Gravitation

(क) सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम

सर आइज़क न्यूटन के अनुसार: "विश्व का प्रत्येक पिंड प्रत्येक अन्य पिंड को एक आकर्षण बल से आकर्षित करता है, जो दोनों पिंडों के द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती तथा उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।"

गणितीय व्यंजक:
मान लीजिए द्रव्यमान $M$ तथा $m$ के दो पिंड एक-दूसरे से $d$ दूरी पर स्थित हैं:

(ख) गुरुत्वीय नियतांक ($G$) का मान एवं SI मात्रक

• $G$ का SI मात्रक $ ext{N}\cdot ext{m}^2/ ext{kg}^2$ (न्यूटन-मीटर वर्ग प्रति किलोग्राम वर्ग या $ ext{N m}^2 ext{ kg}^{-2}$) होता है।
• 1798 में हेनरी कैवेंडिश ने एक संवेदनशील तुला द्वारा $G$ का सर्वमान्य मान ज्ञात किया:
  $$\mathbf{G = 6.673 imes 10^{-11} ext{ N m}^2/ ext{kg}^2}$$
• महत्व: $G$ का मान ब्रह्मांड के प्रत्येक स्थान पर, सभी पदार्थों के लिए तथा सभी परिस्थितियों में सदैव अचर (स्थिर) रहता है।

(ग) गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम का महत्व

यह नियम कई ऐसी परिघटनाओं की सफल वैज्ञानिक व्याख्या करता है जो असंबंधित मानी जाती थीं:

1. हमें पृथ्वी से बांधे रखने वाला बल।
2. पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की गति।
3. सूर्य के चारों ओर समस्त सौरमंडलीय ग्रहों की गति।
4. चंद्रमा तथा सूर्य के आकर्षण के कारण समुद्र में आने वाले ज्वार-भाटा।

(क) गुरुत्वीय त्वरण ($g$) का सूत्र एवं मान

जब कोई वस्तु पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में नीचे गिरती है, तो उसके वेग में होने वाले त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण (Acceleration due to Gravity - $g$) कहते हैं।

पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ तथा त्रिज्या $R$ हो, तो सतह पर रखे $m$ द्रव्यमान पर लगने वाला बल:
$$F = Grac{M \cdot m}{R^2}$$ न्यूटन के द्वितीय नियम से, $F = m \cdot g$। अतः: $$m \cdot g = Grac{M \cdot m}{R^2} \implies \mathbf{g = rac{G \cdot M}{R^2}}$$

विशेष प्रेक्षण: गुरुत्वीय त्वरण ($g$) के सूत्र में वस्तु का द्रव्यमान ($m$) नहीं आता! इसका अर्थ है कि गुरुत्वीय त्वरण वस्तु के द्रव्यमान, आकार या रूप पर निर्भर नहीं करता। निर्वात में भारी पत्थर और हल्का पंख दोनों को एक साथ गिराने पर दोनों ठीक एक साथ जमीन पर गिरेंगे (गैलीलियो का पीसा की मीनार का प्रयोग)।

पृथ्वी की सतह पर $g$ का परिकलन:
$G = 6.67 imes 10^{-11} ext{ N m}^2/ ext{kg}^2$, पृथ्वी का द्रव्यमान $M = 6 imes 10^{24} ext{ kg}$, पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6.4 imes 10^6 ext{ m}$:
$$g = rac{6.67 imes 10^{-11} imes 6 imes 10^{24}}{(6.4 imes 10^6)^2} = \mathbf{9.8 ext{ m/s}^2}$$

(ख) $G$ (सार्वत्रिक गुरुत्वीय नियतांक) तथा $g$ (गुरुत्वीय त्वरण) में तुलना

(ग) मुक्त पतन (Free Fall) एवं गति के समीकरण

जब कोई वस्तु केवल पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के अधीन गिरती है (हवा के प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए), तो उसकी गति को मुक्त पतन कहते हैं।

गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति के तीन संशोधित समीकरण:

1. $$v = u + gt$$
2. $$h = ut + rac{1}{2}gt^2$$
3. $$v^2 = u^2 + 2gh$$

चिह्न परिपाटी: यदि वस्तु नीचे की ओर गिर रही है तो $g = +9.8 ext{ m/s}^2$ लेंगे; यदि वस्तु ऊपर की ओर फेंकी जा रही है तो गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध होने के कारण $g = -9.8 ext{ m/s}^2$ लेंगे और उच्चतम बिंदु पर अंतिम वेग $v = 0$ होगा।

(क) द्रव्यमान (Mass) बनाम भार (Weight)

(ख) सिद्ध कीजिए: चंद्रमा पर वस्तु का भार पृथ्वी पर उसके भार का $1/6$ होता है

माना वस्तु का द्रव्यमान $m$ है। चंद्रमा का द्रव्यमान $M_m = 7.36 imes 10^{22} ext{ kg}$, चंद्रमा की त्रिज्या $R_m = 1.74 imes 10^6 ext{ m}$।
पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e = 5.98 imes 10^{24} ext{ kg}$, पृथ्वी की त्रिज्या $R_e = 6.37 imes 10^6 ext{ m}$।

चंद्रमा पर वस्तु का भार: $W_m = G rac{M_m \cdot m}{R_m^2}$
पृथ्वी पर वस्तु का भार: $W_e = G rac{M_e \cdot m}{R_e^2}$

(क) प्रणोद (Thrust) एवं दाब (Pressure)

• प्रणोद (Thrust): किसी वस्तु की सतह पर लंबवत लगने वाले कुल बल को प्रणोद कहते हैं। इसका मात्रक न्यूटन (N) है।
• दाब (Pressure): एकांक क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रणोद को दाब कहते हैं:
  $$ ext{दाब } (P) = rac{ ext{प्रणोद } (F)}{ ext{क्षेत्रफल } (A)}$$ दाब का SI मात्रक $ ext{N/m}^2$ अथवा पास्कल (Pascal - Pa) है (ब्लेज पास्कल के सम्मान में)।

(ख) उत्प्लावकता (Buoyancy) एवं उत्प्लावन बल

जब किसी वस्तु को किसी तरल (द्रव या गैस) में डुबोया जाता है, तो तरल उस वस्तु पर ऊपर की ओर एक बल लगाता है। इस ऊर्ध्वमुखी बल को उत्प्लावन बल (Buoyant Force / Upthrust) कहते हैं तथा तरल के इस गुण को उत्प्लावकता कहते हैं।

(ग) आर्किमिडीज का सिद्धांत (Archimedes' Principle)

सिद्धांत का कथन: "जब किसी वस्तु को किसी तरल में पूर्णतः या आंशिक रूप से डुबोया जाता है, तो वह ऊपर की दिशा में एक बल का अनुभव करती है, जो वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के ठीक बराबर होता है।"

वस्तुओं के तैरने या डूबने की वैज्ञानिक शर्तें:

1. यदि वस्तु का घनत्व द्रव के घनत्व से अधिक हो ($d_{ ext{वस्तु}} > d_{ ext{द्रव}}$), तो वस्तु डूब जाएगी (उदा: लोहे की कील का घनत्व $7.8 ext{ g/cm}^3$ जल के घनत्व $1 ext{ g/cm}^3$ से अधिक है)।
2. यदि वस्तु का औसत घनत्व द्रव के घनत्व से कम हो ($d_{ ext{वस्तु}} < d_{ ext{द्रव}}$), तो वस्तु तैरेगी। (लोहे का जहाज खोखला होता है, जिसके भीतर हवा भरी होने के कारण उसका औसत घनत्व जल से बहुत कम हो जाता है और वह अपने भार से अधिक जल विस्थापित करके तैरता रहता है)।

आपेक्षिक घनत्व (Relative Density):
किसी पदार्थ का आपेक्षिक घनत्व उस पदार्थ के घनत्व और 4°C पर जल के घनत्व का अनुपात होता है:
$$ ext{आपेक्षिक घनत्व} = rac{ ext{पदार्थ का घनत्व}}{ ext{जल का घनत्व}}$$ (यह दो समान राशियों का अनुपात है, अतः इसका कोई मात्रक नहीं होता)।