Electrostatic Potential and Capacitance

1.1 स्थिरवैद्युत विभवांतर एवं विभव की परिभाषा

स्थिरवैद्युत बल एक संरक्षी बल (Conservative Force) है। संरक्षी बल क्षेत्र में किसी आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य केवल प्रारंभिक व अंतिम बिंदुओं की स्थितियों पर निर्भर करता है, गति के पथ पर नहीं।

1.2 बिंदु आवेश के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव का निगमन

माना बिंदु $O$ पर एक बिंदु आवेश $+q$ स्थित है। इससे $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विभव ज्ञात करना है:

• $O$ से $x$ दूरी पर परीक्षण आवेश $q_0$ पर लगने वाला कूलॉम बल: $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q q_0}{x^2}$ (बाहर की ओर)
• परीक्षण आवेश को बल के विरुद्ध सूक्ष्म दूरी $dx$ विस्थापित करने में किया गया कार्य: $dW = -F\,dx = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q q_0}{x^2} dx$
• अनंत से दूरी $r$ तक लाने में कुल कार्य:$$W = -\int_\infty^r \frac{q q_0}{4\pi\varepsilon_0 x^2} dx = -\frac{q q_0}{4\pi\varepsilon_0} \left[ -\frac{1}{x} \right]_\infty^r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q q_0}{r}$$
• अतः विभव $V = \frac{W}{q_0}$:$$\mathbf{V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}} \quad \implies V \propto \frac{1}{r}$$

तुलना: विद्युत क्षेत्र $E \propto \frac{1}{r^2}$ दूरी के वर्ग के साथ घटता है, जबकि विभव $V \propto \frac{1}{r}$ दूरी के प्रथम घात के साथ घटता है।

2.1 समविभव पृष्ठ (Equipotential Surface) एवं इसके 4 प्रमुख लक्षण

समविभव पृष्ठ के चार अति-महत्वपूर्ण गुणधर्म:

1. आवेश को गति कराने में शून्य कार्य: समविभव पृष्ठ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य होता है ($V_B - V_A = 0$)। अतः किसी परीक्षण आवेश को पृष्ठ पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है:
   $$W = q_0 (V_B - V_A) = q_0 \times 0 = \mathbf{0}$$
2. विद्युत क्षेत्र रेखाएं सदैव लंबवत होती हैं: चूंकि $dW = \vec{E}\cdot d\vec{r} = E\,dr\cos\theta = 0$, अतः $\cos\theta = 0 \implies \mathbf{\theta = 90^\circ}$। विद्युत क्षेत्र रेखाएं समविभव पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर अभिलंबवत होती हैं।
3. दो समविभव पृष्ठ कभी एक-दूसरे को नहीं काटते: यदि वे काटेंगे तो कटान बिंदु पर विभव के दो मान होंगे, जो कि असंभव है।
4. विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का मापक: जहाँ विद्युत क्षेत्र तीव्र होता है, वहाँ समविभव पृष्ठ एक-दूसरे के समीप होते हैं; और जहाँ क्षेत्र दुर्बल होता है, वहाँ पृष्ठ एक-दूसरे से दूर होते हैं।

2.2 विद्युत क्षेत्र एवं विभव प्रवणता में संबंध (Relation between E and V)

माना दो अत्यंत समीपवर्ती समविभव पृष्ठ जिनके विभव क्रमशः $V$ तथा $V - dV$ हैं, परस्पर लंबवत दूरी $dr$ पर स्थित हैं। एकांक धनावेश को विद्युत क्षेत्र के विरुद्ध $dr$ विस्थापित करने में किया गया कार्य विभवांतर $dV$ के बराबर होगा:

3.1 विद्युत द्विध्रुव के कारण विभव (Potential due to an Electric Dipole)

द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p} = q(2\vec{a})$ के केंद्र $O$ से दूरी $r$ तथा कोण $\theta$ पर स्थित बिंदु पर परिणामी विभव का व्यापक सूत्र:

• 1. अक्षीय स्थिति (Axial Position, $\theta = 0^\circ$):$$\mathbf{V_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p}{r^2}}$$(यदि बिंदु $-q$ की ओर हो तो $\theta = 180^\circ \implies V = -\frac{kp}{r^2}$)।
• 2. निरक्षीय स्थिति (Equatorial Position, $\theta = 90^\circ$):$$\cos 90^\circ = 0 \implies \mathbf{V_{\text{equatorial}} = 0}$$
  परीक्षा का प्रसिद्ध प्रश्न: क्या ऐसा संभव है कि किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र अशून्य हो ($E \neq 0$) परंतु विद्युत विभव शून्य हो ($V = 0$)?
  उत्तर: हाँ! विद्युत द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा (Equatorial Line) के प्रत्येक बिंदु पर $V = 0$ होता है जबकि विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p}{r^3} \neq 0$ होता है।

