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JAC • Class X • Mathematics • Ch 2

Estimated Time: 45 Mins

Study Progress: In Progress

Polynomials

बीजगणित (Algebra) में बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चर की घातें केवल अऋणात्मक पूर्णांक (पूर्ण संख्याएँ: 0, 1, 2, 3...) होती हैं। किसी चर $x$ में बहुपद $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ (जहाँ $a_n \neq 0$) में चर की उच्चतम घात को बहुपद की घात (Degree) कहा जाता है। घात के आधार पर बहुपद रैखिक (घात 1, $ax + b$), द्विघात (घात 2, $ax^2 + bx + c$), अथवा त्रिघात (घात 3, $ax^3 + bx^2 + cx + d$) कहलाते हैं। वास्तविक संख्या $k$ बहुपद $p(x)$ का शून्यक (Zero) कहलाती है यदि $p(k) = 0$ हो। ज्यामितीय दृष्टि से, किसी बहुपद $y = p(x)$ का आलेख (Graph) $X$-अक्ष को जितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, उस बहुपद के ठीक उतने ही वास्तविक शून्यक होते हैं। एक रैखिक बहुपद का आलेख एक सरल रेखा होता है (अधिकतम 1 शून्यक), जबकि एक द्विघात बहुपद का आलेख एक परवलय (Parabola - U-आकार) होता है जो ऊपर की ओर ($a > 0$) अथवा नीचे की ओर ($a < 0$) खुला होता है और $X$-अक्ष को अधिकतम 2 बिंदुओं पर काट सकता है। कक्षा 10वीं का सबसे महत्वपूर्ण सिद्धांत द्विघात बहुपद के शून्यकों एवं गुणांकों के बीच संबंध है। यदि $\alpha$ (अल्फा) और $\beta$ (बीटा) द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ के शून्यक हों, तो शून्यकों का योगफल $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^2 \text{ का गुणांक}}$ तथा शून्यकों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}}$ होता है। यदि शून्यकों का योग $S$ तथा गुणनफल $P$ ज्ञात हो, तो अभीष्ट द्विघात बहुपद $k[x^2 - Sx + P]$ होता है। झारखंड बोर्ड (JAC Class 10) में इस अध्याय से शून्यक ज्ञात करने, संबंधों की सत्यता की जाँच करने तथा बहुपद निर्माण पर 3 से 5 अंक के प्रश्न प्रतिवर्ष पूछे जाते हैं।

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Overview Core Concepts Formulas & Identities Solved Examples Common Traps Summary Self Check Take MCQ Test

🎯 क्या आपने कभी सोचा है: जब कोई क्रिकेटर छक्का मारता है, तो गेंद हवा में उड़ते हुए ठीक एक बहुपद का परवलय (Parabola) क्यों बनाती है?

जरा सोचिए: जब महेंद्र सिंह धोनी या विराट कोहली स्टेडियम में गगनचुंबी छक्का जड़ते हैं, तो गेंद हवा में एक सुंदर घुमावदार चाप बनाते हुए बाउंड्री के पार गिरती है। कभी आपने विचार किया कि उस गेंद का रास्ता बिल्कुल सीधा क्यों नहीं होता, वह हमेशा एक 'U-आकार' (उल्टा परवलय) ही क्यों बनाता है?

भौतिकी और गणित का रहस्य यह है कि गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गेंद की ऊँचाई समय के साथ ठीक एक द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial: $h(t) = -gt^2/2 + ut$) का अनुसरण करती है! दुनिया के बड़े-बड़े आर्किटेक्ट एफिल टॉवर, गोल्डन गेट ब्रिज के विशाल हैंगिंग केबल और डिश टीवी एंटीना के सिग्नल रिसीवर को इसी परवलयाकार बहुपद के गणित पर डिजाइन करते हैं!

इतना ही नहीं, क्या आप जानते हैं कि बिना समीकरण को हल किए आप केवल दो गुणांकों को देखकर यह बता सकते हैं कि उसके उत्तरों (शून्यकों) का जोड़ और गुणा क्या होगा? आइए, बहुपदों के इस जादुई और शक्तिशाली बीजगणित को विस्तार से समझें!

