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JAC • Class X • Mathematics • Ch 3

Estimated Time: 45 Mins

Study Progress: In Progress

Pair of Linear Equations in Two Variables

दो अज्ञात राशियों (चरों $x$ और $y$) के परस्पर संबंधों को व्यक्त करने वाले समीकरण को दो चर वाला रैखिक समीकरण कहते हैं। इसका व्यापक रूप $ax + by + c = 0$ होता है, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं तथा $a^2 + b^2 \neq 0$ है। ज्यामितीय दृष्टि से, दो चरों वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का आलेख कार्तीय तल पर सदैव एक सीधी सरल रेखा (Straight Line) को निरूपित करता है। जब दो रैखिक समीकरणों का एक साथ अध्ययन किया जाता है, तो उसे रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations) कहा जाता है: $$a_1x + b_1y + c_1 = 0 \quad \text{तथा} \quad a_2x + b_2y + c_2 = 0$$ एक तल में स्थित दो सरल रेखाओं के मध्य केवल तीन ही ज्यामितीय स्थितियां संभव हैं: (1) प्रतिच्छेदी रेखाएं (Intersecting Lines): रेखाएं ठीक एक बिंदु पर काटती हैं $\iff \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \iff$ अद्वितीय हल (Unique Solution), युग्म संगत (Consistent) होता है। (2) संपाती रेखाएं (Coincident Lines): दोनों रेखाएं एक-दूसरे के ठीक ऊपर आच्छादित हो जाती हैं $\iff \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \iff$ अपरिमित रूप से अनेक हल (Infinitely Many Solutions), युग्म आश्रित संगत (Dependent Consistent) होता है। (3) समानांतर रेखाएं (Parallel Lines): रेखाएं कभी नहीं मिलतीं $\iff \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \iff$ कोई हल नहीं (No Solution), युग्म असगत (Inconsistent) होता है। रैखिक समीकरण युग्मों को हल करने की दो प्रमुख बीजीय विधियां हैं: (1) प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)—जिसमें एक समीकरण से एक चर का मान दूसरे चर के पदों में निकालकर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तथा (2) विलोपन विधि (Elimination Method)—जो सबसे तीव्र और त्रुटिरहित विधि है, जिसमें गुणांकों को समान बनाकर एक चर को जोड़कर या घटाकर पूरी तरह विलुप्त कर दिया जाता है। दैनिक जीवन की व्यावहारिक समस्याओं—जैसे आयु संबंधी प्रश्न, भिन्न संबंधी प्रश्न, रेलगाड़ी एवं नाव-धारा (Upstream-Downstream चाल) पर आधारित प्रश्न—को हल करने में यह अध्याय गणित का सबसे शक्तिशाली उपकरण है। झारखंड बोर्ड (JAC Class 10) में 5 अंक का ग्राफिकल या वर्ड प्रॉब्लम प्रश्न इस अध्याय से प्रतिवर्ष अनिवार्य रूप से पूछा जाता है।

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Overview Core Concepts Formulas & Identities Solved Examples Common Traps Summary Self Check Take MCQ Test

⛵ क्या आपने कभी सोचा है: जब नाव नदी के बहाव के साथ चलती है तो तेज और उल्टी दिशा में धीमी क्यों हो जाती है?

जरा सोचिए: एक नाविक जब नदी की धारा की दिशा (Anukool / Downstream) में चप्पू चलाता है, तो नाव हवा की तरह उड़ती है; लेकिन जब वही नाविक धारा की उल्टी दिशा (Pratikool / Upstream) में नाव वापस लाता है, तो पसीने से तर-बतर होने पर भी नाव आगे ही नहीं बढ़ती! नाव की अपनी शांत जल की चाल ($x$) और नदी की धारा की चाल ($y$) मिलकर अनुकूल दिशा में $(x + y)$ बन जाती हैं और प्रतिकूल दिशा में $(x - y)$! केवल दो समीकरण बनाकर आप बिना नदी में कूदे यह बता सकते हैं कि पानी की धार कितनी तेज बह रही है! इतना ही नहीं, बाज़ार में जब आप 5 सेब और 3 संतरे ₹35 में खरीदते हैं, और आपके दोस्त 2 सेब और 4 संतरे ₹28 में खरीदते हैं, तो बिना दुकानदार से पूछे एक सेब और एक संतरे की अलग-अलग कीमत का पता लगाने की जादुई चाबी यही अध्याय है! आइए, दो अज्ञात चरों के इस रोमांचक जासूसी खेल को बीजगणित से हल करें!

