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JAC • Class XII • Mathematics • Ch 2

Estimated Time: 45 Mins

Study Progress: In Progress

Inverse Trigonometric Functions

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions) उच्च गणित, कलन (Calculus), सदिश विश्लेषण एवं इंजीनियरिंग भौतिकी का आधारभूत गणितीय औजार हैं। साधारण त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती (Periodic) होने के कारण अपने संपूर्ण वास्तविक प्रांत ($\mathbb{R}$) पर एकैकी-आच्छादी (Bijective) नहीं होते, अतः उनका व्युत्क्रम (Inverse) स्वतः संभव नहीं होता। इनके प्रतिलोम को परिभाषित करने के लिए उनके प्रांत को उपयुक्त शाखाओं में प्रतिबंधित (Restricted) किया जाता है, जिसे मुख्य मान शाखा (Principal Value Branch) कहते हैं। प्रस्तुत अध्याय में $\sin^{-1} x, \cos^{-1} x, an^{-1} x, \csc^{-1} x, \sec^{-1} x$ तथा $\cot^{-1} x$ के प्रांत (Domain) एवं परिसर (Range), उनके आलेखीय निरूपण (Graphical Representation) तथा ऋणात्मक कोणों के नियमों जैसे $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x$ एवं $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x$ का गहन अध्ययन किया जाता है। इसके अतिरिक्त, पूरक कोण सर्वसमिकाएं $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = rac{\pi}{2}$, जोड़-घटाव सूत्र $ an^{-1} x + an^{-1} y = an^{-1}\left(rac{x+y}{1-xy} ight)$, तथा $2 an^{-1} x$ के त्रिविध रूपांतरण सूत्रों का अवकलन और समाकलन में बीजगणितीय सरलीकरण हेतु विस्तृत गणितीय निगमन व बोर्ड परीक्षा उपयोगी प्रश्नों का संग्रह प्रस्तुत किया गया है।

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Overview Core Concepts Formulas & Identities Solved Examples Common Traps Summary Self Check Take MCQ Test

जीपीएस नेविगेशन और तोपखाने की सटीक मिसाइलें: जब कोण खोजना दूरी से ज्यादा जरूरी हो!

कल्पना कीजिए कि एक फाइटर जेट रडार पर दुश्मन के विमान की ऊंचाई और क्षैतिज दूरी देख रहा है। उसे मिसाइल दागने के लिए केवल दूरी नहीं, बल्कि वह सटीक 'प्रक्षेपण कोण' ($ heta$) चाहिए जिस पर मिसाइल लॉक हो सके! यदि $ an heta = rac{ ext{ऊंचाई}}{ ext{दूरी}}$, तो वह कोण $ heta$ कैसे निकाला जाए? यहीं काम आता है प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन—$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{ऊंचाई}}{\text{दूरी}}\right)$! कंप्यूटर ग्राफिक्स में $3D$ वीडियो गेम के रेंडरिंग से लेकर उपग्रहों के कक्षीय प्रक्षेपवक्र (Orbital Trajectory) तक, जब भी मान से कोण की उल्टी यात्रा तय करनी होती है, तो इन फलनों के बिना आधुनिक विज्ञान का एक कदम भी आगे नहीं बढ़ सकता!

Why This Chapter Matters

JAC तथा CBSE कक्षा 12वीं गणित बोर्ड परीक्षा में यह अध्याय 6 से 8 अंकों का भार वहन करता है: 1. मुख्य मान (Principal Value) ज्ञात करने के प्रश्न: 1-अंकीय व 2-अंकीय अनिवार्य प्रश्न जैसे $\cos^{-1}\left(-rac{1}{2} ight)$ या $\sin^{-1}\left(\sinrac{2\pi}{3} ight)$ का मान निकालना। 2. सरलतम रूप में व्यक्त करना (Simplification): प्रतिस्थापन $x = an heta, x = \sin heta$ या $x = \cos 2 heta$ द्वारा जटिल फलनों को सरलतम रूप में बदलना, जो आगे चलकर कैलकुलस के अवकलन ($dy/dx$) का मुख्य आधार बनता है। 3. सिद्ध करने वाले दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न (4 से 6 अंक): $ an^{-1}$ के सूत्रों द्वारा समीकरणों को सिद्ध करना अथवा $x$ का मान ज्ञात करना।