Why This Chapter Matters

इस अध्याय का अध्ययन आपके लिए क्यों अनिवार्य है?

बोर्ड परीक्षा में अनिवार्य प्रश्न: JAC कक्षा 10वीं गणित परीक्षा में "द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों एवं गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए" पर 3 अंक का प्रश्न निश्चित आता है। साथ ही ग्राफ देखकर शून्यकों की संख्या बताने पर 1 अंक का बहुविकल्पीय प्रश्न आता है।
द्विघात समीकरण (Ch 4) का पूर्वज्ञान: अध्याय 4 (द्विघात समीकरण) पूरी तरह इसी अध्याय के शून्यकों और गुणनखंडन पर आधारित है।
उच्च गणित (Algebra & Calculus): 11वीं और 12वीं में बहुपदों के अवकलन (Differentiation), समाकलन और फलन (Functions) की समझ इसी अध्याय से विकसित होती है।

Before You Begin (Prerequisites)

बीजीय व्यंजक, पद, गुणांक तथा चर एवं अचर की संकल्पना।
मध्य पद विभक्त करने की विधि (Splitting the middle term द्वारा गुणनखंडन)।
बीजीय सर्वसमिकाएँ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$।

What You Will Learn (Core Objectives)

बहुपद की परिभाषा, घात, रैखिक, द्विघात एवं त्रिघात बहुपद में भेद कर सकेंगे।
किसी बहुपद $y = p(x)$ के आलेख को देखकर $X$-अक्ष के प्रतिच्छेद बिंदुओं के आधार पर शून्यकों की संख्या ज्ञात कर सकेंगे।
मध्य पद विभक्त कर द्विघात बहुपद के शून्यक $(\alpha, \beta)$ ज्ञात कर सकेंगे।
शून्यकों तथा गुणांकों के मध्य संबंधों (योग $\alpha + \beta = -b/a$ तथा गुणनफल $\alpha\beta = c/a$) की सत्यता की जाँच कर सकेंगे।
शून्यकों के योग और गुणनफल दिए होने पर अभीष्ट द्विघात बहुपद $k[x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta]$ की रचना कर सकेंगे।

Chapter Roadmap & Progression

1 1. बहुपद की घात, प्रकार एवं शून्यक...

2 2. बहुपदों के शून्यकों का ज्यामितीय...

3 3. द्विघात बहुपद के शून्यकों एवं गु...

4 4. शून्यकों के योग और गुणनफल से द्व...

Complete Concept Guide (100% Curriculum Coverage)

1. बहुपद की घात, प्रकार एवं शून्यक की परिभाषा

(क) बहुपद क्या है और क्या नहीं है?

व्यंजक $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ एक बहुपद है, यदि चर $x$ की सभी घातें अऋणात्मक पूर्णांक (Non-negative integers: $0, 1, 2, 3\dots$) हों।

बहुपद हैं: $2x^2 - 3x + 4$, $5x^3 - 2$, $\sqrt{3}x + 5$, $7$ (अचर बहुपद, घात 0)।
बहुपद नहीं हैं (चेतावनी!):
- $\frac{1}{x} = x^{-1}$ (घात ऋणात्मक है)।
- $\sqrt{x} + 2 = x^{1/2} + 2$ (घात भिन्न में है)।
- $\frac{1}{x^2 + 2x + 1}$ (हर में चर है)।

(ख) घात के आधार पर बहुपदों का वर्गीकरण:

प्रकार	घात (Degree)	मानक रूप (Standard Form)	अधिकतम शून्यकों की संख्या
रैखिक बहुपद (Linear)	1	$p(x) = ax + b \quad (a \neq 0)$	1 शून्यक ($x = -b/a$)
द्विघात बहुपद (Quadratic)	2	$p(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$	अधिकतम 2 शून्यक ($\alpha, \beta$)
त्रिघात बहुपद (Cubic)	3	$p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \quad (a \neq 0)$	अधिकतम 3 शून्यक ($\alpha, \beta, \gamma$)

(ग) बहुपद का शून्यक (Zero of a Polynomial):