Why This Chapter Matters

इस अध्याय का अध्ययन आपके लिए क्यों अनिवार्य है?

बोर्ड परीक्षा में सर्वाधिक अंक (6 से 8 अंक): JAC कक्षा 10वीं गणित परीक्षा में "ग्राफ विधि द्वारा हल", "विलोपन/प्रतिस्थापन विधि द्वारा $x$ और $y$ का मान", तथा "धारा के अनुकूल-प्रतिकूल या आयु संबंधी 5 अंक का दीर्घ उत्तरीय प्रश्न" शत-प्रतिशत आता है।
प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं की रीढ़: SSC, रेलवे, बैंकिंग और CAT में गणितीय एप्टीट्यूड (Quantitative Aptitude) के 30% प्रश्न दो चर वाले समीकरणों और वर्ड प्रॉब्लम्स पर आधारित होते हैं।
व्यावसायिक एवं वित्तीय योजना: लाभ-हानि, लागत विश्लेषण और दोहरे अज्ञात चरों के प्रबंधन में यह अध्याय जीवन भर काम आता है।

Before You Begin (Prerequisites)

एक चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करना ($ax + b = 0$).
कार्तीय तल (Cartesian Plane) पर बिंदुओं $(x, y)$ का आलेखन (निर्देशांक ज्यामिति आधार).
समान पदों को जोड़ना, घटाना तथा भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.).

What You Will Learn (Core Objectives)

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का मानक रूप लिख सकेंगे और गुणांकों की तुलना ($a_1/a_2, b_1/b_2, c_1/c_2$) के आधार पर रेखाओं की प्रकृति (प्रतिच्छेदी, संपाती, समांतर) और हल की संख्या का निर्धारण कर सकेंगे।
ग्राफ विधि द्वारा समीकरण युग्म का आलेख खींचकर प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कर सकेंगे।
प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) द्वारा चरणबद्ध रूप से समीकरण युग्म को हल कर सकेंगे।
विलोपन विधि (Elimination Method) का कुशलतापूर्वक प्रयोग कर जटिल समीकरणों के सटीक हल निकाल सकेंगे।
व्यावहारिक समस्याओं (आयु, भिन्न, संख्या, दूरी-चाल-समय, नाव-धारा) को दो चरों वाले समीकरणों में रूपांतरित कर हल कर सकेंगे।

Chapter Roadmap & Progression

1 1. रैखिक समीकरण युग्म: आलेखीय एवं ग...

2 2. बीजीय विधियां: प्रतिस्थापन विधि...

3 3. दैनिक जीवन की इबारती समस्याएं (W...

Complete Concept Guide (100% Curriculum Coverage)

1. रैखिक समीकरण युग्म: आलेखीय एवं गुणांक तुलना नियम

दो चरों $x$ और $y$ में रैखिक समीकरण युग्म का मानक रूप:

$$a_1x + b_1y + c_1 = 0$$ $$a_2x + b_2y + c_2 = 0$$

जहाँ $a_1^2 + b_1^2 \neq 0$ तथा $a_2^2 + b_2^2 \neq 0$ है।

(ख) अनुपातों की तुलना एवं हलों की प्रकृति (अति महत्वपूर्ण - JAC 2 अंक):

