Wave Optics

1.1 तरंगाग्र (Wavefront) की परिभाषा एवं प्रकार

परिभाषा: किसी माध्यम में प्रकाश स्रोत से निकलने वाले विक्षोभ के कारण समान कला (Same Phase) में कंपन करने वाले सभी कणों के बिंदुपथ (Locus) को तरंगाग्र कहते हैं। प्रकाश किरणें सदैव तरंगाग्र के लंबवत होती हैं।

• 1. गोलीय तरंगाग्र (Spherical Wavefront): किसी बिंदु प्रकाश स्रोत (Point Source) से परिमित दूरी पर उत्पन्न तरंगाग्र संकेंद्री गोले होते हैं।
• 2. बेलनाकार तरंगाग्र (Cylindrical Wavefront): किसी रेखीय प्रकाश स्रोत (जैसे संकीर्ण स्लिट अथवा ट्यूबलाइट) से परिमित दूरी पर उत्पन्न तरंगाग्र संकेंद्री बेलन होते हैं।
• 3. समतल तरंगाग्र (Plane Wavefront): जब कोई प्रकाश स्रोत (बिंदु या रेखीय) अत्यधिक अनंत दूरी पर स्थित हो (जैसे सूर्य या दूरस्थ तारा), तो तरंगाग्र का एक छोटा भाग समतल प्रतीत होता है।

1.2 हाइगेंस का द्वितीयक तरंगिकाओं का सिद्धांत (Huygens' Principle)

1. किसी तरंगाग्र का प्रत्येक बिंदु एक नए विक्षोभ स्रोत की भांति कार्य करता है, जिससे नई गोलीय तरंगें निकलती हैं जिन्हें द्वितीयक तरंगिकाएं (Secondary Wavelets) कहते हैं। ये तरंगिकाएं माध्यम में प्रकाश के वेग ($v$) से आगे बढ़ती हैं।
2. किसी दिए गए समय $t$ पर इन द्वितीयक तरंगिकाओं को आगे की ओर स्पर्श करने वाला पृष्ठ (अन्वालोप - Forward Envelope) उस क्षण नए तरंगाग्र की स्थिति को प्रदर्शित करता है।

1.3 हाइगेंस सिद्धांत द्वारा प्रकाश के अपवर्तन के नियम का निगमन (स्नेल नियम)

2.1 व्यतिकरण की परिभाषा एवं परिणामी तीव्रता

परिभाषा: जब समान आवृत्ति तथा लगभग समान आयाम की दो प्रकाश तरंगें एक ही दिशा में संचरित होकर एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं, तो माध्यम में प्रकाश ऊर्जा का पुनर्वितरण हो जाता है—कुछ स्थानों पर तीव्रता अधिकतम (दीप्त) तथा कुछ स्थानों पर न्यूनतम या शून्य (अदीप्त) हो जाती है। इस घटना को प्रकाश का व्यतिकरण कहते हैं।

• यदि $y_1 = a_1 \sin(\omega t)$ तथा $y_2 = a_2 \sin(\omega t + \phi)$ हों, तो परिणामी आयाम $R$ तथा तीव्रता $I$:$$R^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos\phi$$$$\mathbf{I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos\phi}$$यदि $I_1 = I_2 = I_0$ हो: $\mathbf{I = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)}$

2.2 संपोषी एवं विनाशी व्यतिकरण की शर्तें

2.3 कला-संबद्ध स्रोत (Coherent Sources)

3.1 प्रयोग की व्यवस्था एवं किरण आरेख

थॉमस यंग (1801) ने एक संकीर्ण स्लिट $S$ के आगे दो समांतर संकीर्ण स्लिटें $S_1$ व $S_2$ रखीं जो परस्पर $d$ दूरी पर हैं। स्लिटों से $D$ दूरी पर एक पर्दा रखा गया है।

• पर्दे के किसी बिंदु $P$ (केंद्रीय बिंदु $O$ से दूरी $y$) पर दोनों स्लिटों से पहुँचने वाली तरंगों का पथांतर:$$\Delta x = S_2 P - S_1 P = d \sin\theta \approx d \tan\theta = \mathbf{\frac{y d}{D}}$$

