(क) समांतर श्रेढ़ी (AP) की परिभाषा:
एक समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression - AP) संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें प्रत्येक पद अपने ठीक पूर्व पद में एक निश्चित अचर संख्या $d$ जोड़कर प्राप्त होता है (प्रथम पद $a$ के अतिरिक्त):
$$a_1, \quad a_2, \quad a_3, \quad a_4, \quad \dots, \quad a_n$$जहाँ $a_1 = a$ (प्रथम पद) है, और:
- $a_2 = a_1 + d = a + d$
- $a_3 = a_2 + d = (a + d) + d = a + 2d$
- $a_4 = a_3 + d = (a + 2d) + d = a + 3d$
इस प्रकार, समांतर श्रेढ़ी का व्यापक या मानक रूप (Standard Form) निम्नलिखित होता है:
$$\mathbf{a, \quad a + d, \quad a + 2d, \quad a + 3d, \quad \dots, \quad a + (n - 1)d}$$(ख) सार्व अंतर (Common Difference - $d$):
किसी भी समांतर श्रेढ़ी में किसी पद और उसके ठीक पूर्ववर्ती पद के अंतर को सार्व अंतर कहते हैं:
$$d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = \dots = a_{k+1} - a_k$$सार्व अंतर $d$ के तीन संभव रूप होते हैं:
| प्रकार | सार्व अंतर ($d$) | उदाहरण श्रेढ़ी | प्रकृति |
|---|---|---|---|
| धनात्मक ($d > 0$) | $d = +3$ | $2, 5, 8, 11, 14, \dots$ | वर्धमान श्रेढ़ी (Increasing AP) |
| ऋणात्मक ($d < 0$) | $d = -4$ | $20, 16, 12, 8, 4, 0, -4, \dots$ | ह्रासमान श्रेढ़ी (Decreasing AP) |
| शून्य ($d = 0$) | $d = 0$ | $7, 7, 7, 7, 7, \dots$ | अचर श्रेढ़ी (Constant AP) |
(ग) क्या दी गई सूची एक AP है? (जाँच करने की विधि):
बोर्ड परीक्षा में 1 अंक का बहुविकल्पीय प्रश्न अक्सर पूछा जाता है कि कौन-सी सूची AP है। जाँच करने का नियम:
स्वर्ण नियम: क्रमागत पदों के कम से कम दो अंतरों की गणना करें:
$d_1 = a_2 - a_1$ तथा $d_2 = a_3 - a_2$। यदि $d_1 = d_2 = d_3$, तो वह सूची समांतर श्रेढ़ी है; अन्यथा नहीं।
महत्वपूर्ण बोर्ड उदाहरण: जाँचिए क्या $\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, \dots$ एक AP है?
सरल करने पर: $a_1 = \sqrt{2}$, $a_2 = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$, $a_3 = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$, $a_4 = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$।
अंतर: $a_2 - a_1 = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ तथा $a_3 - a_2 = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$। चूंकि सार्व अंतर स्थिर ($\,d = \sqrt{2}\, $) है, अतः यह एक समांतर श्रेढ़ी है!
$d_1 = a_2 - a_1$ तथा $d_2 = a_3 - a_2$। यदि $d_1 = d_2 = d_3$, तो वह सूची समांतर श्रेढ़ी है; अन्यथा नहीं।
महत्वपूर्ण बोर्ड उदाहरण: जाँचिए क्या $\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, \dots$ एक AP है?
सरल करने पर: $a_1 = \sqrt{2}$, $a_2 = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$, $a_3 = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$, $a_4 = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$।
अंतर: $a_2 - a_1 = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ तथा $a_3 - a_2 = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$। चूंकि सार्व अंतर स्थिर ($\,d = \sqrt{2}\, $) है, अतः यह एक समांतर श्रेढ़ी है!