अनुपातों की तुलना	ज्यामितीय (आलेखीय) निरूपण	बीजीय निरूपण (हल की संख्या)	युग्म की प्रकृति
$$\mathbf{\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}}$$	प्रतिच्छेदी रेखाएं (केवल 1 बिंदु पर काटती हैं)	अद्वितीय हल (केवल एक हल)	संगत (Consistent)
$$\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}}$$	संपाती रेखाएं (एक-दूसरे के ऊपर स्थित)	अपरिमित रूप से अनेक हल	आश्रित संगत (Dependent)
$$\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}}$$	समानांतर रेखाएं (कभी नहीं मिलतीं)	कोई हल नहीं (No Solution)	असंगत (Inconsistent)

सावधानी: गुणांकों की तुलना करने से पहले दोनों समीकरणों को एक ही प्रारूप में व्यवस्थित करें—या तो दोनों के अचर पद बराबर के बाईं ओर ($ax + by + c = 0$) हों, या दोनों के दाईं ओर ($ax + by = c$) हों।

2. बीजीय विधियां: प्रतिस्थापन विधि एवं विलोपन विधि

(क) प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

कार्यप्रणाली के चरण:

किसी एक समीकरण (जो सबसे सरल हो) से किसी एक चर (उदा. $y$) का मान दूसरे चर ($x$) के पदों में ज्ञात कीजिए: $y = \dots$।
$y$ के इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित कीजिए। इससे वह समीकरण एक चर ($x$) का रैखिक समीकरण बन जाता है।
इस समीकरण को हल करके $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
$x$ के इस प्राप्त मान को चरण 1 वाले व्यंजक में रखकर $y$ का मान निकाल लीजिए।

(ख) विलोपन विधि (Elimination Method - सबसे तीव्र एवं अनुशंसित)

कार्यप्रणाली के चरण:

दोनों समीकरणों में किसी एक चर (चाहे $x$ या $y$) के संख्यात्मक गुणांकों को समान बनाने के लिए समीकरणों को उपयुक्त अशून्य अचरों से गुणा कीजिए।
यदि जिस चर के गुणांक समान बनाए गए हैं, उनके चिह्न विपरीत ($+$ और $-$) हों, तो दोनों समीकरणों को जोड़िए।
यदि उनके चिह्न समान ($+$ और $+$ अथवा $-$ और $-$) हों, तो एक समीकरण में से दूसरे को घटाइए।
इससे वह चर विलुप्त हो जाता है और दूसरे चर का मान तुरंत प्राप्त हो जाता है।
प्राप्त मान को किसी भी मूल समीकरण में रखकर शेष चर का मान निकाल लीजिए।

3. दैनिक जीवन की इबारती समस्याएं (Word Problems)

वर्ड प्रॉब्लम्स को हल करने के लिए अज्ञात राशियों को चर $x$ और $y$ मानकर दिए गए कथनों से दो समीकरण बनाए जाते हैं:

(क) विभिन्न प्रकार की समस्याएं एवं समीकरण निर्माण मॉडल:

समस्या का प्रकार	मान्यताएं (Let Variables)	समीकरण निर्माण का सूत्र
1. आयु संबंधी (Age problems)	पिता की वर्तमान आयु $= x$ वर्ष, पुत्र की $= y$ वर्ष।	$n$ वर्ष बाद: $(x+n), (y+n)$ $m$ वर्ष पूर्व: $(x-m), (y-m)$
2. भिन्न संबंधी (Fraction)	अंश $= x$, हर $= y$ $\implies$ मूल भिन्न $= \frac{x}{y}$।	यदि अंश व हर में 2 जोड़ें: $\frac{x+2}{y+2} = \dots$
3. दो अंकों की संख्या (Number)	दहाई का अंक $= x$, इकाई का अंक $= y$।	मूल संख्या $= 10x + y$ अंकों को उलटने पर बनी संख्या $= 10y + x$
4. नाव एवं धारा (Boat & Stream)	शांत जल में नाव की चाल $= x\text{ km/h}$, धारा की चाल $= y\text{ km/h}$।	धारा के अनुकूल (Downstream) चाल $= (x + y)$ धारा के प्रतिकूल (Upstream) चाल $= (x - y)$ समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$
5. कार्य एवं समय (Work & Time)	1 महिला का 1 दिन का कार्य $= \frac{1}{x}$, 1 पुरुष का $= \frac{1}{y}$।	$\frac{2}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}$ (रेड्यूसिबल समीकरण)

