Ray Optics and Optical Instruments

1.1 अपवर्तन के नियम एवं वास्तविक व आभासी गहराई

जब प्रकाश की किरण एक पारदर्शी माध्यम से दूसरे में जाती है, तो अपने मार्ग से विचलित हो जाती है:

• स्नेल का नियम (Snell's Law): $\mathbf{\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{n_2}{n_1} = {_1n_2}}$ (जहाँ $n = \frac{c}{v}$ निरपेक्ष अपवर्तनांक है)।
• वास्तविक एवं आभासी गहराई (Real & Apparent Depth): जब सघन माध्यम (अपवर्तनांक $n$) में रखी वस्तु को विरल माध्यम (वायु) से देखते हैं:
  $$\mathbf{d_{\text{apparent}} = \frac{d_{\text{real}}}{n}} \quad \implies \text{उठाव (Shift) } \Delta y = d\left(1 - \frac{1}{n}\right)$$उदाहरण: पानी में पड़ी पेंसिल का मुड़ी हुई दिखना, सिक्का ऊपर उठा दिखना।

1.2 पूर्ण आंतरिक परावर्तन (Total Internal Reflection - TIR)

1.3 प्रकाशिक तंतु (Optical Fibre) की संरचना एवं कार्यप्रणाली

ऑप्टिकल फाइबर पूर्ण आंतरिक परावर्तन पर आधारित अति-तीव्र दूरसंचार युक्ति है:

• संरचना: यह उच्च गुणवत्ता वाले सिलिका या क्वार्ट्ज कांच की अत्यधिक पतली नली (बाल जितनी महीन) होती है। इसके दो मुख्य भाग होते हैं:
  1. क्रोड (Core): केंद्रीय आंतरिक भाग जिसका अपवर्तनांक उच्च ($n_1 \approx 1.5$) होता है।
  2. आवरण / क्लैडिंग (Cladding): क्रोड के चारों ओर कांच/प्लास्टिक की सुरक्षात्मक परत जिसका अपवर्तनांक अपेक्षाकृत कम ($n_2 < n_1, n_2 \approx 1.45$) होता है।
• कार्यप्रणाली: जब प्रकाश सिग्नल को एक सिरे से क्रोड-क्लैडिंग अंतरापृष्ठ पर $i > i_c$ कोण पर प्रवेश कराया जाता है, तो किरण बिना किसी ऊर्जा क्षय के बार-बार पूर्ण आंतरिक परावर्तित होकर किलोमीटरों दूर दूसरे सिरे पर प्रकाश के वेग से पहुँच जाती है।
• अनुप्रयोग: उच्च-गति इंटरनेट (ब्राडबैंड), चिकित्सा में एंडोस्कोपी (आंतरिक अंगों की जांच)।

2.1 एकल गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन का सूत्र (Refraction at Spherical Surface)

2.2 लेंस निर्माता का सूत्र (Lens Maker's Formula) का संपूर्ण निगमन

माना $n_2$ अपवर्तनांक के कांच का एक पतला लेंस $n_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में रखा है, जिसके पृष्ठों की वक्रता त्रिज्याएं $R_1$ व $R_2$ हैं।

• प्रथम पृष्ठ ($R_1$) पर अपवर्तन: बिंब $O$ का आभासी प्रतिबिंब $I'$ पर बनता है ($v = v'$):$$\frac{n_2}{v'} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R_1} \quad \text{--- (समीकरण 1)}$$
• द्वितीय पृष्ठ ($R_2$) पर अपवर्तन: आभासी प्रतिबिंब $I'$ द्वितीय पृष्ठ के लिए आभासी बिंब का कार्य करता है ($u = v'$) और अंतिम प्रतिबिंब $I$ पर बनता है ($v$ दूरी पर):$$\frac{n_1}{v} - \frac{n_2}{v'} = \frac{n_1 - n_2}{R_2} = -\frac{n_2 - n_1}{R_2} \quad \text{--- (समीकरण 2)}$$
• समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर $\frac{n_2}{v'}$ निरस्त हो जाता है:$$\frac{n_1}{v} - \frac{n_1}{u} = (n_2 - n_1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$
• $n_1$ से दोनों पक्षों में भाग देने पर:$$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \left(\frac{n_2}{n_1} - 1\right)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$
• जब बिंब अनंत पर हो ($u = \infty$), तो प्रतिबिंब फोकस पर बनता है ($v = f$): $\frac{1}{f} - \frac{1}{\infty} = \frac{1}{f}$।

