1.1 प्रत्यावर्ती धारा एवं वोल्टता की परिभाषा
प्रत्यावर्ती धारा (Alternating Current - AC): वह धारा जिसका परिमाण समय के साथ निरंतर बदलता रहता है तथा जिसकी दिशा एक निश्चित समयांतराल के पश्चात आवर्ती रूप से उलटती रहती है:
$$\mathbf{I = I_0 \sin(\omega t)} \quad \text{तथा वोल्टता} \quad \mathbf{V = V_0 \sin(\omega t)}$$जहाँ $I_0$ व $V_0$ धारा व वोल्टता के शिखर मान (Peak Value / Amplitude) हैं, तथा $\omega = 2\pi \nu = \frac{2\pi}{T}$ कोणीय आवृत्ति है (भारत में $\nu = 50\text{ Hz} \implies \omega \approx 314\text{ rad/s}$)।1.2 प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान (Mean / Average Value)
- पूर्ण चक्र (Full Cycle) के लिए औसत मान:
चूंकि प्रथम धनात्मक अर्ध-चक्र का औसत मान $+ \frac{2I_0}{\pi}$ तथा द्वितीय ऋणात्मक अर्ध-चक्र का औसत मान $- \frac{2I_0}{\pi}$ होता है, अतः एक पूर्ण चक्र में प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान सदैव शून्य होता है:
$$I_{\text{avg}} = \frac{1}{T} \int_0^T I_0 \sin(\omega t) dt = \mathbf{0}$$
निष्कर्ष: सामान्य DC चल-कुंडली अमीटर या वोल्टमीटर AC परिपथ में शून्य पाठ्यांक दर्शाते हैं। - अर्ध-चक्र (Half Cycle) के लिए औसत मान:
$$I_{\text{mean}} = \frac{1}{T/2} \int_0^{T/2} I_0 \sin(\omega t) dt = \mathbf{\frac{2 I_0}{\pi} \approx 0.637 I_0}$$$$V_{\text{mean}} = \mathbf{\frac{2 V_0}{\pi} \approx 0.637 V_0}$$
1.3 वर्ग माध्य मूल मान (Root Mean Square - RMS Value / Virtual Value)
परिभाषा: प्रत्यावर्ती धारा का वर्ग माध्य मूल मान (या आभासी मान $I_{\text{rms}}$) उस स्थिर दिष्ट धारा (DC) के मान के बराबर होता है जो किसी दिए गए प्रतिरोध में निश्चित समय में उतनी ही ऊष्मा उत्पन्न करती है जितनी कि वही AC धारा उसी प्रतिरोध में उतने ही समय में उत्पन्न करती है。
गणितीय निगमन:
सूक्ष्म समय $dt$ में प्रतिरोध $R$ में उत्पन्न ऊष्मा: $dH = I^2 R\,dt = (I_0 \sin\omega t)^2 R\,dt$
एक पूर्ण चक्र ($T$) में कुल ऊष्मा: $H = I_0^2 R \int_0^T \sin^2(\omega t) dt = I_0^2 R \left( \frac{T}{2} \right)$
यदि RMS धारा $I_{\text{rms}}$ हो: $H = I_{\text{rms}}^2 R T$
तुलना करने पर: $I_{\text{rms}}^2 R T = I_0^2 R \frac{T}{2} \implies I_{\text{rms}}^2 = \frac{I_0^2}{2}$
$$\mathbf{I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_0} \quad \text{तथा} \quad \mathbf{V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \approx 0.707 V_0}$$• AC अमीटर एवं वोल्टमीटर: धारा के तापन प्रभाव (तप्त-तार उपकरण - Hot Wire Instruments) पर आधारित होते हैं और सदैव RMS मान ही मापते हैं।
• घरेलू संभरण ($220\text{ V}$): यह $V_{\text{rms}} = 220\text{ V}$ है। इसका शिखर मान: $\mathbf{V_0 = 220 \times \sqrt{2} = 220 \times 1.414 \approx 311\text{ Volt}}$।
गणितीय निगमन:
सूक्ष्म समय $dt$ में प्रतिरोध $R$ में उत्पन्न ऊष्मा: $dH = I^2 R\,dt = (I_0 \sin\omega t)^2 R\,dt$
एक पूर्ण चक्र ($T$) में कुल ऊष्मा: $H = I_0^2 R \int_0^T \sin^2(\omega t) dt = I_0^2 R \left( \frac{T}{2} \right)$
यदि RMS धारा $I_{\text{rms}}$ हो: $H = I_{\text{rms}}^2 R T$
तुलना करने पर: $I_{\text{rms}}^2 R T = I_0^2 R \frac{T}{2} \implies I_{\text{rms}}^2 = \frac{I_0^2}{2}$
$$\mathbf{I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_0} \quad \text{तथा} \quad \mathbf{V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \approx 0.707 V_0}$$• AC अमीटर एवं वोल्टमीटर: धारा के तापन प्रभाव (तप्त-तार उपकरण - Hot Wire Instruments) पर आधारित होते हैं और सदैव RMS मान ही मापते हैं।
• घरेलू संभरण ($220\text{ V}$): यह $V_{\text{rms}} = 220\text{ V}$ है। इसका शिखर मान: $\mathbf{V_0 = 220 \times \sqrt{2} = 220 \times 1.414 \approx 311\text{ Volt}}$।