चतुर्भुज (Quadrilaterals)

प्रमेय: चतुर्भुज के चारों ओर अंतःकोणों का योग सदैव $360^\circ$ होता है।

सरल उपपट्ट:
मान लीजिए $ABCD$ एक चतुर्भुज है। विकर्ण $AC$ रेखा पर यह चतुर्भुज $ riangle ABC$ और $ riangle ADC$ में विभाजित हो जाता है।
तुलनीय के कोने योग गुणधर्म से: - $ riangle ABC$ में: $\u0007ngle CAB + \u0007ngle B + \u0007ngle BCA = 180^\circ$   ---- (1) - $ riangle ADC$ में: $\u0007ngle CAD + \u0007ngle D + \u0007ngle DCA = 180^\circ$   ---- (2) दोनों जोड़ों को जोड़ने पर: $$(\u0007ngle CAB + \u0007ngle CAD) + \u0007ngle B + (\u0007ngle BCA + \u0007ngle DCA) + \u0007ngle D = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$$ $$\implies \u0007ngle A + \u0007ngle B + \u0007ngle C + \u0007ngle D = 360^\circ$$ (इति सिद्धम्).

प्रमेय वर्णन: किसी समांतर चतुर्भुज का एक विकरण उसे दो सर्वांगसम तुल्यों में विभाजित करता है।

उपपट्ट: मान लीजिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $AC$ इसका विचरण है।
चतुर्थांश $AB \parallel DC$ और $AC$ तिर्यक रेखा है, मूलतः $\u0007ngle BAC = \u0007ngle DCA$ (एकांश अंतःकोण).
चतुर्थांश $BC \parallel AD$ और $AC$ तिर्यक रेखा है, मूलतः $\u0007ngle BCA = \u0007ngle DAC$ (एकांश अंतःकोण).
तथा $AC = CA$ (उभयनिष्ठा भुजा).
मूलतः एएसए सर्वांगसमता कथा से: $$ riangle ABC \cong riangle CDA$$ (इति सिद्धम्).

• प्रमेय 8.2: एक समांश चतुर्भुज में सम्मुख भुजाए समान हैं ($AB = CD$ तथा $AD = BC$)। (प्राइमेय 8.1 के सर्वांगसम मॉडल से सीपीसीटी द्वारा प्रत्यक्ष सिद्ध)।
• प्रमीया 8.4: एक समांश चतुर्भुज में सम्मुख कोण समान होते हैं ($\u0007ngle A = \u0007ngle C$ तथा $\u0007ngle B = \u0007ngle D$).
• प्रमेय 8.6 ( एक समांतर चतुर्भुज के विचरण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं ($OA = OC$ तथा $OB = OD$).
• प्रमेय 8.8 (पर्याप्त शर्त): कोई चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है यदि उसका एक युग्म बरा और युग्म हो ($AB \parallel CD$ तथा $AB = CD$).

समांश चतुर्भुज के सामान्य विकर्ण गुणधर्म (समद्विभाजन) के अतिरिक्त, इन त्रिगुणों में विशेष लक्षण होते हैं:

1. आयत के विकर्ण (आयत के विकर्ण):
   प्रमुख: एक आयत के विकर्ण समतुल्य होते हैं ($AC = BD$)।
   उपपट्टा: $ riangle ABC$ और $ riangle BAD$ में $BC = AD$ (सम्मुख भुजा), $\u0007ngle B = \u0007ngle A = 90^\circ$, और $AB = BA$ (उभयनिष्ठा). SAS से $ riangle ABC \cong riangle BAD \implies AC = BD$ (CPCT).
2. समचतुर्भुज के विकर्ण (एक समचतुर्भुज के विकर्ण):
   प्रमेय: एक समचतुर्भुज के विकर्ण संबंध समकोण पर समद्विभाजित करते हैं ($AC \perp BD$ तथा $OA=OC, OB=OD$).
3. वर्ग का विकर्ण (एक वर्ग के विकर्ण):
   प्रमेय: एक वर्ग के विचरण संयोजन समान होते हैं तथा समकोण पर समद्विभाजित करते हैं ($AC = BD$ तथा $AC \perp BD$).

प्रमेय वर्णन: किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरा भुजाओं के समान होता है और उसका आधा भाग होता है।

उपपट्टा (औपचारिक चरण-दर-चरण बोर्ड प्रमाण):

1. दिया है: एक टेलीविजन $ riangle ABC$ जिसमें भुज $AB$ का मध्य-बिंदु $E$ और भुज $AC$ का मध्य-बिंदु $F$ है। रेखाखण्ड $EF$ निकाला गया है।
2. सिद्ध करना है: $EF \parallel BC$ तथा $EF = rac{1}{2}BC$
3. रचना: $EF$ को बिंदु $D$ तक इस प्रकार की आगे की शुरुआतें हैं कि $EF = FD$ हो। बिंदु $C$ से भुजा $AB$ के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो कि खींची गई रेखा को $D$ पर काटती है ($CD \parallel BA$).
4. उपपट्टा: मोटरसाइकिल $ riangle AEF$ और $ riangle CDF$ में:
   • $\u0007ngle AFE = \u0007ngle CFD$ § (शीर्षाभिमुख कोण)
   • $AF = CF$ § (दीया है, $F$ मध्य-बिंदु है)
   • $\u0007ngle EAF = \u0007ngle DCF$    (एकांश अंतःकोण, क्योंकि $AB \parallel CD$ और तिर्यक $AC$ है)
   मूलतः एएसए सर्वांगसमता गीत से: $$ riangle AEF \cong riangle CDF$$ सीपीसीटी द्वारा: $$AE = CD \quad ext{तथा} \quad EF = FD$$ परंतु $AE = BE$ दिया गया है (क्योंकि $E$ मध्य-बिंदु है)। मूलतः: $$BE = CD$$ अब चतुर्भुज $BCDE$ में: $BE \parallel CD$ (रचना से) तथा $BE = CD$.
   प्रमेय 8.8 के अनुसार, यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समतुल्य और समानांतर हो, तो वह एक समांश चतुर्भुज होता है।
   मूलतः $BCDE$ एक समांश चतुर्भुज है! $$\implies ED \parallel BC \implies EF \parallel BC$$ तथा $ED = BC$.
   परंतु $ED = EF + FD = EF + EF = 2EF$.
   $$2EF = BC \implies EF = rac{1}{2}BC$$

अतः सिद्ध हुआ कि $EF \parallel BC$ और $EF = rac{1}{2}BC$! (इति सिद्धम्).

प्रमेय वर्णन: किसी अन्य वस्तु की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समान खींची गई तीसरी रेखा भुजा को समद्विभाजित देती है।