समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions)

(क) समांश श्रेढ़ी (AP) की परिभाषा:

एक समांश श्रेढ़ी (अंकगणितीय प्रगति - एपी) ग्रेड की एक ऐसी सूची है जिसमें प्रत्येक पद अपने ठीक पूर्व पद में एक निश्चित अचर संख्या प्राप्त करता है $d$ समांतर श्रेढ़ी (प्रथम पद $a$ के अतिरिक्त):

जहाँ $a_1 = a$ (प्रथम पद) है, और:

• $a_2 = a_1 + d = a + d$
• $a_3 = a_2 + d = (a + d) + d = a + 2d$
• $a_4 = a_3 + d = (a + 2d) + d = a + 3d$

इस प्रकार, समांतर श्रेढ़ी का व्यापक या मानक रूप (मानक रूप) निम्नलिखित होता है:

(ख) सर्व अंतर (सामान्य अंतर - $d$):

किसी भी पद और उसके ठीक पूर्ववर्ती पद के अंतर में कोई भी समांतर श्रेय सर्व अंतर कहा जाता है:

सर्व अंतर $d$ के तीन संभावित रूप होते हैं:

(जी) एक एपी क्या दी गई सूची है? (जाँच करने की विधि):

बोर्ड परीक्षा में 1 अंक का बहुविकल्पीय प्रश्न अक्सर पूछा जाता है कि कौन-सी सूची एपी है। जांच के नियम:

(क) नववें पद के सूत्र का निगमन ($n^{\text{th}}$ पद की व्युत्पत्ति):

मान लीजिए कि किसी एपी का प्रथम पद $a$ तथा सर्व अंतर $d$ है:

• पहला पद: $a_1 = a = a + (1 - 1)d$
• दूसरा पद: $a_2 = a + d = a + (2 - 1)d$
• तीसरा पद: $a_3 = a + 2d = a + (3 - 1)d$
• चौथा पद: $a_4 = a + 3d = a + (4 - 1)d$

इस स्थिति प्रतिरूप को सामान्यीकृत (सामान्यीकृत) करने पर, किसी भी पद के लिए $n$ के लिए व्यापक पद प्राप्त होता है:

(ख) अंत से $n$वाँ पद (अंत से शब्द):

यदि किसी परिमित एपी में कुल पोस्ट की संख्या ज्ञात नहीं हो, लेकिन अंतिम पद $l$ तथा सर्व अंतर $d$ ज्ञात हो, तो अंत से $n$वाँ पद प्रवाह का सीधा और अचुक सूत्र:

वैकल्पिक विधि: श्रेय को अंतिम पद से उलटे क्रम में लिखें। टैब प्रथम पद $A = l$ और नया सर्व अंतर $D = -d$ हो जाता है। मूलतः $a_n' = A + (n - 1)D = l + (n - 1)(-d) = l - (n - 1)d$.

(जी) विशेष उपयोग: एपी का कोई निर्धारित संख्या क्या है?

यह जांच के लिए कि क्या कोई संख्या $X$ गया एपी का पैड है या नहीं:

1. हम $a_n = X$ मान लेते हैं।
2. सूत्र $a + (n - 1)d = X$ में $a, d, X$ का मान $n$ के लिए हल करते हैं।
3. निर्णय कथा: यदि $n$ का मन एक प्राकृत संख्या (धनात्मक पूर्णांक $1, 2, 3\dots$) प्राप्त होता है, तो $X$ वह एपी का $n$वाँ पद है। यदि $n$ भिन्न, दशमलव या ऋणात्मक आता है, तो वह संख्या उस एपी का पद नहीं हो सकती (केवल तृतीयक की संख्या कभी मध्यम या ऋणात्मक नहीं होती)।

(घ) प्रथम ऋणात्मक पद ज्ञात करने की तकनीक (पहला नकारात्मक पद):

यदि एपी अधूरा हुआ हो (जैसे $20, 19\frac{1}{4}, 18\frac{1}{2}, \dots$), तो प्रथम ऋणात्मक पद ज्ञात करने के लिए असमिका (असमानता) स्थापित करें:

इस हल करके $n$ का न्यूनतम पूर्णांक मान प्राप्त करते हैं।

(के) योगफल सूत्र का ऐतिहासिक निगमन (योग सूत्र की व्युत्पत्ति):