एक वास्तविक संख्या $k$ बहुपद $p(x)$ का एक शून्यक कहलाती है, यदि $p(k) = 0$ हो।

उदाहरण: यदि $p(x) = x^2 - 3x - 4$ हो, तो $x = 4$ रखने पर: $p(4) = 4^2 - 3(4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$। अतः $4$ इस बहुपद का एक शून्यक है।

2. बहुपदों के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ (Geometrical Meaning)

जब हम किसी बहुपद $y = p(x)$ का ग्राफ (आलेख) कार्तीय तल पर खींचते हैं:

स्वर्णिम ज्यामितीय नियम (JAC Board 1 अंक बहुविकल्पीय):
"बहुपद $y = p(x)$ के वास्तविक शून्यक उन बिंदुओं के $x$-निर्देशांक होते हैं जहाँ $y = p(x)$ का आलेख $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद (काटता) या स्पर्श करता है।"

(क) द्विघात बहुपद का आलेख: परवलय (Parabola)

द्विघात बहुपद $y = ax^2 + bx + c$ का ग्राफ एक 'U' के आकार का वक्र होता है जिसे परवलय कहते हैं:

यदि $a > 0$ हो (जैसे $y = 2x^2 + 3$), तो परवलय ऊपर की ओर खुला (Opens upwards $\cup$) होता है।
यदि $a < 0$ हो (जैसे $y = -x^2 + 4$), तो परवलय नीचे की ओर खुला (Opens downwards $\cap$) होता है।

(ख) शून्यकों की संख्या की तीन स्थितियां:

स्थिति	आलेख का $X$-अक्ष के साथ व्यवहार	शून्यकों की संख्या
स्थिति 1	आलेख $X$-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं $A$ और $A'$ पर काटता है।	2 वास्तविक एवं भिन्न शून्यक
स्थिति 2	आलेख $X$-अक्ष को केवल एक ही बिंदु पर स्पर्श करता है।	1 शून्यक (वास्तव में दो संपाती शून्यक)
स्थिति 3	आलेख पूरी तरह $X$-अक्ष के ऊपर या नीचे रहता है और $X$-अक्ष को कहीं नहीं काटता।	0 शून्यक (कोई वास्तविक शून्यक नहीं)

3. द्विघात बहुपद के शून्यकों एवं गुणांकों के बीच संबंध

मान लीजिए कि $\alpha$ (अल्फा) और $\beta$ (बीटा) द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) के दो शून्यक हैं।

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, $(x - \alpha)$ और $(x - \beta)$, $p(x)$ के गुणनखंड होंगे:

$$ax^2 + bx + c = k(x - \alpha)(x - \beta) = k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta] = kx^2 - k(\alpha + \beta)x + k\alpha\beta$$

दोनों पक्षों में $x^2, x$ तथा अचर पदों के गुणांकों की तुलना करने पर:

$$a = k, \quad b = -k(\alpha + \beta), \quad c = k\alpha\beta$$

द्विघात बहुपद के दो मौलिक संबंध (कंठस्थ करें - JAC 3 अंक):
1. शून्यकों का योगफल (Sum of zeroes): $$\mathbf{\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^2 \text{ का गुणांक}}}$$ 2. शून्यकों का गुणनफल (Product of zeroes): $$\mathbf{\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}}}$$

(ख) त्रिघात बहुपद के संबंध (अतिरिक्त ज्ञान):

यदि $\alpha, \beta, \gamma$ त्रिघात बहुपद $ax^3 + bx^2 + cx + d$ के शून्यक हों:

$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

4. शून्यकों के योग और गुणनफल से द्विघात बहुपद की रचना

यदि हमें किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों का योगफल $S = (\alpha + \beta)$ तथा शून्यकों का गुणनफल $P = (\alpha\beta)$ दिया गया हो, तो अभीष्ट द्विघात बहुपद का सूत्र निम्नलिखित होता है:

द्विघात बहुपद निर्माण सूत्र: $$p(x) = k [x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta] = \mathbf{k [x^2 - Sx + P]}$$ जहाँ $k$ कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या (Non-zero real number) है।

