Continuity and Differentiability

1.1 किसी बिंदु पर सांतत्य की औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए $f$ किसी वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय पर परिभाषित एक वास्तविक फलन है तथा $c$ उसके प्रांत में कोई बिंदु है। फलन $f$, बिंदु $x = c$ पर सतत (Continuous) कहलाता है यदि और केवल यदि:

विस्तृत रूप में, इसका अर्थ है कि निम्नलिखित तीनों शर्तें एक साथ संतुष्ट होनी चाहिए:

1. फलन का मान $f(c)$ अस्तित्व में हो (अर्थात यह अपरिभाषित या अनिरूपित न हो)।
2. बिंदु $c$ पर सीमा अस्तित्व में हो: वाम-पक्ष सीमा (LHL) तथा दक्षिण-पक्ष सीमा (RHL) परिमित रूप से विद्यमान एवं समान हों:
$$\text{LHL} = \lim_{h \to 0^+} f(c - h) = \lim_{h \to 0^+} f(c + h) = \text{RHL}$$
3. सीमा का मान बिंदु पर फलन के मान के बराबर हो:
$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$$

1.2 किसी अंतराल में सांतत्य (Continuity in an Interval)

• विवृत अंतराल (Open Interval) $(a, b)$ में सांतत्य: फलन $f$ अंतराल $(a, b)$ के प्रत्येक बिंदु पर सतत होना चाहिए।
• संवृत अंतराल (Closed Interval) $[a, b]$ में सांतत्य: फलन $f$ को $[a, b]$ में सतत कहा जाता है यदि:
  1. वह विवृत अंतराल $(a, b)$ के प्रत्येक बिंदु पर सतत हो,
  2. बिंदु $x = a$ पर दाईं ओर से सतत हो: $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$, तथा
  3. बिंदु $x = b$ पर बाईं ओर से सतत हो: $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$।

1.3 सतत फलनों का बीजगणित (Algebra of Continuous Functions)

मान लीजिए $f$ और $g$ दो वास्तविक फलन हैं जो किसी बिंदु $c$ पर सतत हैं। तब:

• योग (Sum): $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$, बिंदु $c$ पर सतत होता है।
• अंतर (Difference): $(f - g)(x) = f(x) - g(x)$, बिंदु $c$ पर सतत होता है।
• अदिश गुणन (Scalar Multiple): $(\alpha f)(x) = \alpha f(x)$, जहाँ $\alpha \in \mathbb{R}$, सतत होता है।
• गुणनफल (Product): $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$, बिंदु $c$ पर सतत होता है।
• भागफल (Quotient): $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, बिंदु $c$ पर सतत होता है, बशर्ते $g(c) \neq 0$ हो।

1.4 महत्वपूर्ण मानक सतत फलन

गणित के निम्नलिखित मूलभूत फलन अपने संपूर्ण प्रांत (Domain) में सर्वत्र सतत होते हैं:

• प्रत्येक बहुपदीय फलन (Polynomial Function, जैसे $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$) $\mathbb{R}$ पर सतत होता है।
• त्रिकोणमितीय फलन $\sin x$ तथा $\cos x$ संपूर्ण $\mathbb{R}$ पर सतत हैं। $\tan x$ अपने प्रांत $\mathbb{R} \setminus \{(2n+1)\frac{\pi}{2}\}$ पर सतत है।
• चरघातांकी फलन $f(x) = e^x$ तथा लघुगणकीय फलन $g(x) = \ln x$ ($x > 0$) अपने प्रांत में सतत हैं।
• मापांक फलन (Modulus function) $f(x) = |x|$ संपूर्ण $\mathbb{R}$ पर सतत है।
• संयुक्त फलन प्रमेय (Composite Function Theorem): यदि $g$, बिंदु $c$ पर सतत है और $f$, बिंदु $g(c)$ पर सतत है, तो संयुक्त फलन $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ भी बिंदु $c$ पर सतत होता है। (उदा. $\sin(x^2)$ सतत है क्योंकि $x^2$ और $\sin x$ दोनों सतत हैं)।

