Electric Charges and Fields

1.1 वैद्युत आवेश क्या है? आवेशन की विधियां

वैद्युत आवेश (Electric Charge): द्रव्य का वह अंतर्निहित गुण जिसके कारण वह वैद्युत तथा चुंबकीय क्षेत्रों को उत्पन्न करता है और उनका अनुभव करता है। इसका SI मात्रक कूलॉम (Coulomb - C) है और इसकी विमा $[AT]$ होती है।

• आवेश के प्रकार: अमेरिकी वैज्ञानिक बेंजामिन फ्रैंकलिन ने आवेशों को दो वर्गों में विभाजित किया—धनात्मक (+ve) एवं ऋणात्मक (-ve)। सजातीय आवेश एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं जबकि विजातीय आवेश एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं।
• आवेशन की विधियां (Methods of Charging):
  1. घर्षण द्वारा आवेशन (Charging by Friction): दो वस्तुओं को परस्पर रगड़ने पर इलेक्ट्रॉनों का स्थानांतरण होता है। (जैसे कांच की छड़ को रेशम से रगड़ने पर कांच धनावेशित व रेशम ऋणावेशित हो जाता है)।
  2. चालन / स्पर्श द्वारा आवेशन (Charging by Conduction): किसी अनावेशित चालक को आवेशित चालक के सीधे संपर्क में लाने पर आवेश का पुनर्वितरण।
  3. स्थिरवैद्युत प्रेरण (Electrostatic Induction): बिना किसी भौतिक संपर्क के, निकट रखे आवेशित पिंड के प्रभाव से अनावेशित चालक के समीपवर्ती पृष्ठ पर विपरीत प्रकृति का तथा दूरवर्ती पृष्ठ पर समान प्रकृति का आवेश उत्पन्न हो जाना।

1.2 वैद्युत आवेश के तीन आधारभूत गुणधर्म (Fundamental Properties of Charge)

1. 1. आवेश की योज्यता (Additivity of Electric Charges):
   आवेश एक अदिश राशि है। किसी निकाय का कुल वैद्युत आवेश उसमें उपस्थित सभी व्यक्तिगत आवेशों के बीजगणितीय योग (Algebraic Sum) के बराबर होता है:
   $$Q = q_1 + q_2 + q_3 + \dots + q_n$$(चिह्नों का ध्यान रखा जाता है, जैसे $+5\text{ C} - 3\text{ C} = +2\text{ C}$)।
2. 2. वैद्युत आवेश का संरक्षण (Conservation of Electric Charge):
   किसी विलगित निकाय (Isolated System) का कुल आवेश सदैव संरक्षित (अपरिवर्तनीय) रहता है। आवेश को न तो उत्पन्न किया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है; इसे केवल एक पिंड से दूसरे पिंड में स्थानांतरित किया जा सकता है।
3. 3. आवेश का क्वांटीकरण (Quantisation of Electric Charge):
   
   क्वांटीकरण का सिद्धांत: प्रकृति में किसी भी आवेशित वस्तु पर कुल आवेश सदैव एक मूल आवेश (इलेक्ट्रॉनिक आवेश $e$) का पूर्ण गुणज (Integral Multiple) ही हो सकता है:
   $$\mathbf{q = \pm n e}$$जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ (एक पूर्णांक है) तथा $e = 1.602 \times 10^{-19}\text{ C}$ (मूल आवेश)।
   टिप्पणी: आवेश कभी भी $1.5e, 2.7e$ या भिन्न (fraction) के रूप में स्वतंत्र अवस्था में नहीं पाया जा सकता।

2.1 कूलॉम का नियम (Coulomb's Law in Electrostatics)

सन् 1785 में फ्रांसीसी भौतिकशास्त्री चार्ल्स ऑगस्टिन डी कूलॉम ने दो स्थिर बिंदु आवेशों के मध्य कार्य करने वाले बल के संबंध में एक नियम प्रतिपादित किया:

निर्वात अथवा वायु में:$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8.98755 \times 10^9 \approx 9 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$$जहाँ $\varepsilon_0$ (एप्साइलन नॉट) निर्वात की विद्युतशीलता (Permittivity of Free Space) है:
$$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2) \quad \text{[विमीय सूत्र: } [M^{-1}L^{-3}T^4A^2]\text{]}$$अतः निर्वात में दो आवेशों के बीच बल:$$F_0 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

2.2 कूलॉम के नियम का सदिश रूप (Vector Form of Coulomb's Law)

माना दो बिंदु आवेश $q_1$ तथा $q_2$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{r}_1$ व $\vec{r}_2$ हैं। $q_1$ से $q_2$ की ओर दिष्ट एकांक सदिश $\hat{r}_{12} = \frac{\vec{r}_2 - \vec{r}_1}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|}$ है।