(ख) भिन्न वाले मानों को हल करने की सरल विधि:

यदि योग $S = -\frac{1}{4}$ तथा गुणनफल $P = \frac{1}{4}$ दिया हो:

$$p(x) = k \left[x^2 - \left(-\frac{1}{4}\right)x + \frac{1}{4}\right] = k \left[x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}\right] = k \left[\frac{4x^2 + x + 1}{4}\right]$$

हर 4 को समाप्त करने के लिए $k = 4$ चुनने पर:

$$p(x) = 4x^2 + x + 1$$

यह विधि परीक्षा में शत-प्रतिशत सटीक और समय बचाने वाली है।

Key Formulas, Identities & Theorems

रैखिक बहुपद का शून्यक

$$ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}$$

द्विघात शून्यकों का योग

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{\text{Coeff of } x}{\text{Coeff of } x^2}$$

द्विघात शून्यकों का गुणनफल

$$\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{\text{Constant term}}{\text{Coeff of } x^2}$$

द्विघात बहुपद निर्माण सूत्र

$$p(x) = k [x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta] = k [x^2 - Sx + P]$$

त्रिघात शून्यकों का योग

$$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$$

त्रिघात दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग

$$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$$

त्रिघात शून्यकों का गुणनफल

$$\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$$

शून्यकों की संख्या का नियम

शून्यकों की संख्या = आलेख के X-अक्ष प्रतिच्छेद बिंदुओं की संख्या

Conceptual Solved Examples & Case Studies

Example 1

प्रश्न 1 (JAC 2023 - 3 अंक): द्विघात बहुपद x² - 2x - 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

Step-by-Step Solution:

हल: 1. शून्यक ज्ञात करना (मध्य पद विभक्त करके): दिया गया बहुपद: $p(x) = x^2 - 2x - 8$ हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणा $-8$ हो और जोड़ $-2$ हो:

$$-4 + 2 = -2 \quad \text{तथा} \quad (-4) \times 2 = -8$$

$$p(x) = x^2 - 4x + 2x - 8$$

$$p(x) = x(x - 4) + 2(x - 4) = (x - 4)(x + 2)$$

शून्यकों के लिए $p(x) = 0$:

$$(x - 4)(x + 2) = 0 \implies x - 4 = 0 \quad \text{या} \quad x + 2 = 0$$

$$x = 4 \quad \text{या} \quad x = -2$$

अतः शून्यक $\alpha = 4$ तथा $\beta = -2$ हैं।

2. गुणांकों की पहचान: मानक रूप $ax^2 + bx + c$ से तुलना करने पर:

$$a = 1, \quad b = -2, \quad c = -8$$

3. संबंधों की सत्यता की जाँच: (क) शून्यकों का योगफल:

$$\alpha + \beta = 4 + (-2) = 2$$

$$-\frac{b}{a} = -\frac{(-2)}{1} = 2$$

अतः $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ (सत्यापित)

(ख) शून्यकों का गुणनफल:

$$\alpha\beta = 4 \times (-2) = -8$$

$$\frac{c}{a} = \frac{-8}{1} = -8$$

अतः $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ (सत्यापित)

अतः शून्यकों एवं गुणांकों के बीच संबंध पूर्णतः सत्य हैं।

Example 2

प्रश्न 2 (JAC 2022 - 3 अंक): द्विघात बहुपद 4s² - 4s + 1 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

Step-by-Step Solution:

हल: 1. गुणनखंडन द्वारा शून्यक: दिया गया बहुपद: $p(s) = 4s^2 - 4s + 1$ गुणा $= 4 \times 1 = 4$, जोड़ $= -4$ (संख्याएँ $-2, -2$):

$$4s^2 - 2s - 2s + 1 = 2s(2s - 1) - 1(2s - 1) = (2s - 1)(2s - 1)$$

शून्यक हेतु $p(s) = 0$:

$$2s - 1 = 0 \implies s = \frac{1}{2}$$

अतः दोनों शून्यक समान हैं: $\alpha = \frac{1}{2}$ तथा $\beta = \frac{1}{2}$।

2. गुणांक: $a = 4, b = -4, c = 1$

3. संबंध सत्यापन: • योगफल:

$$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

$$-\frac{b}{a} = -\frac{(-4)}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

