Quadrilaterals

प्रमेय: किसी चतुर्भुज के चारों अंतःकोणों का योग सदैव $360^\circ$ होता है।

सरल उपपत्ति:
मान लीजिए $ABCD$ एक चतुर्भुज है। विकर्ण $AC$ खींचने पर यह चतुर्भुज दो त्रिभुजों $ riangle ABC$ और $ riangle ADC$ में विभाजित हो जाता है।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से: - $ riangle ABC$ में: $\u0007ngle CAB + \u0007ngle B + \u0007ngle BCA = 180^\circ$   --- (1) - $ riangle ADC$ में: $\u0007ngle CAD + \u0007ngle D + \u0007ngle DCA = 180^\circ$   --- (2) दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $$(\u0007ngle CAB + \u0007ngle CAD) + \u0007ngle B + (\u0007ngle BCA + \u0007ngle DCA) + \u0007ngle D = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$$ $$\implies \u0007ngle A + \u0007ngle B + \u0007ngle C + \u0007ngle D = 360^\circ$$ (इति सिद्धम्)।

प्रमेय कथन: किसी समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।

उपपत्ति: मान लीजिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $AC$ इसका विकर्ण है।
चूँकि $AB \parallel DC$ और $AC$ तिर्यक रेखा है, अतः $\u0007ngle BAC = \u0007ngle DCA$ (एकांतर अंतःकोण)।
चूँकि $BC \parallel AD$ और $AC$ तिर्यक रेखा है, अतः $\u0007ngle BCA = \u0007ngle DAC$ (एकांतर अंतःकोण)।
तथा $AC = CA$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
अतः ASA सर्वांगसमता कसौटी से: $$ riangle ABC \cong riangle CDA$$ (इति सिद्धम्)।

• प्रमेय 8.2: एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं ($AB = CD$ तथा $AD = BC$)। (प्रमेय 8.1 के सर्वांगसम त्रिभुजों से CPCT द्वारा प्रत्यक्ष सिद्ध)।
• प्रमेय 8.4: एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं ($\u0007ngle A = \u0007ngle C$ तथा $\u0007ngle B = \u0007ngle D$)।
• प्रमेय 8.6 (विकर्ण समद्विभाजन): एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं ($OA = OC$ तथा $OB = OD$)।
• प्रमेय 8.8 (पर्याप्त शर्त): कोई चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है यदि उसकी सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानांतर हो ($AB \parallel CD$ तथा $AB = CD$)।

समांतर चतुर्भुज के सामान्य विकर्ण गुणधर्म (समद्विभाजन) के अतिरिक्त, इन तीनों में विशेष लक्षण होते हैं:

1. आयत के विकर्ण (Diagonals of a Rectangle):
   प्रमेय: एक आयत के विकर्ण परस्पर बराबर होते हैं ($AC = BD$)।
   उपपत्ति: $ riangle ABC$ और $ riangle BAD$ में $BC = AD$ (सम्मुख भुजा), $\u0007ngle B = \u0007ngle A = 90^\circ$, तथा $AB = BA$ (उभयनिष्ठ)। SAS से $ riangle ABC \cong riangle BAD \implies AC = BD$ (CPCT)।
2. समचतुर्भुज के विकर्ण (Diagonals of a Rhombus):
   प्रमेय: एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं ($AC \perp BD$ तथा $OA=OC, OB=OD$)।
3. वर्ग के विकर्ण (Diagonals of a Square):
   प्रमेय: एक वर्ग के विकर्ण परस्पर समान होते हैं तथा समकोण पर समद्विभाजित करते हैं ($AC = BD$ तथा $AC \perp BD$)।

प्रमेय कथन: किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसका आधा होता है।

उपपत्ति (Formal Step-by-Step Board Proof):

1. दिया है: एक त्रिभुज $ riangle ABC$ जिसमें भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु $E$ और भुजा $AC$ का मध्य-बिंदु $F$ है। रेखाखंड $EF$ खींचा गया है।
2. सिद्ध करना है: $EF \parallel BC$ तथा $EF = rac{1}{2}BC$
3. रचना: $EF$ को बिंदु $D$ तक इस प्रकार आगे बढ़ाते हैं कि $EF = FD$ हो। बिंदु $C$ से भुजा $AB$ के समानांतर एक रेखा खींचते हैं जो बढ़ाई गई रेखा को $D$ पर काटती है ($CD \parallel BA$)।
4. उपपत्ति: त्रिभुज $ riangle AEF$ और $ riangle CDF$ में:
   • $\u0007ngle AFE = \u0007ngle CFD$    (शीर्षाभिमुख कोण)
   • $AF = CF$    (दिया है, $F$ मध्य-बिंदु है)
   • $\u0007ngle EAF = \u0007ngle DCF$    (एकांतर अंतःकोण, क्योंकि $AB \parallel CD$ और तिर्यक $AC$ है)
   अतः ASA सर्वांगसमता कसौटी से: $$ riangle AEF \cong riangle CDF$$ CPCT द्वारा: $$AE = CD \quad ext{तथा} \quad EF = FD$$ परंतु $AE = BE$ दिया है (क्योंकि $E$ मध्य-बिंदु है)। अतः: $$BE = CD$$ अब चतुर्भुज $BCDE$ में: $BE \parallel CD$ (रचना से) तथा $BE = CD$।
   प्रमेय 8.8 के अनुसार, यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानांतर हो, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।
   अतः $BCDE$ एक समांतर चतुर्भुज है! $$\implies ED \parallel BC \implies EF \parallel BC$$ तथा $ED = BC$।
   परंतु $ED = EF + FD = EF + EF = 2EF$।
   $$2EF = BC \implies EF = rac{1}{2}BC$$

अतः सिद्ध हुआ कि $EF \parallel BC$ तथा $EF = rac{1}{2}BC$! (इति सिद्धम्)।

प्रमेय कथन: किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समानांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।