2.1 अवकलनीयता की परिभाषा

मान लीजिए $f$ विवृत अंतराल $(a, b)$ में परिभाषित एक वास्तविक फलन है तथा $c \in (a, b)$। फलन $f$, बिंदु $c$ पर अवकलनीय (Differentiable) कहलाता है यदि सीमा:

परिमित रूप से अस्तित्व में हो। इस सीमा को बिंदु $c$ पर फलन का अवकलज (Derivative) कहते हैं।

2.2 वाम-पक्ष अवकलज एवं दक्षिण-पक्ष अवकलज

सीमा के अस्तित्व के लिए दोनों पार्श्व सीमाओं का बराबर होना आवश्यक है:

• वाम-पक्ष अवकलज (Left Hand Derivative - LHD):
$$L f'(c) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(c - h) - f(c)}{-h}$$
• दक्षिण-पक्ष अवकलज (Right Hand Derivative - RHD):
$$R f'(c) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(c + h) - f(c)}{h}$$

अवकलनीयता की अनिवार्य शर्त: फलन $f$, $x = c$ पर अवकलनीय होगा यदि और केवल यदि:

2.3 मौलिक प्रमेय: अवकलनीयता बनाम सांतत्य

उपपत्ति (Proof):

मान लीजिए $f$, बिंदु $c$ पर अवकलनीय है। अतः:

किसी भी $x \neq c$ के लिए हम लिख सकते हैं:

दोनों पक्षों में $x \to c$ की सीमा लेने पर:

अतः फलन $f$, बिंदु $x = c$ पर सतत सिद्ध होता है। इति सिद्धम्।

विलोम का असत्य होना (Converse is NOT True): प्रत्येक सतत फलन का अवकलनीय होना आवश्यक नहीं है!

प्रति-उदाहरण (Counter-Example): फलन $f(x) = |x|$, बिंदु $x = 0$ पर सतत है, परंतु अवकलनीय नहीं है।

• $L f'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|0 - h| - |0|}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{-h} = -1$
• $R f'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = +1$

चूँकि $L f'(0) = -1 \neq +1 = R f'(0)$, अतः $f(x) = |x|$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है, यद्यपि यह वहां सतत है! ज्यामितीय रूप से, $x = 0$ पर वक्र में एक नुकीला मोड़ (Corner/Cusp) है जहाँ कोई अद्वितीय स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।

3.1 संयुक्त फलनों का अवकलन: श्रृंखला नियम (Chain Rule)

यदि कोई फलन $y = f(u)$ और $u = g(x)$ है, अर्थात $y = f(g(x))$ एक संयुक्त फलन है, तो $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज:

तीन फलनों की श्रृंखला के लिए, यदि $y = f(u), u = g(v), v = h(x)$ हो, तो:

उदाहरण: $\frac{d}{dx}[\sin(x^2 + 5)]$ ज्ञात करने के लिए $u = x^2 + 5$ मानें:

3.2 अस्पष्ट फलनों का अवकलन (Implicit Differentiation)

जब किसी समीकरण में $x$ और $y$ इस प्रकार परस्पर जुड़े हों कि $y$ को $x$ के स्पष्ट फलन ($y = f(x)$) के रूप में सीधे पृथक न किया जा सके (जैसे $x^2 + 2xy + y^3 = 4$), तो ऐसे फलन को अस्पष्ट फलन (Implicit Function) कहते हैं।

अवकलन की कार्यविधि:

1. समीकरण के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष पद-दर-पद अवकलन करें।
2. जहाँ भी $y$ का पद आए, वहाँ श्रृंखला नियम का प्रयोग करें (उदा. $\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2 \frac{dy}{dx}$ तथा $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y$)।
3. समीकरण में $\frac{dy}{dx}$ युक्त सभी पदों को बाएं पक्ष (LHS) में एकत्रित करें तथा शेष पदों को दाएं पक्ष (RHS) में भेजें।
4. $\frac{dy}{dx}$ को उभयनिष्ठ (Common) लेकर उसका अभीष्ट मान प्राप्त करें।