$\implies \alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ (सत्यापित)

• गुणनफल:

$$\alpha\beta = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{c}{a} = \frac{1}{4}$$

$\implies \alpha\beta = \frac{c}{a}$ (सत्यापित)

Example 3

प्रश्न 3 (JAC 2021 - 3 अंक): बहुपद t² - 15 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

Step-by-Step Solution:

हल: 1. शून्यक ज्ञात करना: दिया गया बहुपद: $p(t) = t^2 - 15$ सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का प्रयोग करने पर:

$$t^2 - (\sqrt{15})^2 = (t - \sqrt{15})(t + \sqrt{15})$$

शून्यक हेतु $p(t) = 0$:

$$t - \sqrt{15} = 0 \implies t = \sqrt{15}$$

$$t + \sqrt{15} = 0 \implies t = -\sqrt{15}$$

अतः शून्यक $\alpha = \sqrt{15}$ तथा $\beta = -\sqrt{15}$ हैं।

2. गुणांक: मानक रूप $at^2 + bt + c$ से तुलना करने पर:

$$a = 1, \quad b = 0 \text{ (t का पद अनुपस्थित है)}, \quad c = -15$$

3. संबंधों की सत्यता: • योगफल: $\alpha + \beta = \sqrt{15} + (-\sqrt{15}) = 0$

$$-\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0 \implies \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \text{ (सत्यापित)}$$

• गुणनफल: $\alpha\beta = (\sqrt{15})(-\sqrt{15}) = -15$

$$\frac{c}{a} = \frac{-15}{1} = -15 \implies \alpha\beta = \frac{c}{a} \text{ (सत्यापित)}$$

Example 4

प्रश्न 4 (JAC 2020 - 2 अंक): एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः -3 और 2 हैं।

Step-by-Step Solution:

हल: 1. दिए गए मान: • शून्यकों का योगफल, $S = (\alpha + \beta) = -3$ • शून्यकों का गुणनफल, $P = (\alpha\beta) = 2$

2. द्विघात बहुपद निर्माण सूत्र:

$$p(x) = k [x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta]$$

मान रखने पर:

$$p(x) = k [x^2 - (-3)x + 2] = k [x^2 + 3x + 2]$$

$k = 1$ चुनने पर: अभीष्ट द्विघात बहुपद $x^2 + 3x + 2$ है।

Example 5

प्रश्न 5 (JAC 2019 - 2 अंक): एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः √2 और 1/3 हैं।

Step-by-Step Solution:

हल: 1. दिए गए मान: • शून्यकों का योगफल, $S = \sqrt{2}$ • शून्यकों का गुणनफल, $P = \frac{1}{3}$

2. द्विघात बहुपद सूत्र:

$$p(x) = k [x^2 - Sx + P] = k \left[x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{3}\right]$$

ल.स. लेने पर:

$$p(x) = k \left[\frac{3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1}{3}\right]$$

भिन्न समाप्त करने के लिए $k = 3$ चुनने पर:

$$p(x) = \mathbf{3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1}$$

उत्तर: अभीष्ट द्विघात बहुपद $3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1$ है।

Common Misconceptions & Examiner Traps

Common Misconception

शून्यकों के योग सूत्र में ऋण चिह्न भूल जाना (b/a लिख देना)।

Scientific Reality & Correction

कंठस्थ रखें: योगफल हमेशा -b/a (माइनस b बटा a) होता है; गुणनफल c/a (प्लस) होता है।

Common Misconception

बहुपद सूत्र में x² - Sx + P की जगह x² + Sx + P लिख देना।

Scientific Reality & Correction

सूत्र में बीच में MINUS होता है: k[x² - (α+β)x + αβ]! योगफल का चिह्न हमेशा बदलता है।

Common Misconception

प्रश्न में दिए गए मानों को सीधे α और β मान लेना, जबकि वे (α+β) और αβ दिए गए हों।

Scientific Reality & Correction

प्रश्न को ध्यान से पढ़ें: यदि "शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः..." लिखा है, तो वे सीधे S और P हैं, अलग-अलग α और β नहीं!