Key Formulas, Identities & Theorems

मानक समीकरण युग्म

a_1x + b_1y + c_1 = 0 तथा a_2x + b_2y + c_2 = 0

प्रतिच्छेदी रेखाएं (अद्वितीय हल)

{a_1}{a_2} ≠ {b_1}{b_2} [संगत]

संपाती रेखाएं (अनेक हल)

{a_1}{a_2} = {b_1}{b_2} = {c_1}{c_2} [आश्रित संगत]

समानांतर रेखाएं (कोई हल नहीं)

{a_1}{a_2} = {b_1}{b_2} ≠ {c_1}{c_2} [असंगत]

दो अंकों की संख्या का मान

संख्या = 10x + y (x = दहाई, y = इकाई)

धारा के अनुकूल प्रभावी चाल

v_{down} = x + y [x = नाव, y = धारा]

धारा के प्रतिकूल प्रभावी चाल

$$v_{\text{up}} = x - y \quad (x > y)$$

समय-दूरी-चाल सूत्र

t = {दूरी (d)}{चाल (v)}

Conceptual Solved Examples & Case Studies

Example 1

प्रश्न 1 (JAC 2023 - 3 अंक): विलोपन विधि द्वारा निम्न समीकरण युग्म को हल कीजिए: 2x + 3y = 8 तथा 4x + 6y = 7। क्या इस युग्म का कोई वास्तविक हल है? अनुपातों की तुलना से अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

Step-by-Step Solution:

हल: 1. दिए गए समीकरण:

$$2x + 3y - 8 = 0 \quad \dots (1)$$

$$4x + 6y - 7 = 0 \quad \dots (2)$$

2. गुणांकों के अनुपातों की तुलना: यहाँ $a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -8$ तथा $a_2 = 4, b_2 = 6, c_2 = -7$

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

$$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-7} = \frac{8}{7}$$

चूँकि:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \quad \left(\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{8}{7}\right)$$

3. विलोपन विधि से जाँच: समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर:

$$4x + 6y = 16 \quad \dots (3)$$

समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर:

$$(4x + 6y) - (4x + 6y) = 16 - 7$$

$$0 = 9 \quad \text{(जो कि एक सर्वथा असत्य कथन है!)}$$

उत्तर: यह रेखाएं समानांतर रेखाएं हैं। अतः इस समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है (No solution) तथा यह युग्म असंगत (Inconsistent) है।

Example 2

प्रश्न 2 (JAC 2022 - 5 अंक): 5 वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। 10 वर्ष पश्चात, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की वर्तमान आयु कितनी है? विलोपन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

Step-by-Step Solution:

हल: 1. मान्यताएं: मान लीजिए कि: • नूरी की वर्तमान आयु $= x$ वर्ष • सोनू की वर्तमान आयु $= y$ वर्ष

2. प्रथम शर्त के अनुसार (5 वर्ष पूर्व): 5 वर्ष पूर्व नूरी की आयु $= (x - 5)$ वर्ष, सोनू की आयु $= (y - 5)$ वर्ष

$$x - 5 = 3(y - 5)$$

$$x - 5 = 3y - 15 \implies x - 3y = -15 + 5$$

$$x - 3y = -10 \quad \dots (1)$$

3. द्वितीय शर्त के अनुसार (10 वर्ष पश्चात): 10 वर्ष बाद नूरी की आयु $= (x + 10)$ वर्ष, सोनू की आयु $= (y + 10)$ वर्ष

