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पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा १०वीं (माध्यमिक) गणित (Mathematics) सेट ०१ (आधार स्तर) हिन्दी माध्यम 100% निःशुल्क टेस्ट

पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा १०वीं (माध्यमिक) गणित (Mathematics): द्विघात करणी ऑनलाइन टेस्ट (सेट ०१ (आधार स्तर))

द्विघात करणी — सेट ०१ (आधार स्तर)

पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा १०वीं (माध्यमिक) गणित (Mathematics) अध्याय 9 'द्विघात करणी' का ऑनलाइन मॉक टेस्ट अभ्यास करें। 20 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs), 20 मिनट, तुरंत स्कोरकार्ड एवं आधिकारिक पाठ्यक्रम पर आधारित विस्तृत समाधान।

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20 प्रश्न
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20 मिनट
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तुरंत स्कोरकार्ड विस्तृत उत्तर व्याख्या WBBSE माध्यमिक पाठ्यक्रम

अध्याय अध्ययन गाइड एवं त्वरित रिवीजन नोट्स

ऑनलाइन टेस्ट शुरू करने से पहले इस अध्याय का विस्तृत सारांश एवं सूत्र अवश्य पढ़ें।

3 मुख्य भाग

सारांश एवं केंद्रीय गणितीय सिद्धांत: एकचल वाले द्विघात समीकरण (अध्याय १)

WBBSE माध्यमिक गणित प्रकाश अध्याय १

पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा १० गणित पाठ्यक्रम ('गणित प्रकाश') के अंतर्गत एकचल वाले द्विघात समीकरण (Quadratic Equations in One Variable) माध्यमिक बीजगणित का सबसे महत्वपूर्ण आधारस्तंभ है। एक अज्ञात चर $x$ वाले किसी भी ऐसे द्वितीय घात समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं जिसे मानक रूप: $$ax^2 + bx + c = 0$$ के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ $a, b, c \in \mathbb{R}$ वास्तविक संख्याएं हैं और अनिवार्य रूप से $a \neq 0$ होना चाहिए। यदि $a = 0$ हो, तो $x^2$ का पद समाप्त हो जाएगा और यह एक रैखिक समीकरण ($bx + c = 0$) बन जाएगा। बीजगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक द्विघात समीकरण के ठीक दो मूल (Roots) होते हैं।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए प्राचीन भारतीय गणितज्ञ श्रीधर आचार्य (Sreedhar Acharya) ने पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा सार्वभौमिक द्विघात सूत्र प्रतिपादित किया: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ इसमें करणी के अंदर की राशि $D = b^2 - 4ac$ को विविक्तकर (Discriminant / निরূপক) कहा जाता है। विविक्तकर बिना समीकरण हल किए मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है: यदि $D > 0$ हो, तो मूल वास्तविक और असमान (भिन्न) होते हैं; यदि $D = 0$ हो, तो मूल वास्तविक और बराबर होते हैं ($x = -b/2a$); और यदि $D < 0$ हो, तो कोई वास्तविक मूल अस्तित्व में नहीं होता। यदि $a, b, c$ परिमेय हों और $D$ पूर्ण वर्ग हो, तो मूल परिमेय और असमान होते हैं।

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो मूल हों, तो मूलों एवं गुणांकों के मध्य मूलभूत संबंध निम्नलिखित हैं: मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^2 \text{ का गुणांक}}$, तथा मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}}$। अतः किन्हीं दो मूलों से सीधे द्विघात समीकरण का निर्माण किया जा सकता है: $$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$ इन संबंधों पर महारत हासिल करने से विद्यार्थी परीक्षा में सममित फलनों के मान, अज्ञात गुणांक ज्ञात करने तथा चाल-दूरी, कार्य-समय और ज्यामितीय क्षेत्रमिति पर आधारित प्रश्नों को सरलता से हल कर सकते हैं।

कविता का केंद्रीय संदेश एवं सीख:

मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$, श्रीधर आचार्य सूत्र, विविक्तकर परीक्षण ($D = b^2 - 4ac$) और $\alpha, \beta$ मूल-गुणांक संबंधों पर मजबूत पकड़ WBBSE माध्यमिक परीक्षा में १००% अंक सुनिश्चित करती है।