• आवेश $q_2$ पर $q_1$ द्वारा लगाया गया बल:$$\vec{F}_{21} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}_{12}$$
• आवेश $q_1$ पर $q_2$ द्वारा लगाया गया बल:$$\vec{F}_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}_{21} = -\vec{F}_{21} \quad (\because \hat{r}_{21} = -\hat{r}_{12})$$
• निष्कर्ष: कूलॉम का नियम न्यूटन के गति के तृतीय नियम (क्रिया-प्रतिक्रिया नियम) का पूर्णतः पालन करता है और यह एक केंद्रीय बल (Central Force) है।

2.3 माध्यम का परावैद्युतांक या आपेक्षिक विद्युतशीलता (Dielectric Constant - K)

यदि दोनों आवेशों को निर्वात के स्थान पर किसी परावैद्युत माध्यम (जैसे जल, कांच, मोम) में समान दूरी पर रख दिया जाए, तो उनके बीच बल घटकर $F_m$ हो जाता है:

3.1 विद्युत क्षेत्र की तीव्रता (Electric Field Intensity - $\vec{E}$)

किसी स्थिर आवेश के चारों ओर का वह क्षेत्र जिसमें कोई अन्य परीक्षण आवेश वैद्युत बल का अनुभव करता है, विद्युत क्षेत्र कहलाता है।

बिंदु आवेश $q$ के कारण दूरी $r$ पर विद्युत क्षेत्र:$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}$$

3.2 विद्युत क्षेत्र रेखाएं एवं उनके प्रमुख गुणधर्म (Electric Field Lines)

माइकल फैराडे द्वारा विद्युत क्षेत्र की ज्यामितीय और दृश्य व्याख्या हेतु विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संकल्पना प्रस्तुत की गई थी। विद्युत क्षेत्र रेखा वह निष्कोण वक्र है जिस पर एक पृथक्कृत स्वतंत्र एकांक धन आवेश गति करने की प्रवृत्ति रखता है।

4.1 विद्युत द्विध्रुव एवं द्विध्रुव आघूर्ण (Electric Dipole & Dipole Moment)

जब दो समान परिमाण परंतु विपरीत प्रकृति के बिंदु आवेश ($-q$ व $+q$) एक-दूसरे से अति अल्प दूरी ($2a$) पर स्थित होते हैं, तो इस निकाय को विद्युत द्विध्रुव (Electric Dipole) कहते हैं (उदा: $\text{HCl}, \text{H}_2\text{O}, \text{NH}_3$)।

4.2 अक्षीय स्थिति (End-on / Axial Position) में विद्युत क्षेत्र का निगमन

द्विध्रुव के केंद्र $O$ से उसकी अक्ष पर दूरी $r$ पर स्थित बिंदु $P$ पर:

• $+q$ के कारण विद्युत क्षेत्र: $E_+ = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{(r - a)^2}$ (दिशा $\vec{p}$ के अनुदिश)
• $-q$ के कारण विद्युत क्षेत्र: $E_- = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{(r + a)^2}$ (दिशा $\vec{p}$ के विपरीत)
• परिणामी क्षेत्र $E_{\text{axial}} = E_+ - E_- = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{1}{(r-a)^2} - \frac{1}{(r+a)^2} \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{4ar}{(r^2 - a^2)^2}$
• चूंकि $p = q(2a)$:$$E_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2pr}{(r^2 - a^2)^2}$$
• लघु द्विध्रुव हेतु ($r \gg a$): $a^2$ की उपेक्षा करने पर:$$\mathbf{E_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2p}{r^3}} \quad (\text{दिशा: } \vec{p} \text{ के अनुदिश})$$

4.3 निरक्षीय स्थिति (Broadside-on / Equatorial Position) में विद्युत क्षेत्र का निगमन

द्विध्रुव के लंब द्विभाजक (निरक्षीय रेखा) पर केंद्र $O$ से दूरी $r$ पर स्थित बिंदु पर दोनों आवेशों से दूरी समान $\sqrt{r^2 + a^2}$ होती है।

• लंबवत घटक ($E\sin\theta$) परस्पर विपरीत होने के कारण निरस्त हो जाते हैं, जबकि क्षैतिज घटक ($E\cos\theta$) जुड़ जाते हैं:
• $E_{\text{equatorial}} = 2 E_+ \cos\theta = 2 \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2 + a^2} \right) \left( \frac{a}{\sqrt{r^2 + a^2}} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q(2a)}{(r^2 + a^2)^{3/2}}$
• लघु द्विध्रुव हेतु ($r \gg a$):$$\mathbf{E_{\text{equatorial}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p}{r^3}} \quad (\text{दिशा: } \vec{p} \text{ के ठीक विपरीत})$$

4.4 एकसमान विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव पर बल आघूर्ण एवं स्थितिज ऊर्जा