Before You Begin (Prerequisites)

कक्षा 11वीं के त्रिकोणमितीय सूत्र ($\sin 2 heta, \cos 2 heta, an 2 heta, \sin 3 heta, \cos 3 heta$)।
फलन का एकैकी (Injective) एवं आच्छादी (Surjective) होने की शर्त।
रेडियन माप एवं चतुर्थांश नियम (ASTC Rule)।

What You Will Learn (Core Objectives)

सभी 6 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत एवं मुख्य मान परिसर को कंठस्थ कर सही मुख्य मान परिकलित करना।
फलन $\sin^{-1}(\sin heta) = heta$ की सीमाओं की पहचान कर परिसर से बाहर के कोणों का सही मान निकालना।
प्रतिलोम फलनों के मूलभूत बीजीय गुणों एवं रूपांतरण सूत्रों को सिद्ध करना।
उचित त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन द्वारा जटिल व्यंजकों को न्यूनतम सरलतम रूप में रूपांतरित करना।

Chapter Roadmap & Progression

1 1. प्रतिलोम फलनों की संकल्पना एवं म...

2 2. ऋणात्मक कोणों एवं पूरक कोणों के...

3 3. योग, अंतर एवं गुणा सूत्र

4 4. मानक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन (S...

Complete Concept Guide (100% Curriculum Coverage)

1. प्रतिलोम फलनों की संकल्पना एवं मुख्य मान शाखा सारणी

फलन के व्युत्क्रमणीय होने की शर्त:

कोई फलन $f: X \rightarrow Y$ व्युत्क्रमणीय (Invertible) तभी होता है जब वह एकैकी तथा आच्छादी (Bijective) हो।

साधारण त्रिकोणमितीय फलन (जैसे $\sin x$) बहु-एकैकी (Many-one) होते हैं क्योंकि $\sin 0 = \sin \pi = \sin 2\pi = 0$।
अतः इनके प्रांत को एक छोटे अंतराल में प्रतिबंधित किया जाता है ताकि वे एकैकी-आच्छादी बन सकें। उस अंतराल में परिभाषित व्युत्क्रम को मुख्य मान शाखा (Principal Value Branch) कहते हैं।

सभी 6 फलनों की मास्टर सारणी (कंठस्थ करें):

फलन	प्रांत (Domain)	मुख्य मान परिसर (Principal Value Range)
$y = \sin^{-1} x$	$[-1, 1]$	$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
$y = \cos^{-1} x$	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$
$y = \tan^{-1} x$	$\mathbb{R}$	$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$y = \csc^{-1} x$	$\mathbb{R} - (-1, 1)$	$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\}$
$y = \sec^{-1} x$	$\mathbb{R} - (-1, 1)$	$[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$
$y = \cot^{-1} x$	$\mathbb{R}$	$(0, \pi)$

चेतावनी: $\sin^{-1} x$ का अर्थ कभी भी $(\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x}$ नहीं होता! $(\sin x)^{-1} = \csc x$ होता है।

2. ऋणात्मक कोणों एवं पूरक कोणों के मूलभूत गुणधर्म

(क) ऋणात्मक कोणों के नियम (Group A vs Group B):

Group A (परिसर $[-\pi/2, \pi/2]$ वाले - विषम फलन जैसे):

$$\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x \quad (x \in [-1, 1])$$

$$\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x \quad (x \in \mathbb{R})$$

$$\csc^{-1}(-x) = -\csc^{-1} x \quad (|x| \ge 1)$$

Group B (परिसर $[0, \pi]$ वाले - $\pi$ से घटाने वाले):

$$\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x \quad (x \in [-1, 1])$$

$$\sec^{-1}(-x) = \pi - \sec^{-1} x \quad (|x| \ge 1)$$

$$\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1} x \quad (x \in \mathbb{R})$$

उदाहरण: $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$।

(ख) पूरक कोण सर्वसमिकाएं (Sum of Complementary Angles):

$$\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} \quad (x \in [-1, 1])$$

$$\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} \quad (x \in \mathbb{R})$$

$$\sec^{-1} x + \csc^{-1} x = \frac{\pi}{2} \quad (|x| \ge 1)$$

(ग) व्युत्क्रम संबंध (Reciprocal Relations):

$$\csc^{-1} x = \sin^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \quad (x \ge 1 \text{ या } x \le -1)$$

$$\sec^{-1} x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \quad (x \ge 1 \text{ या } x \le -1)$$

$$\cot^{-1} x = \begin{cases} \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) & x > 0 \\ \pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) & x < 0 \end{cases}$$