मुख्य गणितीय सूत्र, सर्वसमिकाएं एवं शब्दावली

सूत्र संग्रह व मुख्य नियम
शब्द / सूत्र प्रकार विवरण (English) परिभाषा / अर्थ उदाहरण / प्रयोग
मानक रूप (Standard Form) सूत्र ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) एक अज्ञात चर x का द्वितीय घात समीकरण जहाँ a ≠ 0 और a, b, c वास्तविक संख्याएं हैं। "2x² - 5x + 3 = 0 मानक रूप में है (a=2, b=-5, c=3)।"
श्रीधर आचार्य सूत्र प्रमेय x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा प्राप्त सार्वभौमिक द्विघात सूत्र। "जब मध्य पद तोड़ना कठिन हो, तब सीधे इस सूत्र से मूल ज्ञात किए जाते हैं।"
विविक्तकर (Discriminant / D) व्यंजक D = b² - 4ac मूलों की प्रकृति (वास्तविक, समान, अवास्तविक) निर्धारित करने वाला व्यंजक। "2x² - 4x + 3 = 0 के लिए D = (-4)² - 4(2)(3) = -8 < 0 (कोई वास्तविक मूल नहीं)।"
मूलों का योग (α + β) सर्वसमिका α + β = -b / a मूलों का योगफल = -(x का गुणांक) / (x² का गुणांक) "3x² - 9x + 5 = 0 के मूलों का योग -(-9)/3 = 3 है।"
मूलों का गुणनफल (αβ) सर्वसमिका αβ = c / a मूलों का गुणनफल = अचर पद / (x² का गुणांक) "3x² - 9x + 5 = 0 के मूलों का गुणनफल 5/3 है।"
समीकरण निर्माण नियम x² - (α+β)x + αβ = 0 x² - (मूलों का योग)x + (मूलों का गुणनफल) = 0 "मूल 4 और 5 होने पर समीकरण: x² - 9x + 20 = 0।"
परस्पर व्युत्क्रम मूल विशेष गुण If roots are reciprocal, c = a यदि एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो (α व 1/α), तो c = a होता है (क्योंकि α · 1/α = c/a => c = a)। "kx² + 5x + 3 = 0 में मूल व्युत्क्रम होंगे यदि k = 3।"
विपरीत चिन्ह वाले मूल विशेष गुण If roots are equal & opposite, b = 0 यदि मूल परिमाण में समान लेकिन विपरीत चिन्ह वाले हों (α व -α), तो b = 0 होता है। "2x² + (k - 4)x - 8 = 0 में मूल विपरीत चिन्ह के होंगे यदि k = 4।"

काव्य सौंदर्य, अलंकार एवं मुख्य विशेषताएं:

मध्य पद विभाजन विधि (Middle Term Splitting)
गुणांक b को ऐसे दो पूर्णांकों p व q में तोड़ना जहाँ p + q = b और p · q = a · c हो।
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि (Completing the Square)
समीकरण ax² + bx + c = 0 को (x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a² में बदलकर हल करना।
मूलों के सममित फलन (Symmetric Functions)
α² + β² = (α+β)² - 2αβ, तथा (α/β + β/α) = (α²+β²)/αβ के मान सीधे ज्ञात करना।
इबारती समस्याओं का गणितीय मॉडलिंग
अज्ञात राशि को x मानकर प्रश्न की शर्तों से द्विघात समीकरण बनाना और चाल या दूरी जैसी राशियों के लिए ऋणात्मक मान छोड़ना।

