बीजीय व्यंजक एवं बहुपद (Algebraic Expressions and Polynomials)

हल: 1. शून्य ज्ञात करना (मध्य पद विभक्त करके): दिया गया ब्युपद: $p(x) = x^2 - 2x - 8$ हमें ऐसी दो संख्या चाहिए जैसे गुणा $-8$ हो और जोड़ $-2$ हो:

$$-4 + 2 = -2 \quad \text{तथा} \quad (-4) \times 2 = -8$$

$$p(x) = x^2 - 4x + 2x - 8$$

$$p(x) = x(x - 4) + 2(x - 4) = (x - 4)(x + 2)$$

$p(x) = 0$ के लिए शून्य:

$$(x - 4)(x + 2) = 0 \implies x - 4 = 0 \quad \text{या} \quad x + 2 = 0$$

$$x = 4 \quad \text{या} \quad x = -2$$

मूलतः शून्यक $\alpha = 4$ तथा $\beta = -2$ हैं।

2. गुणों की पहचान: मानक रूप $ax^2 + bx + c$ से तुलना करने पर:

$$a = 1, \quad b = -2, \quad c = -8$$

3. जांच की सत्यता की जांच: (क) शून्यकों का योगफल:

$$\alpha + \beta = 4 + (-2) = 2$$

$$-\frac{b}{a} = -\frac{(-2)}{1} = 2$$

मूलतः $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ (सत्यापित)

(ख) शून्यकों का गुणनफल:

$$\alpha\beta = 4 \times (-2) = -8$$

$$\frac{c}{a} = \frac{-8}{1} = -8$$

मूलतः $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ (सत्यापित)

मूलतः शून्य एवं गुणों के बीच संबंध पूर्णतः सत्य हैं।

हल: 1. गुणनखंडन द्वारा शून्य: दिया गया ब्युपद: $p(s) = 4s^2 - 4s + 1$ गुणा $= 4 \times 1 = 4$, जोड़ $= -4$ (संख्याएँ $-2, -2$):

$$4s^2 - 2s - 2s + 1 = 2s(2s - 1) - 1(2s - 1) = (2s - 1)(2s - 1)$$

शून्य चरण $p(s) = 0$:

$$2s - 1 = 0 \implies s = \frac{1}{2}$$

मूलतः दोनों शून्यक समान हैं: $\alpha = \frac{1}{2}$ तथा $\beta = \frac{1}{2}$।

2. गुणवत्ता: $a = 4, b = -4, c = 1$

3. संबंध निर्धारण: • योगफल:

$$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

$$-\frac{b}{a} = -\frac{(-4)}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

$\implies \alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ (सत्यपित)

• गुणफल:

$$\alpha\beta = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{c}{a} = \frac{1}{4}$$

$\implies \alpha\beta = \frac{c}{a}$ (सत्यपित)

हल: 1. शून्य ज्ञात करना: दिया गया ब्युपद: $p(t) = t^2 - 15$ सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का प्रयोग करने पर:

$$t^2 - (\sqrt{15})^2 = (t - \sqrt{15})(t + \sqrt{15})$$

शून्य विकास $p(t) = 0$:

$$t - \sqrt{15} = 0 \implies t = \sqrt{15}$$

$$t + \sqrt{15} = 0 \implies t = -\sqrt{15}$$

मूलतः शून्यक $\alpha = \sqrt{15}$ तथा $\beta = -\sqrt{15}$ हैं।

2. गुणवत्ता: मानक रूप $at^2 + bt + c$ से तुलना करने पर:

$$a = 1, \quad b = 0 \text{ (t का पद अनुपस्थित है)}, \quad c = -15$$

3. डाउनलोड की सत्यता: • योगफल: $\alpha + \beta = \sqrt{15} + (-\sqrt{15}) = 0$

$$-\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0 \implies \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \text{ (सत्यापित)}$$

• गुणफल: $\alpha\beta = (\sqrt{15})(-\sqrt{15}) = -15$

$$\frac{c}{a} = \frac{-15}{1} = -15 \implies \alpha\beta = \frac{c}{a} \text{ (सत्यापित)}$$

हल: 1. दिए गए मन: • शून्य का योगफल, $S = (\alpha + \beta) = -3$ • शून्य का गुणनफल, $P = (\alpha\beta) = 2$

2. द्विघात बहुपद निर्माण सूत्र:

$$p(x) = k [x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta]$$

मान रखें पर:

$$p(x) = k [x^2 - (-3)x + 2] = k [x^2 + 3x + 2]$$

$k = 1$ फ़्रॉमरेट पर: अभीष्ट द्विघात बहुपद $x^2 + 3x + 2$ है।

हल: 1. दिए गए मन: • शून्य का योगफल, $S = \sqrt{2}$ • शून्य का गुणनफल, $P = \frac{1}{3}$

2. द्विघात बहुपद सूत्र:

$$p(x) = k [x^2 - Sx + P] = k \left[x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{3}\right]$$

एल.एस. लेने पर:

$$p(x) = k \left[\frac{3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1}{3}\right]$$

$k = 3$ चित्रांकन पर भिन्न समाप्ति के लिए:

$$p(x) = \mathbf{3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1}$$

उत्तर: अभीष्ट द्विघात बहुपद $3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1$ है।