$$x + 10 = 2(y + 10)$$

$$x + 10 = 2y + 20 \implies x - 2y = 20 - 10$$

$$x - 2y = 10 \quad \dots (2)$$

4. विलोपन विधि দ্বারা हल: समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:

$$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10)$$

$$-2y + 3y = 10 + 10$$

$$y = 20$$

$y = 20$ का मान समीकरण (2) में रखने पर:

$$x - 2(20) = 10 \implies x - 40 = 10 \implies x = 50$$

उत्तर: नूरी की वर्तमान आयु 50 वर्ष तथा सोनू की वर्तमान आयु 20 वर्ष है।

Example 3

प्रश्न 3 (JAC 2021 - 5 अंक): एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

Step-by-Step Solution:

हल: 1. मान्यता: मान लीजिए कि अभीष्ट भिन्न $\frac{x}{y}$ है (जहाँ $x$ अंश है तथा $y$ हर है)।

2. प्रथम शर्त: अंश से 1 घटाने पर भिन्न $\frac{1}{3}$ होती है:

$$\frac{x - 1}{y} = \frac{1}{3}$$

वज्र गुणन (Cross multiplication) करने पर:

$$3(x - 1) = y \implies 3x - 3 = y$$

$$3x - y = 3 \quad \dots (1)$$

3. द्वितीय शर्त: हर में 8 जोड़ने पर भिन्न $\frac{1}{4}$ होती है:

$$\frac{x}{y + 8} = \frac{1}{4}$$

$$4x = y + 8 \implies 4x - y = 8 \quad \dots (2)$$

4. विलोपन विधि द्वारा हल: समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:

$$(4x - y) - (3x - y) = 8 - 3$$

$$4x - 3x = 5 \implies x = 5$$

$x = 5$ का मान समीकरण (1) में रखने पर:

$$3(5) - y = 3 \implies 15 - y = 3 \implies y = 15 - 3 = 12$$

उत्तर: अभीष्ट भिन्न $\frac{5}{12}$ है। (जाँच: (5-1)/12 = 4/12 = 1/3 तथा 5/(12+8) = 5/20 = 1/4 - पूर्णतः सही!)

Example 4

प्रश्न 4 (JAC 2020 - 5 अंक): एक नाव 10 घंटे में धारा के प्रतिकूल 30 किमी तथा धारा के अनुकूल 44 किमी जाती है। 13 घंटे में वह 40 किमी धारा के प्रतिकूल एवं 55 किमी धारा के अनुकूल जाती है। शांत जल में नाव की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

Step-by-Step Solution:

हल: 1. मान्यताएं: • शांत जल में नाव की चाल $= x\text{ km/h}$ • धारा की चाल $= y\text{ km/h}$ ($x > y$) • धारा के प्रतिकूल (Upstream) चाल $= (x - y)\text{ km/h}$ • धारा के अनुकूल (Downstream) चाल $= (x + y)\text{ km/h}$

सूत्र: समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$

2. समीकरण निर्माण: • प्रथम स्थिति: $\frac{30}{x - y} + \frac{44}{x + y} = 10 \quad \dots (1)$ • द्वितीय स्थिति: $\frac{40}{x - y} + \frac{55}{x + y} = 13 \quad \dots (2)$

3. रूपांतरण: मान लीजिए $\frac{1}{x - y} = u$ तथा $\frac{1}{x + y} = v$:

$$30u + 44v = 10 \implies 15u + 22v = 5 \quad \dots (3)$$

$$40u + 55v = 13 \quad \dots (4)$$

समीकरण (3) को 55 से तथा (4) को 22 से गुणा कर घटाने पर:

$$u = \frac{1}{5} \quad \text{तथा} \quad v = \frac{1}{11}$$

4. मूल चरों में मान रखने पर:

$$\frac{1}{x - y} = \frac{1}{5} \implies x - y = 5 \quad \dots (5)$$

$$\frac{1}{x + y} = \frac{1}{11} \implies x + y = 11 \quad \dots (6)$$

समीकरण (5) और (6) को जोड़ने पर:

$$2x = 16 \implies x = 8\text{ km/h}$$

$x = 8$ समीकरण (6) में रखने पर:

$$8 + y = 11 \implies y = 3\text{ km/h}$$

उत्तर: शांत जल में नाव की चाल 8 km/h तथा धारा की चाल 3 km/h है।

Example 5

प्रश्न 5 (JAC 2019 - 3 अंक): k के किस मान के लिए निम्न रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे: kx + 3y - (k - 3) = 0 तथा 12x + ky - k = 0?

Step-by-Step Solution:

हल: 1. दिए गए समीकरण:

$$kx + 3y - (k - 3) = 0$$

$$12x + ky - k = 0$$

यहाँ $a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = -(k - 3)$ तथा $a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = -k$

2. अपरिमित रूप से अनेक हल होने की शर्त:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$

$$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{-(k - 3)}{-k} = \frac{k - 3}{k}$$

3. प्रथम दो अनुपातों से:

$$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \implies k^2 = 36 \implies k = \pm 6$$

4. अंतिम दो अनुपातों से:

$$\frac{3}{k} = \frac{k - 3}{k} \implies 3 = k - 3 \implies k = 6$$

चूँकि $k = 6$ दोनों स्थितियों को एक साथ संतुष्ट करता है ($k = -6$ पर तीसरा अनुपात संतुष्ट नहीं होता): उत्तर: k = 6 के लिए इस समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

Common Misconceptions & Examiner Traps

Common Misconception

दो अंकों की संख्या को x + y लिख देना।

Scientific Reality & Correction

इकाई y और दहाई x होने पर वास्तविक संख्या का मान 10x + y होता है, x + y केवल अंकों का योग है!

Common Misconception

धारा के प्रतिकूल चाल में y - x लिख देना।

Scientific Reality & Correction

नाव हमेशा धारा से तेज चलती है (x > y), अतः प्रतिकूल चाल सदैव (x - y) होती है।

Common Misconception

अनुपातों की तुलना में अचर पद के चिह्नों (प्लस/माइनस) की उपेक्षा करना।

Scientific Reality & Correction

c₁ और c₂ के चिह्नों का विशेष ध्यान रखें; दोनों को बराबर के एक ही ओर रखकर तुलना करें।

Common Misconception

विलोपन विधि में घटाते समय नीचे के समीकरण के सभी पदों के चिह्न न बदलना।

Scientific Reality & Correction

घटाने पर नीचे के प्रत्येक पद का चिह्न उलटता है (+ का -, और - का +)।

Common Misconception

k² = 36 से केवल k = 6 लिखना और -6 की जाँच न करना।

Scientific Reality & Correction

k² = 36 से k = ±6 आता है; फिर तीनों अनुपातों में रखकर देखना होता है कि कौन-सा मान सभी अनुपातों को एक साथ संतुष्ट करता है।

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म: ज्यामितीय रेखाएं एवं हल की शर्तें चार्ट

अद्वितीय हल (Unique Solution) | संगत (Consistent) 2. संपाती रेखाएं (Coincident Lines): a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂ • अपरिमित रूप से अनेक हल | आश्रित संगत (Dependent) 3. समानांतर रेखाएं (Parallel Lines): a₁ / a₂ = b₁ / b₂ ≠ c₁ / c₂ • कोई हल नहीं (No Solution) | असंगत (Inconsistent) रेखाएं कभी नहीं मिलतीं, ग्राफ समानांतर चलता है बीजीय विधियां एवं इबारती सूत्र विलोपन विधि (Elimination Method): 1. उपयुक्त संख्या से गुणा कर एक चर के गुणांक समान करें 2. विपरीत चिह्न हों तो जोड़ें; समान चिह्न हों तो घटाएं \to एक चर विलुप्त, दूसरा चर तुरंत ज्ञात! नाव एवं धारा समस्या (Boat & Stream): • शांत जल में नाव की चाल = x km/h, धारा = y km/h • धारा के अनुकूल (Downstream) चाल = x + y • धारा के प्रतिकूल (Upstream) चाल = x - y समय = दूरी / चाल ⇒ t₁ + t₂ = कुल समय दो अंकों की संख्या (Two-Digit Number): मूल संख्या = 10x + y (दहाई x, इकाई y) • अंक उलटने पर बनी संख्या = 10y + x • अंकों का योग = x + y

