Angles in a Circle and Cyclic Quadrilateral

• जीवा (Chord): वृत्त पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड। वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली जीवा वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है, जिसे व्यास (Diameter - $d = 2r$) कहते हैं।
• चाप (Arc): वृत्त की परिधि का एक सतत भाग चाप कहलाता है। दो बिंदुओं के बीच छोटे भाग को लघु चाप (Minor Arc) तथा बड़े भाग को दीर्घ चाप (Major Arc) कहते हैं।
• वृत्तखंड (Segment): एक जीवा और उसके संगत चाप के बीच का क्षेत्र वृत्तखंड कहलाता है (लघु वृत्तखंड और दीर्घ वृत्तखंड)।
• त्रिज्यखंड (Sector): केंद्र को एक चाप के सिरों से मिलाने वाली दो त्रिज्याओं और चाप के बीच का क्षेत्र त्रिज्यखंड कहलाता है।

1. प्रमेय 9.1: वृत्त की बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
   उपपत्ति: $\triangle AOB$ और $\triangle COD$ में $OA = OC = r, OB = OD = r$, तथा $AB = CD$ (दिया है)। SSS सर्वांगसमता से $\triangle AOB \cong \triangle COD \implies \angle AOB = \angle COD$ (CPCT)।
2. प्रमेय 9.3: एक वृत्त के केंद्र से एक जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
   यदि $OM \perp AB$ हो, तो $AM = MB = \frac{1}{2}AB$।
   संख्यात्मक स्वर्णिम सूत्र: समकोण त्रिभुज $\triangle OMA$ में पाइथागोरस प्रमेय से: $$r^2 = OM^2 + AM^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2$$ जहाँ $r$ = त्रिज्या, $d$ = केंद्र से लंबवत दूरी, तथा $AB$ = जीवा की लंबाई।
3. प्रमेय 9.5: एक वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं ($AB = CD \implies OM = ON$)।

प्रमेय कथन: एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दुगुना (Double) होता है।

उपपत्ति (Formal Step-by-Step Proof):

1. दिया है: एक वृत्त जिसका केंद्र $O$ है। चाप $AB$ केंद्र पर $\angle AOB$ तथा वृत्त के शेष भाग पर स्थित बिंदु $P$ पर $\angle APB$ अंतरित करता है।
2. सिद्ध करना है: $\angle AOB = 2\angle APB$
3. रचना: रेखाखंड $PO$ को खींचकर एक बिंदु $Q$ तक आगे बढ़ाते हैं।
4. उपपत्ति:
   • त्रिभुज $\triangle OAP$ में: $OA = OP = r$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
     समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय से: $\angle OPA = \angle OAP$।
     त्रिभुज $\triangle OAP$ के बहिष्कोण $\angle AOQ$ के लिए: $$\angle AOQ = \angle OPA + \angle OAP = 2\angle OPA \quad \text{--- (समीकरण 1)}$$
   • इसी प्रकार, त्रिभुज $\triangle OBP$ में: $OB = OP = r \implies \angle OPB = \angle OBP$।
     बहिष्कोण $\angle BOQ$ के लिए: $$\angle BOQ = \angle OPB + \angle OBP = 2\angle OPB \quad \text{--- (समीकरण 2)}$$
   • समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर: $$\angle AOQ + \angle BOQ = 2\angle OPA + 2\angle OPB$$ $$\angle AOB = 2(\angle OPA + \angle OPB) = 2\angle APB$$

अतः सिद्ध हुआ कि $\angle AOB = 2\angle APB$! (इति सिद्धम्)।

प्रमेय कथन: एक ही वृत्तखंड के कोण परस्पर बराबर (Equal) होते हैं।

उपपत्ति: प्रमेय 9.7 के अनुसार: $$\angle AOB = 2\angle APB \implies \angle APB = \frac{1}{2}\angle AOB$$ तथा $\angle AOB = 2\angle AQB \implies \angle AQB = \frac{1}{2}\angle AOB$ अतः $\angle APB = \angle AQB$ (इति सिद्धम्)।

जब चाप एक अर्धवृत्त (Semicircle) होता है, तो व्यास $AB$ केंद्र $O$ पर एक सरल रेखा बनाता है, अतः केंद्र पर अंतरित कोण: $$\angle AOB = 180^\circ \quad (\text{ऋजुकोण})$$ प्रमेय 9.7 से, अर्धवृत्त की परिधि पर स्थित किसी बिंदु $P$ पर बना कोण: $$\angle APB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$$

एक चतुर्भुज $ABCD$ चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral) कहलाता है यदि इसके चारों शीर्ष एक ही वृत्त की परिधि पर स्थित हों (अर्थात् शीर्ष संवृत्तीय / Concyclic हों)।

प्रमेय 9.10: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के प्रत्येक युग्म का योग $180^\circ$ (दो समकोण) होता है।

प्रमेय 9.11 (विलोम): यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^\circ$ हो, तो वह चतुर्भुज चक्रीय होता है।

यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज की एक भुजा को आगे बढ़ाया जाए, तो बनने वाला बहिष्कोण अपने अभिमुख अंतःकोण (Interior Opposite Angle) के बराबर होता है:

कारण: $\u0007ngle B + \u0007ngle CBE = 180^\circ$ (रैखिक युग्म) तथा $\u0007ngle B + \u0007ngle D = 180^\circ$ (चक्रीय चतुर्भुज सम्मुख कोण)। तुलना करने पर $\u0007ngle CBE = \u0007ngle D$ प्राप्त होता है।