Boolean Algebra and Logic Gates (বুলিয়ান অ্যালজেব্রা ও লজিক গেটস)

দ্বিতীয় বণ্টন সূত্র প্রয়োগ করে, যা বলে \(X + YZ = (X + Y)(X + Z)\):

\(\text{বামপক্ষ} = A + A'B = (A + A')(A + B)\)

পূরক সূত্রানুসারে, \(A + A' = 1\):

\(= 1 \cdot (A + B)\)

গুণের একসম উপাদান সূত্রানুসারে, \(1 \cdot X = X\):

\(= A + B = \text{ডানপক্ষ} \quad \text{[প্রমাণিত]}\)

উপপাদ্যের নাম: একে অতিরিক্ত লিটারেল বর্জন নিয়ম (Redundant Literal Rule বা সরলীকৃত শোষণ উপপাদ্য) বলা হয়।

১ম ধাপ: দ্বৈত রাশিমালা (Dual) নির্ণয়:

দ্বৈততার নীতি অনুসারে:

• প্রতিটি OR অপারেটরকে (\(+\)) AND অপারেটরে (\(\cdot\)) পরিবর্তন করা হয়।
• প্রতিটি AND অপারেটরকে (\(\cdot\)) OR অপারেটরে (\(+\)) পরিবর্তন করা হয়।
• চলক ও তাদের পূরকগুলি সম্পূর্ণ অপরিবর্তিত থাকে।

প্রদত্ত রাশিমালা: \((A + B') \cdot (B + C') = (A \cdot C') + B'\)

দ্বৈত রূপ (Dual):

\((A \cdot B') + (B \cdot C') = (A + C') \cdot B'\)

২য় ধাপ: সেলফ-ডুয়াল যাচাই:

কোনো বুলিয়ান রাশিমালা যদি তার দ্বৈত রূপের সাথে অভিন্ন বা যৌক্তিকভাবে সমতুল্য হয়, তবেই তাকে সেলফ-ডুয়াল বলে। এখানে দ্বৈত রূপটি মূল সমীকরণের সমতুল্য নয়। অতএব, এটি সেলফ-ডুয়াল নয়।

বিবৃতি:

1. প্রথম সূত্র: \((A + B)' = A' \cdot B'\) (চলকগুলির যোগফলের পূরক তাদের পৃথক পূরকের গুণফলের সমান)।
2. দ্বিতীয় সূত্র: \((A \cdot B)' = A' + B'\) (চলকগুলির গুণফলের পূরক তাদের পৃথক পূরকের যোগফলের সমান)।

সত্যক সারণীর সাহায্যে প্রথম সূত্রের প্রমাণ:

যেহেতু কলাম ৪ \((A + B)'\) এবং কলাম ৭ \(A' \cdot B'\)-এর সমস্ত মান হুবহু অভিন্ন \((1, 0, 0, 0)\), সূত্রটি সন্দেহাতীতভাবে প্রমাণিত।

(a) সার্বজনীন গেটের সংজ্ঞা ও কারণ:

NAND এবং NOR গেটকে সার্বজনীন গেট বলা হয় কারণ অন্য কোনো বাহ্যিক মৌলিক গেটের সহায়তা ছাড়াই কেবলমাত্র NAND অথবা কেবলমাত্র NOR গেটের উপযুক্ত সমন্বয়ে তিনটি মৌলিক গেট (NOT, AND, OR) সহ যেকোনো জটিল ডিজিটাল সার্কিট তৈরি করা সম্ভব।

(b) শুধুমাত্র NAND গেট দিয়ে AND গেটের বাস্তবায়ন:

ইনপুট \(A\) ও \(B\)-কে একটি NAND গেটে পাঠালে পাই \((AB)'\)। এই আউটপুটটিকে দ্বিতীয় একটি ইনভার্টার NAND গেটে পাঠালে আউটপুট দ্বিগুণ পূরক হয়ে মূল গুণফল প্রদান করে:

\(Y = ((AB)')' = AB\)

প্রয়োজনীয়তা: ঠিক ২টি NAND গেট।

শুধুমাত্র NAND গেট দিয়ে OR গেটের বাস্তবায়ন:

ডিমরগানের দ্বিতীয় সূত্রানুযায়ী: \(A + B = (A' \cdot B')'\)। অতএব:

1. ১ম NAND গেট দিয়ে \(A'\) তৈরি করা হয়: \(A' = (A \cdot A)'\)।
2. ২য় NAND গেট দিয়ে \(B'\) তৈরি করা হয়: \(B' = (B \cdot B)'\)।
3. ৩য় NAND গেটে \(A'\) ও \(B'\) ইনপুট দিলে আউটপুট পাই: \(Y = (A' \cdot B')' = A + B\)।

প্রয়োজনীয়তা: ঠিক ৩টি NAND গেট।

১ম ধাপ: ১৬-সেলের K-Map-এ মিনটার্ম স্থাপন:

সারি \(AB \in \{00, 01, 11, 10\}\); কলাম \(CD \in \{00, 01, 11, 10\}\):

• সারি 00: সেল 0 (\(m_0\)), সেল 2 (\(m_2\))-এ ১ বসে।
• সারি 01: সেল 5 (\(m_5\)), সেল 7 (\(m_7\))-এ ১ বসে।
• সারি 11: সেল 13 (\(m_{13}\)), সেল 15 (\(m_{15}\))-এ ১ বসে।
• সারি 10: সেল 8 (\(m_8\)), সেল 10 (\(m_{10}\))-এ ১ বসে।

২য় ধাপ: গ্রুপিং গঠন:

1. কোয়াড ১ (চার কোণার সংযোগ - Corner Quad): সেল \(\{m_0, m_2, m_8, m_{10}\}\)।
   সারি 00 ও 10-এর মধ্যে সাধারণ চলক \(B = 0\) (\(B'\))।
   কলাম 00 ও 10-এর মধ্যে সাধারণ চলক \(D = 0\) (\(D'\))।
   প্রাপ্ত পদ: \(B'D'\)।
2. কোয়াড ২ (কেন্দ্রীয় মধ্যম ব্লক): সেল \(\{m_5, m_7, m_{13}, m_{15}\}\)।
   সারি 01 ও 11-এর মধ্যে সাধারণ চলক \(B = 1\) (\(B\))।
   কলাম 01 ও 11-এর মধ্যে সাধারণ চলক \(D = 1\) (\(D\))।
   প্রাপ্ত পদ: \(BD\)।

৩য় ধাপ: ন্যূনতম SOP রাশিমালা:

\(F(A, B, C, D) = B'D' + BD = B \odot D = (B \oplus D)'\)

উভয় কোয়াডের সমন্বয়ে সমস্ত ৮টি মিনটার্ম অন্তর্ভুক্ত হয়েছে এবং সমীকরণটি \(B\) ও \(D\)-এর সমতুল্যতা গেট (XNOR)-এ সংকুচিত হয়েছে।

(a) ফুল অ্যাডারের সত্যক সারণী:

(b) দুটি হাফ অ্যাডারের স্থাপত্য ও সমীকরণ:

• ১ম হাফ অ্যাডার (HA-1): ইনপুট \(A, B\)।
  মধ্যবর্তী যোগফল \(S_1 = A \oplus B\)
  মধ্যবর্তী ক্যারি \(C_1 = A \cdot B\)
• ২য় হাফ অ্যাডার (HA-2): ইনপুট \(S_1, C_{in}\)।
  চূড়ান্ত যোগফল: \(\mathbf{S = S_1 \oplus C_{in} = A \oplus B \oplus C_{in}}\)
  মধ্যবর্তী ক্যারি \(C_2 = S_1 \cdot C_{in} = (A \oplus B) \cdot C_{in}\)
• OR গেট: দুটি মধ্যবর্তী ক্যারিকে যুক্ত করে:
  \(\mathbf{C_{out} = C_1 + C_2 = AB + C_{in}(A \oplus B)}\)

(c) বহু-বিট বাইনারি যোগে হাফ অ্যাডারের সীমাবদ্ধতা:

হাফ অ্যাডারে কেবল দুটি ইনপুট টার্মিনাল (\(A\) ও \(B\)) থাকে। পূর্ববর্তী কম তাৎপর্যপূর্ণ (less significant) কলাম থেকে উৎপন্ন হওয়া আগত ক্যারি (\(C_{in}\)) গ্রহণ করার কোনো ব্যবস্থা হাফ অ্যাডারে নেই। তাই রিপল ক্যারি অ্যাডারে কেবল সর্বনিম্ন বিট (LSB) অবস্থানে হাফ অ্যাডার ব্যবহার করা যায়, তবে পরবর্তী সমস্ত উচ্চতর বিটের যোগের জন্য ফুল অ্যাডার বাধ্যতামূলক।