3.2 फ्रिंज चौड़ाई (Fringe Width - $\beta$) का संपूर्ण निगमन

1. $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति: संपोषी शर्त $\Delta x = n\lambda$ से:
   $$\frac{y_n d}{D} = n\lambda \implies \mathbf{y_n = n \frac{\lambda D}{d}} \quad (n = 0, 1, 2...)$$
2. $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति: विनाशी शर्त $\Delta x = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$ से:
   $$\mathbf{y_n' = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d}} \quad (n = 1, 2, 3...)$$
3. फ्रिंज चौड़ाई (Fringe Width - $\beta$): किन्हीं दो क्रमागत दीप्त अथवा अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी:
   $$\beta = y_{n} - y_{n-1} = n \frac{\lambda D}{d} - (n - 1) \frac{\lambda D}{d}$$
   
   $$\mathbf{\beta = \frac{\lambda D}{d}}$$
   • निष्कर्ष: YDSE में सभी दीप्त एवं अदीप्त फ्रिंजों की चौड़ाई परस्पर बिल्कुल समान होती है।
   • माध्यम बदलने का प्रभाव: जब उपकरण को जल ($n$) में डुबो दिया जाता है, तो तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda/n$ हो जाती है, जिससे फ्रिंज चौड़ाई $\mathbf{\beta' = \frac{\beta}{n}}$ (घट जाती है)।
   • श्वेत प्रकाश का उपयोग: केंद्रीय फ्रिंज श्वेत होती है तथा दोनों ओर कुछ रंगीन फ्रिंजें दिखती हैं।

4.1 प्रकाश के विवर्तन की परिभाषा

परिभाषा: जब प्रकाश की किरणें किसी अत्यंत संकीर्ण छिद्र, झिरी या किसी तीक्ष्ण अवरोध (जिसका आकार प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के तुल्य हो, $a \approx \lambda$) के किनारों से टकराती हैं, तो वे किनारों पर मुड़कर ज्यामितीय छाया वाले क्षेत्र में प्रवेश कर जाती हैं। इस घटना को प्रकाश का विवर्तन कहते हैं।

4.2 एकल झिरी द्वारा फ्रॉनहॉफर विवर्तन (Fraunhofer Diffraction at a Single Slit)

माना $a$ चौड़ाई की एक एकल झिरी पर $\lambda$ तरंगदैर्ध्य का समतल तरंगाग्र आपतित होता है। झिरी से $D$ दूरी पर रखे पर्दे पर विवर्तन प्रतिरूप प्राप्त होता है:

• निम्निष्ठों की स्थिति (Condition of Minima): झिरी के दोनों सिरों के बीच पथांतर $a \sin\theta = n\lambda$ होने पर झिरी दो बराबर हिस्सों में बंट जाती है जो एक-दूसरे को विनाशी व्यतिकरण द्वारा निरस्त कर देते हैं:$$\mathbf{a \sin\theta = n \lambda \implies \theta_n \approx \frac{n\lambda}{a}} \quad (n = 1, 2, 3...)$$पर्दे पर प्रथम निम्निष्ठ की दूरी: $y_1 = \frac{\lambda D}{a}$
• केंद्रीय उच्चिष्ठ (Central Maximum): $\theta = 0$ पर सभी तरंगिकाएं समान कला में मिलती हैं, जिससे केंद्र पर अत्यंत तीव्र व चौड़ा चमकीला पट्टा बनता है।
• केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई: प्रथम निम्निष्ठों के बीच का कोणीय फैलाव:$$\mathbf{2\theta = \frac{2\lambda}{a}}$$
• केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई:$$\mathbf{\beta_0 = 2 y_1 = \frac{2\lambda D}{a} = 2\beta}$$(केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई अन्य गौण उच्चिष्ठों की चौड़ाई से ठीक दोगुनी होती है!)

4.3 व्यतिकरण एवं विवर्तन में अंतर (Interference vs Diffraction)

5.1 प्रकाश का ध्रुवण एवं अनुप्रस्थ प्रकृति

ध्रुवण: साधारण (अध्रुवित) प्रकाश में विद्युत सदिश $\vec{E}$ के कंपन तरंग संचरण दिशा के लंबवत सभी दिशाओं में सममित रूप से होते हैं। जब इस प्रकाश को टूरमैलीन क्रिस्टल या पोलेरॉइड से गुजारा जाता है, तो इसके कंपन केवल एक ही तल में सीमित रह जाते हैं। इस घटना को प्रकाश का ध्रुवण कहते हैं।

• मैलस का नियम (Malus' Law): जब पूर्णतः समतल ध्रुवित प्रकाश किसी विश्लेषक (Analyzer) से गुजरता है जिसकी अक्ष ध्रुवक से $\theta$ कोण पर झुकी है:$$\mathbf{I = I_0 \cos^2\theta}$$• जब दोनों अक्ष समानांतर हों ($\theta = 0^\circ$): $I = I_0$ (अधिकतम पारगमन)।
  • जब दोनों अक्ष क्रॉसित हों ($\theta = 90^\circ$): $I = 0$ (पूर्ण अंधकार)।

5.2 परावर्तन द्वारा ध्रुवण एवं ब्रूस्टर का नियम (Brewster's Law)