3.3 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज

• $\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad |x| < 1$
• $\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad |x| < 1$
• $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1 + x^2}, \quad x \in \mathbb{R}$
• $\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x) = -\frac{1}{1 + x^2}, \quad x \in \mathbb{R}$
• $\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}, \quad |x| > 1$
• $\frac{d}{dx}(\csc^{-1} x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}, \quad |x| > 1$

4.1 चरघातांकी एवं लघुगणकीय फलनों के अवकलज

प्राकृतिक आधार $e$ के संदर्भ में:

• $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
• $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1)$
• $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \quad (x > 0)$
• $\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \quad (\text{आधार परिवर्तन नियम: } \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a})$

4.2 लघुगणकीय अवकलन विधि (Logarithmic Differentiation)

जब फलन $y = [f(x)]^{g(x)}$ के रूप में हो (अर्थात चर की घात चर हो), अथवा अनेक जटिल गुणनफलों व भागफलों का संयोजन हो जैसे:

तो दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक ($\ln$) लेकर अवकलन करना अत्यंत सरल हो जाता है:

1. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें: $\ln y = g(x) \ln [f(x)]$।
2. $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करें: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\Big(g(x) \ln [f(x)]\Big)$।
3. $\frac{dy}{dx} = y \cdot \left[ g'(x) \ln [f(x)] + g(x) \frac{f'(x)}{f(x)} \right]$।
4. अंत में $y$ का मूल मान प्रतिस्थापित करें।

4.3 प्राचलिक फलनों का अवकलन (Parametric Differentiation)

जब $x$ और $y$ दोनों किसी तीसरे चर (प्राचल/Parameter) $t$ या $\theta$ के फलन हों: $x = f(t)$ तथा $y = g(t)$, तब:

4.4 द्वितीय कोटि का अवकलज (Second Order Derivative)

यदि $y = f(x)$, तो प्रथम अवकलज $y' = \frac{dy}{dx}$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर द्वितीय कोटि अवकलज प्राप्त होता है:

प्राचलिक रूप में द्वितीय अवकलज का विशेष नियम:

5.1 रोले का प्रमेय (Rolle's Theorem)

मान लीजिए $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ एक वास्तविक फलन है जो निम्नलिखित तीन शर्तों को संतुष्ट करता है:

1. $f$ संवृत अंतराल $[a, b]$ में सतत है,
2. $f$ विवृत अंतराल $(a, b)$ में अवकलनीय है, तथा
3. $f(a) = f(b)$ है।

तब विवृत अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक ऐसा बिंदु $c \in (a, b)$ अवश्य अस्तित्व में होगा जहाँ:

ज्यामितीय अर्थ: वक्र $y = f(x)$ पर कम से कम एक ऐसा बिंदु $c$ अवश्य होता है जहाँ खींची गई स्पर्श रेखा (Tangent) $x$-अक्ष के पूर्णतः समांतर (Horizontal) होती है।

5.2 लांग्रांज का मध्यमान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem - LMVT)

मान लीजिए $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ एक फलन है जो दो शर्तों को संतुष्ट करता है:

1. $f$ संवृत अंतराल $[a, b]$ में सतत है, तथा
2. $f$ विवृत अंतराल $(a, b)$ में अवकलनीय है।

तब विवृत अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक ऐसा बिंदु $c \in (a, b)$ अवश्य अस्तित्व में होगा जिसके लिए:

ज्यामितीय अर्थ: बिंदु $(a, f(a))$ और $(b, f(b))$ को मिलाने वाली जीवा (Secant line) की प्रवणता $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ होती है। LMVT कहता है कि वक्र पर कम से कम एक ऐसा बिंदु $c$ अवश्य होगा जहाँ स्पर्श रेखा की प्रवणता इस जीवा की प्रवणता के ठीक बराबर (अर्थात स्पर्श रेखा जीवा के समांतर) होगी।

विशेष स्थिति: यदि $f(a) = f(b)$, तो LMVT ही रोले के प्रमेय ($f'(c) = 0$) में रूपांतरित हो जाता है।