Moving Charges and Magnetism

1.1 चुंबकीय क्षेत्र (Magnetic Field - $\vec{B}$) एवं लॉरेंट्ज बल

गतिमान आवेश अथवा धारावाही चालक के चारों ओर का वह क्षेत्र जिसमें कोई अन्य गतिमान आवेश अथवा चुंबकीय सुई चुंबकीय बल का अनुभव करती है, चुंबकीय क्षेत्र कहलाता है। इसका SI मात्रक टेस्ला (Tesla - T) अथवा $\text{Wb/m}^2$ है ($1\text{ Tesla} = 10^4\text{ Gauss}$)।

संपूर्ण लॉरेंट्ज बल (Total Lorentz Force): यदि कण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ एवं चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ दोनों में गतिमान हो:
$$\mathbf{\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})}$$

1.2 एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण की वृत्तीय एवं हेलिकल गति

1. जब कण क्षेत्र के लंबवत प्रवेश करता है ($\theta = 90^\circ$):
   चुंबकीय बल $\vec{F}_m$ सदैव वेग $\vec{v}$ के लंबवत केंद्र की ओर कार्य करता है, जो आवश्यक अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है:
   $$\frac{m v^2}{r} = q v B \implies \mathbf{r = \frac{m v}{q B} = \frac{p}{q B} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}}$$
   जहाँ $p = mv$ संवेग तथा $K = \frac{p^2}{2m}$ गतिज ऊर्जा है।
   • आवर्तकाल (Time Period - $T$) एवं आवृत्ति (Frequency - $\nu$):
   $$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{v} \left( \frac{mv}{qB} \right) = \mathbf{\frac{2\pi m}{q B}}$$$$\nu = \frac{1}{T} = \mathbf{\frac{q B}{2\pi m}}$$
   क्रांतिक निष्कर्ष: वृत्ताकार पथ का आवर्तकाल और आवृत्ति कण के वेग ($v$) तथा त्रिज्या ($r$) पर बिल्कुल निर्भर नहीं करते!
2. जब कण किसी कोण $\theta$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) पर प्रवेश करता है:
   वेग के दो घटक होते हैं: $v_\parallel = v\cos\theta$ (क्षेत्र के अनुदिश, कोई बल नहीं) तथा $v_\perp = v\sin\theta$ (क्षेत्र के लंबवत, वृत्तीय गति कराता है)। इन दोनों के संयुक्त प्रभाव से कण का पथ एक कुंडलिनी (Helix) बन जाता है:
   त्रिज्या $r = \frac{m v_\perp}{q B} = \frac{m v \sin\theta}{q B}$ तथा पिच (Pitch - एक आवर्तकाल में तय रेखीय दूरी) $p = v_\parallel \times T = \frac{2\pi m v \cos\theta}{q B}$।

2.1 बायो-सावर्ट का नियम (Biot-Savart Law)

सन् 1820 में फ्रांसीसी वैज्ञानिक ज्यां-बैप्टिस्ट बायो और फेलिक्स सावर्ट ने धारावाही चालक के किसी सूक्ष्म अल्पांश ($d\vec{l}$) द्वारा किसी बिंदु $P$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र ($d\vec{B}$) का नियम दिया:

2.2 धारावाही वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का निगमन

त्रिज्या $R$ तथा $N$ फेरों वाली एक वृत्ताकार कुंडली में धारा $I$ प्रवाहित है। कुंडली के केंद्र $O$ से अक्ष पर $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर:

• अल्पांश $dl$ से बिंदु की दूरी $r = \sqrt{R^2 + x^2}$
• अक्ष के लंबवत घटक ($dB\cos\phi$) सममिति के कारण परस्पर निरस्त हो जाते हैं, जबकि अक्ष के अनुदिश घटक ($dB\sin\phi$) जुड़ जाते हैं:
• $B = \int dB \sin\phi = \int \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl}{r^2} \right) \left( \frac{R}{r} \right) = \frac{\mu_0 I R}{4\pi r^3} \int dl = \frac{\mu_0 I R}{4\pi r^3} (2\pi R)$
• $N$ फेरों के लिए:$$\mathbf{B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}}$$
• विशेष स्थिति 1: कुंडली के केंद्र पर ($x = 0$):$$\mathbf{B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 N I}{2R}}$$
• विशेष स्थिति 2: अत्यधिक दूरी पर ($x \gg R$): $R^2$ की उपेक्षा करने पर:$$B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2 x^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2(N I \cdot \pi R^2)}{x^3} = \mathbf{\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{x^3}}$$
  जहाँ $M = N I A = N I (\pi R^2)$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है (यह विद्युत द्विध्रुव के अक्षीय सूत्र $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p}{x^3}$ के बिल्कुल समरूप है!)।

3.1 ऐम्पियर का परिपथीय नियम (Ampere's Circuital Law)

