वृत्त में कोण एवं चक्रीय चतुर्भुज (Angles in a Circle and Cyclic Quad)

• जीवा (कॉर्ड): वृत्त पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड। वृत्त के केंद्र से जाने वाली जीव वृत्त की सबसे लंबी जीव होती है, जिसे व्यास (व्यास - $d = 2r$) कहते हैं।
• चाप (आर्क): वृत्त का परिवर्तन का एक सतत भाग चाप चाप है। दो नमूनों के बीच छोटे भाग को लघु चाप (माइनर आर्क) और बड़े भाग को दीर्घ चाप (मेजर आर्क) कहते हैं।
• वृत्तखंड (खंड): एक जीव और उसके सात चाप के बीच का क्षेत्र वृत्तखंड है (लघु वृत्तखंड और दीर्घ वृत्तखंड)।
• त्रिज्यखंड (सेक्टर): केंद्र को एक चाप के सिरों से मिलाने वाली दो त्रैमासिक और चाप के बीच का क्षेत्र त्रिज्यखंड है।

1. प्रमेय 9.1: वृत्त की समानता वाले जीवों का केंद्र पर समानता का अंतर होता है।
   उपपट्टा: $\triangle AOB$ और $\triangle COD$ में $OA = OC = r, OB = OD = r$, और $AB = CD$ (दिया गया है)। SSS सर्वांगसमता से $\triangle AOB \cong \triangle COD \implies \angle AOB = \angle COD$ (CPCT).
2. प्रमेय 9.3: एक वृत्त के केंद्र से एक जीव डाला गया लंब जीव को समद्विभाजित करता है।
   यदि $OM \perp AB$ हो, तो $AM = MB = \frac{1}{2}AB$।
   सांख्यिक स्वर्णिम सूत्र: समकोण तेमाल $\triangle OMA$ में पायथागोरस प्रमेय से: $$r^2 = OM^2 + AM^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2$$ जहां $r$ = त्रिशूल, $d$ = केंद्र से उड़ान दूरी, तथा $AB$ = जीव की लंबाई।
3. प्रमेय 9.5: एक वृत्त की समान जीवें केन्द्र से समान दूरी हैं ($AB = CD \implies OM = ON$).

प्रमुख वर्णन: एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दुगुना (डबल)होता है।

उपपट्टा (औपचारिक चरण-दर-चरण प्रमाण):

1. दिया है: एक वृत्त जिसका केन्द्र $O$ है। चाप $AB$ केन्द्र पर $\angle AOB$ तथा वृत्तान्त के शेष भाग पर स्थित बिन्दु $P$ पर $\angle APB$ अन्तर्निहित है।
2. सिद्ध करना है: $\angle AOB = 2\angle APB$
3. रचना:खंड रेखा $PO$ को खींचकर एक बिंदु $Q$ तक आगे बढ़ाए गए हैं।
4. उपपट्टा:
   • त्रिभुज $\triangle OAP$ में: $OA = OP = r$ (एक ही वृत्त की त्रिमूर्तियाँ).
     समद्विबाहु टेलीविजन प्रमेय से: $\angle OPA = \angle OAP$.
     $\triangle OAP$ के सर्वश्रेष्ठ संस्करण $\angle AOQ$ के लिए: $$\angle AOQ = \angle OPA + \angle OAP = 2\angle OPA \quad \text{--- (समीकरण 1)}$$
   • इसी प्रकार, मॉडल $\triangle OBP$ में: $OB = OP = r \implies \angle OPB = \angle OBP$.
     बहिश्कोण $\angle BOQ$ के लिए: $$\angle BOQ = \angle OPB + \angle OBP = 2\angle OPB \quad \text{--- (समीकरण 2)}$$
   • समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर: $$\angle AOQ + \angle BOQ = 2\angle OPA + 2\angle OPB$$ $$\angle AOB = 2(\angle OPA + \angle OPB) = 2\angle APB$$

अतः सिद्ध हुआ कि $\angle AOB = 2\angle APB$! (इति सिद्धम्).

प्रमेय वर्णन: एक ही वृत्तखंड के संबंध संबंध बारबरा (बराबर) होते हैं।

उपपट्टा: प्रमेय 9.7 के अनुसार: $$\angle AOB = 2\angle APB \implies \angle APB = \frac{1}{2}\angle AOB$$ तथा $\angle AOB = 2\angle AQB \implies \angle AQB = \frac{1}{2}\angle AOB$ मूलतः $\angle APB = \angle AQB$ (इति सिद्धम्).

जब चाप एक अर्धवृत्त (अर्धवृत्त)होता है, तो व्यास $AB$ केंद्र $O$ पर एक सरल रेखा निर्मित होती है, मूल रूप से केंद्र पर अंतरित कोण: $$\angle AOB = 180^\circ \quad (\text{ऋजुकोण})$$ उदाहरण 9.7 से, अर्धवृत्ताकार परिपथ किसी बिंदु $P$ पर बने कोण पर स्थित है: $$\angle APB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$$

एक चतुर्भुज $ABCD$ चक्रीय चतुर्भुज (चक्रीय चतुर्भुज) व्यास है यदि इसके चारों ओर शीर्ष एक ही वृत्त की परिभ्रमण पर स्थित हो (अर्थात् शीर्ष संवृत्त / चक्रीय चतुर्भुज)।

प्रमेय 9.10: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के प्रत्येक युग्म का योग $180^\circ$ (दो समकोण) होता है।

प्रमेय 9.11 (विलोम): यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^\circ$ हो, तो वह चतुर्भुज चक्रीय होता है।

यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज की एक भुजा को आगे बढ़ाया जाए, तो बनने वाला बहिष्कोण अपने अभिमुख अंतःकोण (आंतरिक विपरीत कोण) के बराबर होता है:

करण: $\u0007ngle B + \u0007ngle CBE = 180^\circ$ (राखिक युग्म) तथा $\u0007ngle B + \u0007ngle D = 180^\circ$ (चक्रीय चतुर्भुज सम्मुख कोण)। तुलना करने पर $\u0007ngle CBE = \u0007ngle D$ प्राप्त होता है।