Chapter Summary & 10 Key Takeaways

Takeaway 1

दो चर वाले रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 का आलेख सदैव एक सरल रेखा होता है।

Takeaway 2

यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो, तो रेखाएं प्रतिच्छेदी होती हैं और अद्वितीय हल (संगत) होता है।

Takeaway 3

यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो, तो रेखाएं संपाती होती हैं और अनेक हल (आश्रित संगत) होते हैं।

Takeaway 4

यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो, तो रेखाएं समानांतर होती हैं और कोई हल नहीं (असंगत) होता है।

Takeaway 5

प्रतिस्थापन विधि में एक चर का मान दूसरे के पदों में निकालकर प्रतिस्थापित किया जाता है।

Takeaway 6

विलोपन विधि में गुणांक समान बनाकर जोड़ने या घटाने से एक चर विलुप्त हो जाता है।

Takeaway 7

दो अंकों की संख्या: 10x + y (दहाई x, इकाई y); अंक पलटने पर 10y + x।

Takeaway 8

नाव और धारा: अनुकूल चाल = (x + y), प्रतिकूल चाल = (x - y), समय = दूरी / चाल।

Takeaway 9

आयु समस्याओं में n वर्ष पूर्व (x - n) तथा n वर्ष बाद (x + n) लिया जाता है।

Takeaway 10

अनुपातों की तुलना करते समय अचर पदों c₁ और c₂ के चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।

Check Your Understanding (Diagnostic Practice Questions)

Diagnostic questions testing core conceptual clarity. Answers are hidden initially — solve each problem first, then click to reveal the step-by-step verified solution.

1. समीकरण युग्म x + 2y = 4 और 2x + 4y = 8 का आलेख किस प्रकार की रेखाएं होंगी और इसके कितने हल होंगे?

Reveal Answer & Explanation

Answer: a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 2/4 = 1/2, c₁/c₂ = 4/8 = 1/2; तीनों अनुपात समान हैं, अतः रेखाएं संपाती होंगी और अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

2. विलोपन विधि से हल कीजिए: x + y = 14 तथा x - y = 4।

Reveal Answer & Explanation

Answer: दोनों को जोड़ने पर: 2x = 18 ⇒ x = 9; x = 9 रखने पर: 9 + y = 14 ⇒ y = 5। (x = 9, y = 5)।

3. k के किस मान के लिए समीकरण युग्म 2x + 3y = 5 और 4x + ky = 11 का कोई हल नहीं होगा?

Reveal Answer & Explanation

Answer: कोई हल न होने हेतु a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⇒ 2/4 = 3/k ⇒ 1/2 = 3/k ⇒ k = 6।

4. एक नाव शांत जल में 12 km/h की चाल से चलती है। यदि नदी की धारा 3 km/h हो, तो धारा के अनुकूल और प्रतिकूल चाल क्या होगी?

Reveal Answer & Explanation

Answer: अनुकूल चाल = 12 + 3 = 15 km/h; प्रतिकूल चाल = 12 - 3 = 9 km/h।

5. यदि दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का आलेख दो समानांतर रेखाएं हों, तो वह युग्म संगत कहलाएगा या असंगत?

Reveal Answer & Explanation

Answer: वह युग्म असंगत (Inconsistent) कहलाएगा, क्योंकि उसका कोई हल नहीं होता।

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