3. योग, अंतर एवं गुणा सूत्र

(क) $\tan^{-1}$ के योग एवं अंतर सूत्र:

यदि $xy < 1$ हो:

$$\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$$

यदि $xy > 1$ तथा $x, y > 0$ हों:

$$\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$$

अंतर सूत्र:

$$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) \quad (xy > -1)$$

(ख) $2\tan^{-1} x$ के बहुमुखी सूत्र (Calkulus में अत्यंत उपयोगी):

$$2\tan^{-1} x = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) \quad (|x| \le 1)$$

$$2\tan^{-1} x = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) \quad (x \ge 0)$$

$$2\tan^{-1} x = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) \quad (-1 < x < 1)$$

4. मानक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन (Simplification Techniques)

कैलकुलस तथा बीजगणित में जटिल फलनों को सरलतम रूप में लाने हेतु मानक प्रतिस्थापन: | व्यंजक (Expression) | उपयुक्त प्रतिस्थापन (Substitution) | परिणामी सर्वसमिका | | :--- | :--- | :--- | | $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a\sin \theta$ या $x = a\cos \theta$ | $a\sqrt{1-\sin^2\theta} = a\cos\theta$ | | $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a\tan \theta$ या $x = a\cot \theta$ | $a\sqrt{1+\tan^2\theta} = a\sec\theta$ | | $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a\sec \theta$ या $x = a\csc \theta$ | $a\sqrt{\sec^2\theta-1} = a\tan\theta$ | | $\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}$ या $\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}$ | $x = a\cos 2\theta$ | $1-\cos 2\theta = 2\sin^2\theta, 1+\cos 2\theta = 2\cos^2\theta$ | | $\frac{a-x}{a+x}$ | $x = a\tan \theta$ | $\tan(\frac{\pi}{4}-\theta)$ प्रारूप |

Key Formulas, Identities & Theorems

मुख्य मान परिसर सूत्र

sin⁻¹: [-π/2, π/2]; cos⁻¹: [0, π]; tan⁻¹: (-π/2, π/2); cot⁻¹: (0, π); sec⁻¹: [0, π]-{π/2}; csc⁻¹: [-π/2, π/2]-{0}.

ऋणात्मक कोण सूत्र

sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹(x); tan⁻¹(-x) = -tan⁻¹(x); csc⁻¹(-x) = -csc⁻¹(x); cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹(x); sec⁻¹(-x) = π - sec⁻¹(x); cot⁻¹(-x) = π - cot⁻¹(x).

पूरक कोण सर्वसमिका

sin⁻¹(x) + cos⁻¹(x) = π/2; tan⁻¹(x) + cot⁻¹(x) = π/2; sec⁻¹(x) + csc⁻¹(x) = π/2.

tan⁻¹ योग एवं 2tan⁻¹ रूपांतरण

tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) = tan⁻¹((x+y)/(1-xy)) [xy < 1]; 2tan⁻¹(x) = sin⁻¹(2x/(1+x²)) = cos⁻¹((1-x²)/(1+x²)) = tan⁻¹(2x/(1-x²)).

Conceptual Solved Examples & Case Studies

Example 1

निम्नलिखित के मुख्य मान ज्ञात कीजिए: (i) $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ (ii) $\sin^{-1}\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right)$ (iii) $\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \sec^{-1}(-2)$ (JAC Board Most Expected Question)

Step-by-Step Solution:

हल:

(i) माना $y = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$। हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$ होता है, तथा $\cos^{-1}$ का मुख्य मान परिसर $[0, \pi]$ है।

$$\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \mathbf{\frac{2\pi}{3}}$$

(ii) $\sin^{-1}\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right)$: विद्यार्थी प्रायः $\sin^{-1}(\sin \theta) = \theta$ लिखकर उत्तर $\frac{2\pi}{3}$ लिख देते हैं, जो गलत है क्योंकि $\frac{2\pi}{3} \notin [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$! हम जानते हैं कि $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$। अतः $\sin^{-1}\left(\sin\frac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\frac{\pi}{3}}$, क्योंकि $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$।