जब एक द्विध्रुव ($\vec{p}$) को एकसमान विद्युत क्षेत्र ($\vec{E}$) में क्षेत्र की दिशा से $\theta$ कोण पर रखा जाता है:

• कुल बल: $+q$ पर बल $+q\vec{E}$ तथा $-q$ पर बल $-q\vec{E}$ लगता है। अतः परिणामी बल $\mathbf{F_{\text{net}} = 0}$ होता है (स्थानांतरीय गति नहीं होती)।
• बल आघूर्ण (Torque - $\vec{\tau}$): दोनों बलों की क्रिया रेखा भिन्न होने के कारण एक बलयुग्म बनता है:$$\tau = \text{बल} \times \text{क्रिया रेखाओं के बीच लंबवत दूरी} = (qE) \times (2a\sin\theta) = (q\cdot 2a) E \sin\theta$$$$\mathbf{\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E} \implies \tau = pE\sin\theta}$$• महत्तम बल आघूर्ण: जब $\theta = 90^\circ \implies \tau_{\max} = pE$
  • साम्यावस्था: $\theta = 0^\circ$ पर स्थायी साम्यावस्था; $\theta = 180^\circ$ पर अस्थाई साम्यावस्था।
• स्थितिज ऊर्जा (Potential Energy - $U$):$$U = -\vec{p}\cdot\vec{E} = -pE\cos\theta$$

5.1 विद्युत फ्लक्स (Electric Flux - $\Phi_E$)

विद्युत क्षेत्र में स्थित किसी काल्पनिक पृष्ठ से अभिलंबवत गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की कुल संख्या की माप को विद्युत फ्लक्स कहते हैं।

5.2 गाउस का नियम (Gauss's Law)

5.3 गाउस के नियम के तीन महत्वपूर्ण अनुप्रयोग (Applications of Gauss's Law)

1. 1. अनंत लंबाई के एकसमान आवेशित सीधे तार के कारण विद्युत क्षेत्र:
   माना तार का रेखीय आवेश घनत्व $\lambda = \frac{q}{L}$ है। तार से $r$ दूरी पर $L$ लंबाई का एक समाक्षीय बेलनाकार गाउसीय पृष्ठ चुनते हैं:
   समतल वृत्ताकार फलकों से फ्लक्स $= 0$ (क्योंकि $\vec{E} \perp d\vec{A}$); वक्र पृष्ठ से फ्लक्स $= E \times (2\pi r L)$।
   गाउस के नियम से: $E(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}$
   $$\mathbf{E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}} \quad \implies E \propto \frac{1}{r}$$
2. 2. अनंत विस्तार की एकसमान आवेशित अचालक समतल चादर के कारण विद्युत क्षेत्र:
   माना चादर का पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{q}{A}$ है। चादर के आर-पार अनुप्रस्थ काट $A$ वाला एक बेलनाकार पिलबॉक्स चुनते हैं:
   बेलन के दोनों वृत्ताकार फलकों से फ्लक्स $= E A + E A = 2EA$; वक्र पृष्ठ से फ्लक्स $= 0$।
   गाउस के नियम से: $2EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$
   $$\mathbf{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$$
   महत्वपूर्ण निष्कर्ष: अनंत समतल चादर के निकट विद्युत क्षेत्र दूरी $r$ पर निर्भर नहीं करता; यह एकसमान विद्युत क्षेत्र होता है!
3. 3. एकसमान आवेशित पतले गोलीय खोल (Spherical Shell) के कारण विद्युत क्षेत्र:
   माना त्रिज्या $R$ के गोलीय खोल पर कुल आवेश $q$ एकसमान रूप से वितरित है ($q = \sigma \cdot 4\pi R^2$):
   • खोल के बाहर ($r > R$): त्रिज्या $r$ का संकेंद्रीय गोलीय गाउसीय पृष्ठ लेने पर: $E(4\pi r^2) = \frac{q}{\varepsilon_0} \implies \mathbf{E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}}$ (खोल ऐसे व्यवहार करता है मानो सारा आवेश केंद्र पर स्थित हो)।
   • खोल के पृष्ठ पर ($r = R$): $\mathbf{E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{R^2} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}}$ (अधिकतम)।
   • खोल के भीतर ($r < R$): चूंकि चालक खोल के भीतर कोई आवेश नहीं होता ($q_{\text{in}} = 0$):
   $$E(4\pi r^2) = 0 \implies \mathbf{E = 0}$$
   अनुप्रयोग: स्थिरवैद्युत परिरक्षण (Electrostatic Shielding)—आकाशीय बिजली चमकने पर कार या बस के भीतर बैठे रहना बाहर खड़े रहने से ज्यादा सुरक्षित होता है क्योंकि धातु की बॉडी एक बंद खोल की तरह व्यवहार करती है जिसके भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।