3.2 ऐम्पियर नियम के प्रमुख अनुप्रयोग

1. 1. अनंत लंबे सीधे धारावाही चालक का चुंबकीय क्षेत्र:
   तार से $r$ दूरी पर $r$ त्रिज्या का वृत्ताकार लूप लेने पर: $\oint B\,dl\cos 0^\circ = B(2\pi r) = \mu_0 I$
   $$\mathbf{B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}} \quad \implies B \propto \frac{1}{r}$$
2. 2. लंबी धारावाही परिनालिका (Ideal Solenoid) के भीतर चुंबकीय क्षेत्र:
   एक आयताकार ऐम्पियर लूप $abcd$ लेने पर (बाहर $B=0$, लंबवत भुजाओं पर $\vec{B}\perp d\vec{l}$):
   $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = B L = \mu_0 (N I) = \mu_0 (n L I)$
   $$\mathbf{B = \mu_0 n I}$$
   जहाँ $n = \frac{N}{L}$ परिनालिका की प्रति मीटर लंबाई में फेरों की संख्या है। परिनालिका के सिरों पर चुंबकीय क्षेत्र आधा हो जाता है: $B_{\text{end}} = \frac{1}{2}\mu_0 n I$।
3. 3. टोरॉइड (Toroid - बंद वृत्ताकार परिनालिका):
   $$\mathbf{B = \mu_0 n I = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}}$$
   टोरॉइड के भीतर क्रोड में एकसमान चुंबकीय क्षेत्र होता है, जबकि इसके खुले आंतरिक और बाह्य स्थान में चुंबकीय क्षेत्र शून्य ($B=0$) होता है।

4.1 दो समांतर धारावाही चालकों के मध्य बल का निगमन

माना निर्वात में दूरी $d$ पर रखे दो लंबे सीधे तारों में क्रमशः $I_1$ तथा $I_2$ धाराएं प्रवाहित हैं:

• तार 1 द्वारा तार 2 की स्थिति पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र: $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$ (कागज के तल के लंबवत नीचे की ओर)
• इस चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ में स्थित तार 2 की $L$ लंबाई पर लगने वाला चुंबकीय बल: $F_2 = I_2 L B_1 \sin 90^\circ = I_2 L \left( \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} \right)$
• अतः तारों की प्रति एकांक लंबाई पर लगने वाला पारस्परिक बल:$$\mathbf{\frac{F}{L} = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2}{d}} \quad (\text{SI मात्रक: N/m})$$

4.2 'एक एम्पियर' की मानक अंतरराष्ट्रीय परिभाषा (Definition of 1 Ampere)

5.1 एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारा लूप पर बल आघूर्ण

क्षेत्रफल $A$ तथा $N$ फेरों वाली आयताकार कुंडली जब चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में रखी जाती है, तो उस पर नेट बल शून्य होता है, परंतु विपरीत भुजाओं के बलों के कारण एक बल आघूर्ण (Torque - $\vec{\tau}$) लगता है:

5.2 चल कुंडली गैल्वेनोमीटर (Moving Coil Galvanometer)

कार्य सिद्धांत: जब किसी धारावाही कुंडली को एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में लटकाया जाता है, तो उस पर एक विक्षेपक बल आघूर्ण कार्य करता है जो कुंडली को घुमाने का प्रयास करता है।

• त्रिज्य चुंबकीय क्षेत्र (Radial Magnetic Field): अवतल (बेलनाकार कटे) चुंबक ध्रुवों तथा बीच में नर्म लोहे के बेलनाकार क्रोड का उपयोग करके चुंबकीय क्षेत्र को 'त्रिज्य' बनाया जाता है। इससे कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के सदैव समांतर रहता है ($\theta = 90^\circ$), जिससे विक्षेपक बल आघूर्ण सदैव अधिकतम रहता है:
  $$\tau_{\text{deflecting}} = N I A B$$
• संतुलन की अवस्था: फॉस्फर-ब्रांज की पत्ती में उत्पन्न प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau_{\text{restoring}} = C \phi$ (जहाँ $C$ ऐंठन दृढ़ता तथा $\phi$ विक्षेप कोण है):
  $$N I A B = C \phi \implies \mathbf{\phi = \left( \frac{NAB}{C} \right) I \implies \phi \propto I}$$
  अतः विक्षेप सीधे प्रवाहित धारा के समानुपाती होता है (पैमाना रैखिक होता है)।
• धारा सुग्राहिता (Current Sensitivity): $S_i = \frac{\phi}{I} = \frac{NAB}{C}$ (प्रति एकांक धारा पर विक्षेप)।
• वोल्टता सुग्राहिता (Voltage Sensitivity): $S_v = \frac{\phi}{V} = \frac{NAB}{C R_G}$ (प्रति एकांक वोल्ट पर विक्षेप)।

5.3 गैल्वेनोमीटर का अमीटर एवं वोल्टमीटर में रूपांतरण