परीक्षा उपयोगी मुख्य बिंदु व हल सहित बोर्ड मॉडल प्रश्नोत्तर

WBBSE परीक्षा रिवीजन नोट्स
⚡ परीक्षा उपयोगी मुख्य बिंदु:
  • मानक रूप में परिवर्तन: यदि समीकरण भिन्नों या कोष्ठकों में हो, तो तिर्यक गुणा करके पहले $ax^2 + bx + c = 0$ मानक रूप बनाएं।
  • समान मूलों की शर्त: वास्तविक और समान मूल होने पर सदैव $D = b^2 - 4ac = 0$ रखकर अज्ञात चर का मान निकालें।
  • मूलों की परिमेयता: यदि $a, b, c$ परिमेय हों और $D$ धनात्मक पूर्ण वर्ग हो, तो मूल परिमेय होंगे; अपूर्ण वर्ग होने पर मूल अपरिमेय संयुग्मी होंगे।
  • मूलों की अधिकतम संख्या: किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो ही वास्तविक मूल हो सकते हैं।
  • श्रीधर आचार्य सूत्र की सीमा: यह सूत्र केवल एक चर वाले द्वितीय घात के बहुपदीय समीकरणों पर ही सीधे लागू होता है।
महत्वपूर्ण परीक्षा प्रश्नोत्तर (Model Answers):
Q1 k के किस मान के लिए द्विघात समीकरण 2x² - 10x + k = 0 के मूल वास्तविक और समान होंगे?
उत्तर: वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए: D = b² - 4ac = 0। यहाँ a = 2, b = -10, c = k। मान रखने पर: (-10)² - 4(2)(k) = 0 => 100 - 8k = 0 => 8k = 100 => k = 100/8 = 25/2 = 12.5। अतः k = 25/2।
Q2 यदि समीकरण x² - px + q = 0 के मूलों का अंतर 1 हो, तो सिद्ध कीजिए कि p² = 4q + 1।
उत्तर: माना मूल α और β हैं। दिया है |α - β| = 1 => (α - β)² = 1। समीकरण से, मूलों का योग α + β = p और मूलों का गुणनफल αβ = q। सर्वसमिका (α - β)² = (α + β)² - 4αβ का प्रयोग करने पर: p² - 4q = 1 => p² = 4q + 1। (इति सिद्धम्)
Q3 द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) के लिए श्रीधर आचार्य का सूत्र लिखिए। किस शर्त पर मूल अवास्तविक होते हैं?
उत्तर: श्रीधर आचार्य सूत्र: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)। मूल अवास्तविक (काल्पनिक) होते हैं जब विविक्तकर ऋणात्मक हो: D = b² - 4ac < 0।
Q4 यदि α और β समीकरण 2x² - 6x + 3 = 0 के मूल हों, तो (α/β + β/α) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: यहाँ a = 2, b = -6, c = 3। मूलों का योग α + β = -(-6)/2 = 3, मूलों का गुणनफल αβ = 3/2। अब, α/β + β/α = (α² + β²) / αβ = [(α + β)² - 2αβ] / αβ = [3² - 2(3/2)] / (3/2) = [9 - 3] / 1.5 = 6 / 1.5 = 4। अतः अभीष्ट मान 4 है।

अभ्यास प्रश्नों की झलक (Sample Questions)

निःशुल्क पूर्वावलोकन

इस टेस्ट सेट के कुछ प्रमुख अभ्यास प्रश्न नीचे दिए गए हैं। टेस्ट शुरू करने से पहले उत्तर और व्याख्या देखकर अपनी तैयारी परखें:

Q1
Which of the following is a pure quadratic surd?
নিচের কোনটি বিশুদ্ধ চতুর্মুখী সুর?
निम्नलिखित में से कौन सा शुद्ध द्विघात सर्ड है?
A
4
B
√5
C
2 + √3
D
3√2
सही उत्तर: विकल्प B
व्याख्या:
A pure surd contains no rational component outside the radical (e.g., √5).
একটি বিশুদ্ধ সার্ডে র্যাডিকেলের বাইরে কোন যুক্তিসঙ্গত উপাদান থাকে না (যেমন, √5)।
एक शुद्ध सर्ड में रेडिकल के बाहर कोई तर्कसंगत घटक नहीं होता है (उदाहरण के लिए, √5)।
Q2
Which of the following pairs of surds are similar (like) surds?
নিচের কোন জোড়া surds অনুরূপ (সদৃশ) surds?
निम्नलिखित में से सर्ड के कौन से जोड़े सर्ड के समान (जैसे) हैं?
A
√5 and √6√5 এবং √6√5 और √6
B
√2 and √3√2 এবং √3√2 और √3
C
√8 and √18 (or √12 and √20)√8 এবং √18 (বা √12 এবং √20)√8 और √18 (या √12 और √20)
D
√12 and √27√12 এবং √27√12 और √27
सही उत्तर: विकल्प D
व्याख्या:
√12 = 2√3 and √27 = 3√3; since their irrational factors are identical (√3), they are similar surds.
√12 = 2√3 এবং √27 = 3√3; যেহেতু তাদের অযৌক্তিক কারণগুলি অভিন্ন (√3), তারা একই রকম surds।
√12 = 2√3 और √27 = 3√3; चूँकि उनके अपरिमेय गुणनखंड समान (√3) हैं, वे समान अधिभार हैं।

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माध्यमिक कक्षाओं (कक्षा 8-10) में नियमित ऑनलाइन टेस्ट देने से विद्यार्थियों में समय प्रबंधन और एकाग्रता विकसित होती है जो NTSE, ओलंपियाड, नवोदय (JNVST), और सैनिक स्कूल परीक्षाओं में सफलता दिलाती है।

प्रतियोगी बढ़त

समय प्रबंधन एवं गति नियंत्रण (Clock Awareness)

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विद्यालय परीक्षाओं में छात्र बिना समय सीमा के लिखते हैं, लेकिन राष्ट्रीय प्रतियोगी परीक्षाओं में प्रत्येक प्रश्न के लिए मात्र 45 से 60 सेकंड मिलते हैं। 20 मिनट के टाइमर के साथ नियमित अभ्यास से समय प्रबंधन की स्वाभाविक आदत बनती है।