Common Misconception

आलेख के Y-अक्ष प्रतिच्छेद बिंदुओं को भी शून्यकों में गिन लेना।

Scientific Reality & Correction

शून्यक केवल और केवल X-अक्ष के प्रतिच्छेद बिंदुओं से मिलते हैं; Y-अक्ष को जहाँ काटा जाता है उससे शून्यकों का कोई संबंध नहीं है।

Common Misconception

t² - 15 में b का मान -15 लिख देना।

Scientific Reality & Correction

t का पद अनुपस्थित है अतः b = 0 है; -15 अचर पद (c) है।

बहुपद: आलेखीय ज्यामिति (परवलय), शून्यक संबंध एवं बहुपद निर्माण चार्ट

Chapter Summary & 10 Key Takeaways

Takeaway 1

बहुपद में चर की घातें केवल अऋणात्मक पूर्णांक (0, 1, 2, 3...) होती हैं; उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है।

Takeaway 2

रैखिक बहुपद (घात 1) का आलेख सरल रेखा, द्विघात (घात 2) का आलेख परवलय (U-आकार) होता है।

Takeaway 3

y = p(x) के वास्तविक शून्यकों की संख्या आलेख द्वारा X-अक्ष को काटे गए बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है।

Takeaway 4

द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यकों का योगफल: α + β = -b/a = -(x का गुणांक / x² का गुणांक)।

Takeaway 5

द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यकों का गुणनफल: αβ = c/a = (अचर पद / x² का गुणांक)।

Takeaway 6

शून्यक ज्ञात करने के लिए मध्य पद विभक्त करके गुणनखंड बनाए जाते हैं और प्रत्येक को 0 के बराबर रखा जाता है।

Takeaway 7

यदि योग S और गुणनफल P ज्ञात हों, तो द्विघात बहुपद p(x) = k[x² - Sx + P] होता है।

Takeaway 8

यदि परवलय X-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटे तो 2 शून्यक, स्पर्श करे तो 1 शून्यक, न काटे तो 0 शून्यक होते हैं।

Takeaway 9

त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के 3 शून्यक होते हैं: योग = -b/a, गुणनफल = -d/a।

Takeaway 10

जाँच करते समय याद रखें कि योगफल सूत्र में ऋण चिह्न (-b/a) अनिवार्य रूप से होता है।

Check Your Understanding (Diagnostic Practice Questions)

Diagnostic questions testing core conceptual clarity. Answers are hidden initially — solve each problem first, then click to reveal the step-by-step verified solution.

1. द्विघात बहुपद x² - 7x + 12 के शून्यक क्या होंगे?

Reveal Answer & Explanation

Answer: x² - 4x - 3x + 12 = 0 ⇒ (x - 4)(x - 3) = 0 ⇒ शून्यक x = 4 तथा x = 3 हैं।

2. यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक 2 और -5 हों, तो वह द्विघात बहुपद क्या होगा?

Reveal Answer & Explanation

Answer: योग S = 2 + (-5) = -3; गुणनफल P = 2 × (-5) = -10; बहुपद p(x) = x² - (-3)x + (-10) = x² + 3x - 10।

3. बहुपद 4u² + 8u के शून्यक ज्ञात कीजिए।

Reveal Answer & Explanation

Answer: 4u(u + 2) = 0 ⇒ u = 0 अथवा u = -2; शून्यक 0 और -2 हैं।

4. यदि किसी द्विघात बहुपद का आलेख X-अक्ष को कहीं भी प्रतिच्छेद या स्पर्श नहीं करता, तो उसके वास्तविक शून्यकों की संख्या कितनी होगी?

Reveal Answer & Explanation

Answer: 0 (शून्य); उसके कोई वास्तविक शून्यक नहीं होंगे।

5. द्विघात बहुपद 3x² - x - 4 के शून्यकों के योगफल और गुणनफल का मान सीधे सूत्र से बताइए।

Reveal Answer & Explanation

Answer: योगफल α + β = -b/a = -(-1)/3 = 1/3; गुणनफल αβ = c/a = -4/3।

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