3.2 आवेशों के निकाय की स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा (Potential Energy of Charges)

आवेशों को अनंत से उनकी परस्पर दूरियों तक लाकर एक निकाय का निर्माण करने में बाह्य कर्ता द्वारा किए गए कुल कार्य को उस निकाय की स्थितिज ऊर्जा ($U$) कहते हैं:

• दो बिंदु आवेशों का निकाय:$$\mathbf{U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r_{12}}}$$(चिह्नों के साथ मान रखा जाता है; सजातीय आवेशों हेतु $U > 0$, विजातीय आवेशों हेतु $U < 0$)।
• तीन बिंदु आवेशों का निकाय:$$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} \right]$$
• एकसमान बाह्य विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा:$$\mathbf{U = -\vec{p}\cdot\vec{E} = -pE\cos\theta}$$द्विध्रुव को $\theta_1$ से $\theta_2$ तक घुमाने में किया गया कार्य: $W = pE(\cos\theta_1 - \cos\theta_2)$।

4.1 वैद्युत धारिता की अवधारणा (Concept of Capacitance)

जब किसी चालक को आवेश दिया जाता है, तो उसका विभव उसी अनुपात में बढ़ता है ($Q \propto V \implies Q = CV$)।

विलगित गोलीय चालक की धारिता: $C = 4\pi\varepsilon_0 R$ (पृथ्वी की त्रिज्या $R=6400\text{ km}$ रखने पर पृथ्वी की धारिता मात्र $\approx 711\text{ }\mu\text{F}$ आती है)।

4.2 समांतर पट्टिका संधारित्र (Parallel Plate Capacitor) की धारिता का निगमन

माना दो समांतर चालक पट्टिकाओं में प्रत्येक का क्षेत्रफल $A$ है और उनके बीच की दूरी $d$ है। एक पट्टिका पर $+Q$ तथा दूसरी पर $-Q$ आवेश है (पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{A}$)।

• पट्टिकाओं के बीच एकसमान विद्युत क्षेत्र: $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 A}$
• पट्टिकाओं के बीच विभवांतर: $V = E \cdot d = \frac{Q d}{\varepsilon_0 A}$
• धारिता $C_0 = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\frac{Q d}{\varepsilon_0 A}}$:$$\mathbf{C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}} \quad (\text{निर्वात या वायु में})$$

4.3 परावैद्युत माध्यम का प्रभाव (Effect of Dielectric Medium)

1. संपूर्ण स्थान में परावैद्युत ($K$) भरा होने पर: पट्टिकाओं के बीच विद्युत क्षेत्र घटकर $E = E_0 / K$ हो जाता है, जिससे विभव $V = V_0 / K$ हो जाता है:
   $$\mathbf{C = \frac{K\varepsilon_0 A}{d} = K C_0}$$
   निष्कर्ष: संधारित्र की पट्टिकाओं के बीच परावैद्युत पदार्थ रखने पर उसकी धारिता $K$ गुना बढ़ जाती है!
2. आंशिक रूप से $t$ मोटाई की परावैद्युत पट्टी ($t < d$) रखने पर:
   वायु में दूरी $= (d - t)$, परावैद्युत में दूरी $= t$
   विभवांतर $V = E_0 (d - t) + E_m t = E_0 \left( d - t + \frac{t}{K} \right) = \frac{Q}{\varepsilon_0 A} \left( d - t + \frac{t}{K} \right)$
   $$\mathbf{C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}}$$

5.1 संधारित्रों का संयोजन (Combination of Capacitors)

5.2 संधारित्र में संचित ऊर्जा एवं ऊर्जा घनत्व (Energy Stored & Energy Density)

संधारित्र को आवेशित करने में बाह्य स्रोत (बैटरी) द्वारा किया गया कार्य पट्टिकाओं के मध्य विद्युत क्षेत्र के रूप में संचित हो जाता है:

• किसी क्षण जब आवेश $q$ तथा विभव $v = q/C$ हो, तो अतिरिक्त आवेश $dq$ देने में कार्य: $dW = v\,dq = \frac{q}{C} dq$
• कुल आवेश $Q$ देने में कुल कार्य (संचित ऊर्जा $U$):$$U = \int_0^Q \frac{q}{C} dq = \frac{1}{C} \left[ \frac{q^2}{2} \right]_0^Q = \frac{Q^2}{2C}$$
• चूंकि $Q = CV$:$$\mathbf{U = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} Q V}$$
• विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व (Energy Density - $u$): प्रति एकांक आयतन में संचित स्थिरवैद्युत ऊर्जा:$$u = \frac{U}{\text{आयतन}} = \frac{\frac{1}{2} C V^2}{A \cdot d} = \frac{\frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) (E d)^2}{A d} = \mathbf{\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2}$$

5.3 दो आवेशित चालकों को जोड़ने पर आवेश का पुनर्वितरण एवं ऊर्जा हानि