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आज लगभग सभी राष्ट्रीय परीक्षाएं (CUET, JEE, NEET, SSC, बैंकिंग) कंप्यूटर आधारित (CBT) हैं। केवल कागज पर पढ़ने वाले छात्र स्क्रीन पर घबरा जाते हैं। कम उम्र से ऑनलाइन टेस्ट देने से कंप्यूटर स्क्रीन पर लंबा फोकस बनाने की आदत पड़ती है।

सटीकता और नकारात्मक अंकन से सुरक्षा (Accuracy First)

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इस अध्याय में जांची जाने वाली मुख्य दक्षताएं

नवीनतम पाठ्यक्रम के अनुसार इस टेस्ट में निम्नलिखित मुख्य बिंदुओं का मूल्यांकन किया जाता है:

  • एकचल वाले द्विघात समीकरण के मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) की स्पष्ट समझ।
  • मध्य पद विभाजन विधि (गुणनखंडन) और पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा समीकरण हल करना।
  • श्रीधर आचार्य के सार्वभौमिक सूत्र ($x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$) का सटीक अनुप्रयोग।
  • विविक्तकर ($D = b^2 - 4ac$) द्वारा मूलों की प्रकृति (वास्तविक, समान, अवास्तविक) का निर्धारण।
  • दिए गए मूलों से द्विघात समीकरण का निर्माण तथा मूलों ($\alpha, \beta$) व गुणांकों के संबंध।
  • दैनिक जीवन की व्यावहारिक इबारती समस्याओं (चाल, दूरी, समय, क्षेत्रफल) का समीकरण निर्माण व हल।

परीक्षा नियम एवं ऑनलाइन टेस्ट निर्देश

  • कुल प्रश्न: इस टेस्ट में ठीक 20 वस्तुनिष्ठ बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) सम्मिलित हैं।
  • निर्धारित समय: टेस्ट प्रारंभ होते ही 20 मिनट का उलटी गिनती टाइमर शुरू हो जाएगा।
  • अंकन प्रणाली: प्रत्येक सही उत्तर के लिए +1.0 अंक प्रदान किया जाएगा।
  • शून्य नकारात्मक अंकन: गलत उत्तर के लिए कोई अंक (0.0) नहीं काटा जाएगा।
  • प्रश्न नेविगेशन: आप किसी भी प्रश्न पर जाने के लिए प्रश्न पैलेट और रिव्यू फ्लैग का उपयोग कर सकते हैं।
  • समीक्षा व व्याख्या: टेस्ट सबमिट करने के बाद सभी 20 प्रश्नों की विस्तृत व्याख्या देखें।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

हाँ! पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा १०वीं (माध्यमिक) गणित (Mathematics) के प्रत्येक अध्याय का आधार अभ्यास सेट ०१ (Set 01) सभी विद्यार्थियों के लिए 100% निःशुल्क है। बिना किसी शुल्क के सीधे ऑनलाइन टेस्ट का अभ्यास किया जा सकता है।
यह टेस्ट पूर्णतः पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) के आधिकारिक पाठ्यक्रम और कक्षा १०वीं (माध्यमिक) की पाठ्यचर्या पर आधारित है, जिसमें अध्याय 9 के सभी महत्वपूर्ण सिद्धांत, सूत्र और परीक्षा प्रारूप के प्रश्न शामिल हैं।
यह समर्पित टेस्ट पेज पूर्णतः हिन्दी माध्यम (Hindi Medium) में तैयार किया गया है। यदि आप अंग्रेज़ी या बांग्ला माध्यम में अभ्यास करना चाहते हैं, तो पृष्ठ के शीर्ष पर दिए गए भाषा स्विचर बार से आसानी से स्विच कर सकते हैं।
इस टेस्ट में कुल 20 वस्तुनिष्ठ बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) हैं और 20 मिनट का समय निर्धारित है। प्रत्येक सही उत्तर पर +1.0 अंक मिलता है तथा कोई नकारात्मक अंकन (Zero Negative Marking) नहीं है।
हाँ! टेस्ट सबमिट करते ही आपको तुरंत आपका कुल प्राप्तांक, सटीकता प्रतिशत, समय विश्लेषण और सभी 20 प्रश्नों की चरण-दर-चरण विस्तृत उत्तर व्याख्या प्राप्त होगी।

इस अध्याय के सभी टेस्ट सेट

सेट 01 (आधार स्तर)

20 प्रश्न • 20 मिनट
वर्तमान

सेट 02 (कठिन स्तर)

20 प्रश्न • 20 मिनट
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