(iii) $\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \sec^{-1}(-2)$:

$\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$
$\sec^{-1}(-2) = \pi - \sec^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ अतः व्यंजक = $\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = \mathbf{-\frac{\pi}{3}}$。

Example 2

सिद्ध कीजिए कि: $\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2}{11}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$। (JAC Board High-Yield Question)

Step-by-Step Solution:

हल: L.H.S. = $\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2}{11}\right)$

यहाँ $x = \frac{1}{2}$ तथा $y = \frac{2}{11}$। जाँच: $xy = \frac{1}{2} \times \frac{2}{11} = \frac{1}{11} < 1$। सूत्र: $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

$$= \tan^{-1}\left[ \frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{11}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{11}} \right]$$

अंश का ल.स.प. = $\frac{11 + 4}{22} = \frac{15}{22}$ हर का मान = $1 - \frac{2}{22} = \frac{20}{22}$

$$= \tan^{-1}\left( \frac{15/22}{20/22} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{15}{20} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{3}{4}\right) = \text{R.H.S.}$$

[इति सिद्धम्]

Example 3

व्यंजक $\tan^{-1}\left[ \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \right]$, जहाँ $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$ है, को सरलतम रूप में लिखिए।

Step-by-Step Solution:

हल: दिया गया व्यंजक: $y = \tan^{-1}\left[ \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \right]$

अंश तथा हर दोनों को $\cos x$ से भाग देने पर:

$$= \tan^{-1}\left[ \frac{\frac{\cos x}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}} \right] = \tan^{-1}\left[ \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \right]$$

हम जानते हैं कि $1 = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$ होता है:

$$= \tan^{-1}\left[ \frac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan\frac{\pi}{4}\cdot \tan x} \right]$$

सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का प्रयोग करने पर:

$$= \tan^{-1}\left[ \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) \right]$$

चूंकि $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4} \implies -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} - x < \frac{\pi}{2}$ (जो $\tan^{-1}$ के परिसर में है), अतः सरलतम रूप = $\mathbf{\frac{\pi}{4} - x}$।

Example 4

सिद्ध कीजिए कि: $2\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{31}{17}\right)$।

Step-by-Step Solution:

हल: L.H.S. = $2\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$

प्रथम पद हेतु सूत्र $2\tan^{-1} x = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का प्रयोग करने पर (जहाँ $x = 1/2$):

$$2\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \tan^{-1}\left( \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{1}{1 - 1/4} \right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$$

अब L.H.S. = $\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ यहाँ $xy = \frac{4}{3} \times \frac{1}{7} = \frac{4}{21} < 1$।

$$= \tan^{-1}\left[ \frac{\frac{4}{3} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{7}} \right] = \tan^{-1}\left[ \frac{\frac{28 + 3}{21}}{\frac{21 - 4}{21}} \right] = \tan^{-1}\left( \frac{31}{17} \right) = \text{R.H.S.}$$

[इति सिद्धम्]

Example 5

समीकरण को हल कीजिए: $\tan^{-1}(2x) + \tan^{-1}(3x) = \frac{\pi}{4}$। (JAC Board 5 Marks Question)

Step-by-Step Solution:

हल: दिया है: $\tan^{-1}(2x) + \tan^{-1}(3x) = \frac{\pi}{4}$

सूत्र $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का प्रयोग करने पर:

$$\tan^{-1}\left( \frac{2x + 3x}{1 - (2x)(3x)} \right) = \frac{\pi}{4}$$

$$\frac{5x}{1 - 6x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$

$$5x = 1 - 6x^2 \implies 6x^2 + 5x - 1 = 0$$

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:

$$6x^2 + 6x - x - 1 = 0 \implies 6x(x + 1) - 1(x + 1) = 0$$

$$(6x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = \frac{1}{6} \quad \text{अथवा} \quad x = -1$$

सत्यापन (Verification):

