(क) बहुपद क्या है और क्या नहीं है?
व्यंजक $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ एक बहुपद है, यदि चर $x$ की सभी घातें अऋणात्मक पूर्णांक (Non-negative integers: $0, 1, 2, 3\dots$) हों।
- बहुपद हैं: $2x^2 - 3x + 4$, $5x^3 - 2$, $\sqrt{3}x + 5$, $7$ (अचर बहुपद, घात 0)।
- बहुपद नहीं हैं (चेतावनी!):
- $\frac{1}{x} = x^{-1}$ (घात ऋणात्मक है)।
- $\sqrt{x} + 2 = x^{1/2} + 2$ (घात भिन्न में है)।
- $\frac{1}{x^2 + 2x + 1}$ (हर में चर है)।
(ख) घात के आधार पर बहुपदों का वर्गीकरण:
| प्रकार | घात (Degree) | मानक रूप (Standard Form) | अधिकतम शून्यकों की संख्या |
|---|---|---|---|
| रैखिक बहुपद (Linear) | 1 | $p(x) = ax + b \quad (a \neq 0)$ | 1 शून्यक ($x = -b/a$) |
| द्विघात बहुपद (Quadratic) | 2 | $p(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$ | अधिकतम 2 शून्यक ($\alpha, \beta$) |
| त्रिघात बहुपद (Cubic) | 3 | $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \quad (a \neq 0)$ | अधिकतम 3 शून्यक ($\alpha, \beta, \gamma$) |
(ग) बहुपद का शून्यक (Zero of a Polynomial):
एक वास्तविक संख्या $k$ बहुपद $p(x)$ का एक शून्यक कहलाती है, यदि $p(k) = 0$ हो।
उदाहरण: यदि $p(x) = x^2 - 3x - 4$ हो, तो $x = 4$ रखने पर: $p(4) = 4^2 - 3(4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$। अतः $4$ इस बहुपद का एक शून्यक है।