Electromagnetic Induction

1.1 चुंबकीय फ्लक्स (Magnetic Flux - $\Phi_B$)

किसी चुंबकीय क्षेत्र में स्थित किसी काल्पनिक अथवा वास्तविक पृष्ठ से अभिलंबवत गुजरने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की कुल संख्या की माप को चुंबकीय फ्लक्स कहते हैं:

1.2 फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के दो नियम (Faraday's Laws)

2.1 लेंज का नियम (Lenz's Law)

सन् 1834 में रूसी भौतिकशास्त्री हेनरिक लेंज ने प्रेरित धारा की दिशा निर्धारित करने हेतु एक सार्वभौमिक नियम प्रतिपादित किया:

प्रायोगिक उदाहरण:1. जब किसी चुंबक के उत्तरी ध्रुव ($N$) को कुंडली के पास लाते हैं, तो कुंडली का सम्मुख फलक उत्तरी ध्रुव ($N$) बन जाता है (वामावर्त धारा), जिससे वह चुंबक की गति का प्रतिकर्षण द्वारा विरोध करता है।
2. जब चुंबक के उत्तरी ध्रुव को कुंडली से दूर ले जाते हैं, तो सम्मुख फलक दक्षिणी ध्रुव ($S$) बन जाता है (दक्षिणावर्त धारा), जिससे वह चुंबक को दूर जाने से रोकने हेतु आकर्षण द्वारा विरोध करता है।

2.2 लेंज का नियम एवं ऊर्जा संरक्षण (Lenz's Law & Conservation of Energy)

3.1 गतिक विद्युत वाहक बल (Motional EMF)

जब $l$ लंबाई का एक चालक एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से क्षेत्र के लंबवत गति करता है:

• चालक के भीतर मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर चुंबकीय लॉरेंट्ज बल: $F_m = e v B$ (एक सिरे की ओर)
• आवेशों के जमाव से उत्पन्न विद्युत बल: $F_e = e E$
• साम्यावस्था में: $e E = e v B \implies E = v B$
• चालक के सिरों के बीच उत्पन्न विभवांतर (गतिक EMF):$$\mathbf{\mathcal{E} = E \cdot l = B v l}$$
• यदि परिपथ का प्रतिरोध $R$ हो, तो प्रेरित धारा: $I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{Bvl}{R}$
• चालक को नियत वेग से खींचने हेतु आवश्यक बाह्य बल: $F = I l B = \frac{B^2 l^2 v}{R}$
• शक्ति संरक्षण: यांत्रिक शक्ति $P_{\text{mech}} = F v = \frac{B^2 l^2 v^2}{R} = I^2 R = P_{\text{elec}}$ (यांत्रिक शक्ति = वैद्युत ऊष्मीय शक्ति)।
• घूर्णन करती छड़ में EMF: एक सिरा स्थिर रखकर $\omega$ कोणीय वेग से घुमाने पर: $\mathbf{\mathcal{E} = \frac{1}{2} B \omega l^2}$।

3.2 भंवर धाराएं (Eddy Currents / Foucault Currents)

भंवर धाराओं की हानियां एवं निवारण:भंवर धाराओं का प्रतिरोध बहुत कम होने के कारण इनका मान विशाल होता है, जिससे ट्रांसफॉर्मर, मोटर और डायनेमो के क्रोड में भारी मात्रा में विद्युत ऊर्जा ऊष्मा के रूप में व्यर्थ नष्ट हो जाती है।
• निवारण: क्रोड को एक ठोस ब्लॉक बनाने के बजाय पटलित क्रोड (Laminated Core) बनाया जाता है—अर्थात लोहे की पतली-पतली पत्तियों को वार्निश की विद्युतरोधी परत द्वारा परस्पर चिपका दिया जाता है, जिससे भंवर धाराओं का परिपथ टूट जाता है और ऊर्जा हानि न्यूनतम हो जाती है।

भंवर धाराओं के 4 प्रमुख उपयोगी अनुप्रयोग:

1. रेलगाड़ियों में चुंबकीय ब्रेक (Magnetic Braking in Trains): पहियों के पास विद्युत चुंबक चालू करते ही उत्पन्न भंवर धाराएं ट्रेन को बिना घिसावट के रोक देती हैं।
2. प्रेरण भट्टी (Induction Furnace): अत्यधिक तीव्र भंवर धाराओं द्वारा उत्पन्न ऊष्मा से धातुओं को पिघलाया जाता है।
3. रुद्धदोल गैल्वेनोमीटर (Dead Beat Galvanometer): तांबे के फ्रेम पर कुंडली लपेटने से भंवर धाराएं सुई को तुरंत विराम में ला देती हैं।
4. विद्युत ऊर्जा मीटर (Energy Meter): घरों में लगे मीटर की एल्युमिनियम चकती भंवर धाराओं द्वारा घूमती है।

4.1 स्वप्रेरण एवं स्वप्रेरकत्व (Self-Induction - $L$)