मान लीजिए कि प्रथम पद $a$ तथा सर्व अंतर $d$ वाली एपी के प्रथम $n$ तृतीय का योग $S_n$ है:

पैडों को उलटे क्रम में देखें (कार्ल फ्रेडरिक गॉस की तकनीक):

जोड़ों के अनुपात को जोड़े पर:

(ख) महत्वपूर्ण मानक योगफल (मानक योग सूत्र):

• प्रथम $n$ धन पूर्णांकों (प्राकृत मोक्ष) का योग: $$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$$ उदाहरण: 1 से 100 तक का योग = $\frac{100 \times 101}{2} = 5050$.
• प्रथम $n$ वर्चुअल प्राकृत रिजर्व का योग: $$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$$ उदाहरण: प्रथम 10 प्रोटोटाइप का योग = $10^2 = 100$.
• प्रथम $n$ सम प्राकृत रिजर्व का योग: $$2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n + 1)$$ उदाहरण: प्रथम 10 सम बंधक का योग = $10 \times 11 = 110$.

(क) S_n से a_n प्राप्त करने का जादुई सूत्र:

बोर्ड परीक्षा में अक्सर $S_n$ एक द्विघात व्यंजक (द्विघात अभिव्यक्ति) के रूप में दिया जाता है, जैसे $S_n = 3n^2 + 5n$, और छात्रों से एपी का $n$वाँ पद या 20वाँ पद पूछा जाता है।

विचार किग: प्रथम $n$ तृतीय के योग में से यदि प्रथम $(n - 1)$ तृतीय का योग घटा दिया जाए, तो केवल $n$वाँ पद ही शेष बचता है:

और प्रथम पद सीधे $S_1$ के बराबर होता है:

(ख) चरण-दर-चरण प्रक्रिया:

(जी) सर्व अंतर का सख्त नियम:

यदि किसी एपी के प्रथम $n$ उत्तर का योग $S_n = An^2 + Bn$ के रूप में हो, तो:

• सर्व अंतर हमेशा के लिए $n^2$ के गुणों का लाभ होता है: $\mathbf{d = 2A}$
• प्रथम पद: $\mathbf{a = A + B}$
• $n$वाँ पद: $\mathbf{a_n = 2An + (B - A)}$

यह अनुपात बहुविकल्पीय (MCQ) विंटेज में 3 सेकंड में सही उत्तर में अत्यंत उपयोगी है!

(क) निबंधों के चयन की विशेष युक्ति (शर्तों का चयन):

जब प्रश्न में तीन, चार या पांच तीर्थयात्रियों का योगफल दिया गया हो, तो गणना करें कि सरल बनाने के लिए तीर्थयात्रियों को इस प्रकार का जोड़ा जाना चाहिए कि जोड़ पर सर्व अंतर $d$ स्वत: कट जाए:

(ख) समांतर मध्य (अंकगणितीय माध्य - AM):

यदि तीन राशियां $a, b, c$ समांतर श्रेढ़ी में हों, तो बीच वाले पद $b$ को $a$ और $c$ का समांश मध्य कहते हैं:

(जी) दैनिक जीवन में सिद्धांत सिद्धांत (शब्द समस्याएँ):

• ऋण की किश्तें: यदि किसी व्यक्ति ने प्रथम माह में ₹1,000 का भुगतान किया है और प्रति माह किश्त के रूप में ₹100 का भुगतान किया है, तो 30 किश्तों का कुल भुगतान $S_{30}$ द्वारा जाना जाता है।
• निर्माण कार्य में देरी की कमी: प्रथम दिन ₹200 की कमी, द्वितीय दिन ₹250, तृतीय दिन ₹300 ($a = 200, d = 50$)। 30 दिन की देरी पर कुल अर्थदण्ड $S_{30}$ होगा।
• सीढ़ी के पायदान (सीढ़ी के पायदान):** नीचे के सीढ़ियों की लंबाई 45 सेमी, अधिकतम ऊपर 25 सेमी, और सीढ़ियों की दूरी निश्चित है, तो कुल लकड़ी की लंबाई $S_n$ से खोदा गया है।