाय का चरने वाला क्षेत्र:

वर्गाकार या आयताकार घास के मैदान के कोने पर बंधी रस्सी की लंबाई $r$ होती है। चूंकि कोने का कोण $90^\circ$ होता है, अतः चरा गया क्षेत्र वृत्त का चतुर्थांश (Quadrant - $\frac{1}{4}\pi r^2$) होता है!

छायांकित भाग निकालने की 3 प्रमुख तकनीकें:

1. घटाव विधि (Subtraction Method):
   संपूर्ण बाहरी आकृति के क्षेत्रफल में से अवांछित खाली आंतरिक आकृतियों का क्षेत्रफल घटा दें:
   $$\text{छायांकित भाग} = \text{कुल बाहरी क्षेत्रफल} - \text{अछायांकित आंतरिक क्षेत्रफल}$$ उदाहरण: भुजा $a$ वाले वर्ग के चारों कोनों से 4 चतुर्थांश काटने पर बीच का छायांकित भाग $= a^2 - 4 \times (\frac{1}{4}\pi r^2) = a^2 - \pi r^2$।
2. जोड़ विधि (Addition Method):
   जब छायांकित भाग दो या अधिक स्वतंत्र आकृतियों से मिलकर बना हो, तो सभी आकृतियों के क्षेत्रफलों को अलग-अलग निकालकर जोड़ दें।
3. पुनर्विन्यास विधि (Rearrangement Method):
   कभी-कभी छायांकित टुकड़ों को काटकर खाली स्थानों में भरने से एक पूर्ण वृत्त, अर्धवृत्त या आयत बन जाता है, जिससे कठिन दिखने वाला प्रश्न मात्र एक पंक्ति में हल हो जाता है!