यदि $x = -1$ रखा जाए, तो $\tan^{-1}(-2) + \tan^{-1}(-3)$ दोनों ऋणात्मक मान देंगे जिसका योग कभी धनात्मक $\frac{\pi}{4}$ नहीं हो सकता (अग्राह्य)।
यदि $x = \frac{1}{6}$ रखा जाए, तो $2x \cdot 3x = 6x^2 = 6(1/36) = 1/6 < 1$, जो समीकरण को पूर्णतः संतुष्ट करता है। अतः अभीष्ट हल: $\mathbf{x = \frac{1}{6}}$।

Common Misconceptions & Examiner Traps

Common Misconception

बिना परिसर जांचे $\sin^{-1}(\sin \theta) = \theta$ लिख देना (उदा. $\sin^{-1}(\sin \frac{2\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}$)।

Scientific Reality & Correction

उत्तर हमेशा मुख्य मान परिसर $[-\pi/2, \pi/2]$ के अंदर होना चाहिए; सही उत्तर $\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ है।

Common Misconception

$\cos^{-1}(-x) = -\cos^{-1} x$ लिख देना।

Scientific Reality & Correction

$\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x$ होता है क्योंकि इसका परिसर $[0, \pi]$ है (द्वितीय चतुर्थांश)।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन: मुख्य मान परिसर एवं रूपांतरण

Chapter Summary & 10 Key Takeaways

Takeaway 1

साधारण त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होने के कारण मुख्य मान शाखा में प्रतिबंधित करने पर ही व्युत्क्रमणीय बनते हैं।

Takeaway 2

sin⁻¹ x का मुख्य मान परिसर [-π/2, π/2] तथा cos⁻¹ x का परिसर [0, π] होता है।

Takeaway 3

sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹ x तथा tan⁻¹(-x) = -tan⁻¹ x होता है।

Takeaway 4

cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹ x तथा sec⁻¹(-x) = π - sec⁻¹ x होता है।

Takeaway 5

पूरक कोण सर्वसमिका: sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 तथा tan⁻¹ x + cot⁻¹ x = π/2।

Takeaway 6

tan⁻¹ x + tan⁻¹ y = tan⁻¹((x+y)/(1-xy)) जब xy < 1 हो।

Takeaway 7

2tan⁻¹ x = sin⁻¹(2x/(1+x²)) = cos⁻¹((1-x²)/(1+x²)) = tan⁻¹(2x/(1-x²))।

Takeaway 8

sin⁻¹(sin θ) = θ केवल तभी सत्य है जब θ ∈ [-π/2, π/2] हो।

Takeaway 9

√(a²-x²) के लिए x = a sin θ तथा √(a²+x²) के लिए x = a tan θ प्रतिस्थापन उपयुक्त होता है।

Takeaway 10

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन आगे चलकर अवकलन और समाकलन में सर्वाधिक प्रयुक्त होते हैं।

Check Your Understanding (Diagnostic Practice Questions)

Diagnostic questions testing core conceptual clarity. Answers are hidden initially — solve each problem first, then click to reveal the step-by-step verified solution.

cos⁻¹(-1/2) का मुख्य मान क्या है?

(A) -π/3

(B) π/3

(C) 2π/3

(D) 4π/3

Reveal Answer & Explanation

Answer: C
cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹(x) = π - π/3 = 2π/3, जो [0, π] के अंतर्गत है।

sin⁻¹(sin 3π/5) का मान क्या होगा?

(A) 3π/5

(B) 2π/5

(C) -3π/5

(D) π/5

Reveal Answer & Explanation

Answer: B
3π/5 ∉ [-π/2, π/2]। अतः sin(3π/5) = sin(π - 2π/5) = sin(2π/5) लेने पर मान 2π/5 प्राप्त होता है।

tan⁻¹(1) + cos⁻¹(-1/2) + sin⁻¹(-1/2) का मान क्या है?

(A) π/4

(B) 3π/4

(C) π/2

(D) π

Reveal Answer & Explanation

Answer: B
tan⁻¹(1) = π/4 तथा cos⁻¹(-1/2) + sin⁻¹(-1/2) = π/2 (सर्वसमिका)। अतः π/4 + π/2 = 3π/4।

यदि tan⁻¹ x + tan⁻¹ y = π/4 और xy < 1 हो, तो (x + y + xy) का मान क्या होगा?

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) 2

Reveal Answer & Explanation

Answer: B
(x+y)/(1-xy) = tan(π/4) = 1 => x + y = 1 - xy => x + y + xy = 1।

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