जब किसी कुंडली में प्रवाहित धारा में परिवर्तन किया जाता है, तो स्वयं उसी कुंडली से बद्ध चुंबकीय फ्लक्स बदलता है, जिससे उसी कुंडली में एक विरोधी प्रेरित विद्युत वाहक बल उत्पन्न हो जाता है। इस परिघटना को स्वप्रेरण कहते हैं।

• कुंडली का चुंबकीय फ्लक्स धारा के समानुपाती होता है: $\Phi_B \propto I \implies \mathbf{\Phi_B = L I}$
• फैराडे के नियम से स्व-प्रेरित EMF:$$\mathbf{\mathcal{E} = -L \frac{dI}{dt}}$$जहाँ $L$ कुंडली का स्वप्रेरकत्व (Self-Inductance) अथवा स्वप्रेरण गुणांक है।
  • SI मात्रक: हेनरी (Henry - H) ($\text{H} = \text{Wb/A} = \text{V}\cdot\text{s/A}$)।
  • वैद्युत जड़त्व (Electrical Inertia): स्वप्रेरकत्व परिपथ में धारा की वृद्धि अथवा कमी दोनों का विरोध करता है; अतः इसे परिपथ का वैद्युत जड़त्व कहते हैं।
• लंबी परिनालिका का स्वप्रेरकत्व:$$\mathbf{L = \mu_0 n^2 A l = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}} \quad (\text{क्रोड की आपेक्षिक चुंबकशीलता } \mu_r \text{ होने पर } L = \mu_r L_0)$$
• प्रेरक में संचित चुंबकीय स्थितिज ऊर्जा (Magnetic Energy):$$\mathbf{U = \frac{1}{2} L I^2} \quad \text{तथा चुंबकीय ऊर्जा घनत्व } \mathbf{u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}}$$

4.2 अन्योन्य प्रेरण एवं अन्योन्य प्रेरकत्व (Mutual Induction - $M$)

जब पास-पास रखी दो कुंडलियों में से प्राथमिक कुंडली ($P$) में प्रवाहित धारा में परिवर्तन किया जाता है, तो द्वितीयक कुंडली ($S$) से बद्ध फ्लक्स बदलने के कारण द्वितीयक कुंडली में प्रेरित EMF उत्पन्न हो जाता है। इसे अन्योन्य प्रेरण कहते हैं।

• दो समाक्षीय परिनालिकाओं का अन्योन्य प्रेरकत्व:$$\mathbf{M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 A}{l} = \mu_0 n_1 n_2 A l}$$युग्मन गुणांक $k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$ ($0 \le k \le 1$)।

5.1 AC जनित्र का कार्य सिद्धांत एवं संरचना

सिद्धांत: विद्युतचुंबकीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित वह युक्ति जो यांत्रिक ऊर्जा को प्रत्यावर्ती वैद्युत ऊर्जा में रूपांतरित करती है।

• चार मुख्य भाग:
  1. क्षेत्र चुंबक (Field Magnet): शक्तिशाली विद्युत चुंबक अथवा स्थायी चुंबक ($N-S$) जो एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ उत्पन्न करता है।
  2. आर्मेचर (Armature): नर्म लोहे के क्रोड पर तांबे के विद्युतरोधी तारों के $N$ फेरों वाली आयताकार कुंडली $ABCD$।
  3. सर्पी वलय (Slip Rings - $R_1, R_2$): पीतल के दो छल्ले जो आर्मेचर के सिरों से जुड़े होते हैं और धुरी के साथ घूमते हैं।
  4. कार्बन ब्रश ($B_1, B_2$): स्थिर कार्बन के गुटके जो सर्पी वलयों को स्पर्श करते हैं और बाह्य परिपथ में धारा भेजते हैं।

5.2 प्रेरित विद्युत वाहक बल का संपूर्ण गणितीय निगमन

माना $N$ फेरों तथा $A$ क्षेत्रफल वाली कुंडली को एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में एक नियत कोणीय वेग $\omega$ से घुमाया जाता है।

• समय $t$ पर कुंडली के तल के अभिलंब तथा $\vec{B}$ के बीच कोण: $\theta = \omega t$
• इस क्षण कुंडली से बद्ध कुल चुंबकीय फ्लक्स:$$\Phi_B = N B A \cos\theta = N B A \cos(\omega t)$$
• फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियमानुसार प्रेरित EMF:$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{d}{dt} [N B A \cos(\omega t)] = -N B A [-\omega \sin(\omega t)]$$$$\mathbf{\mathcal{E} = N B A \omega \sin(\omega t)}$$$$\mathbf{\mathcal{E} = \mathcal{E}_0 \sin(\omega t)}$$जहाँ $\mathbf{\mathcal{E}_0 = N B A \omega = 2\pi \nu N B A}$ प्रेरित EMF का शिखर मान (Peak Value) है।
• यदि परिपथ का कुल प्रतिरोध $R$ हो, तो प्रेरित प्रत्यावर्ती धारा:$$\mathbf{I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{\mathcal{E}_0}{R} \sin(\omega t) = I_0 \sin(\omega t)}$$