3.1 प्रिज्म द्वारा अपवर्तन एवं न्यूनतम विचलन का सूत्र

जब प्रकाश एक $A$ अपवर्तक कोण वाले कांच के प्रिज्म से गुजरता है, तो आपतन कोण $i$ तथा निर्गत कोण $e$ के साथ विचलन कोण $\delta$ का संबंध है: $\mathbf{A + \delta = i + e}$।

• न्यूनतम विचलन की स्थिति (Condition of Minimum Deviation - $\delta = D_m$):
  इस विशेष स्थिति में किरण प्रिज्म के आधार के समांतर गुजरती है: $i = e$ तथा $r_1 = r_2 = r$।
  अतः: $A = r + r = 2r \implies \mathbf{r = \frac{A}{2}}$
  तथा: $A + D_m = i + i = 2i \implies \mathbf{i = \frac{A + D_m}{2}}$
• स्नेल के नियम ($n = \frac{\sin i}{\sin r}$) में मान रखने पर प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र:$$\mathbf{n = \frac{\sin\left(\frac{A + D_m}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)}}$$
• पतले प्रिज्म हेतु विचलन: $\mathbf{\delta = (n - 1) A}$।

3.2 वर्ण-विक्षेपण एवं रैले का प्रकीर्णन नियम (Dispersion & Scattering)

• वर्ण-विक्षेपण (Dispersion): श्वेत प्रकाश का प्रिज्म से गुजरने पर अपने सात अवयवी रंगों (VIBGYOR) में विभक्त होना। कॉशी के सूत्र ($n = a + b/\lambda^2$) के अनुसार बैंगनी रंग की तरंगदैर्ध्य न्यूनतम होने से अपवर्तनांक $n_v$ सर्वाधिक होता है, अतः बैंगनी रंग का विचलन सबसे अधिक तथा लाल रंग का विचलन सबसे कम होता है।
• रैले का प्रकीर्णन नियम (Rayleigh's Law of Scattering): जब प्रकीर्णक कणों का आकार प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से बहुत छोटा हो ($a \ll \lambda$):$$\mathbf{I \propto \frac{1}{\lambda^4}}$$• आकाश का नीला रंग: नीले रंग की तरंगदैर्ध्य लाल की तुलना में लगभग आधी होती है, अतः वायुमंडल के कण नीले प्रकाश को लाल की तुलना में $2^4 = 16$ गुना अधिक प्रकीर्णित करते हैं, जिससे आकाश नीला दिखाई देता है।
  • सूर्योदय व सूर्यास्त के समय सूर्य का रक्ताभ (लाल) दिखना: क्षितिज पर सूर्य की किरणों को वायुमंडल की अत्यधिक मोटी परत से गुजरना पड़ता है। कम तरंगदैर्ध्य वाला नीला-बैंगनी प्रकाश मार्ग में ही प्रकीर्णित होकर बिखर जाता है, और केवल अधिकतम तरंगदैर्ध्य वाला लाल प्रकाश ही सीधे हमारी आँखों तक पहुँच पाता है।
  • खतरे के सिग्नल लाल होना: लाल प्रकाश का प्रकीर्णन न्यूनतम होने से यह कोहरे में भी दूर से स्पष्ट दिखता है।

4.1 संरचना एवं किरण आरेख

अतिसूक्ष्म वस्तुओं (जैसे जीवाणु, रक्त कणिकाएं) को अत्यधिक आवर्धित करके देखने हेतु प्रयुक्त प्रकाशिक यंत्र। इसमें दो उत्तल लेंस एक समाक्षीय नली में लगे होते हैं:

1. अभिदृश्यक लेंस (Objective Lens - $O$): वस्तु की ओर वाला लेंस। इसका द्वारक (Aperture) तथा फोकस दूरी ($f_o$) दोनों अत्यंत छोटे होते हैं, ताकि वस्तु द्वारा विशाल कोण अंतरित हो सके। यह वस्तु का वास्तविक, उल्टा व आवर्धित प्रतिबिंब $A'B'$ बनाता है।
2. नेत्रिका (Eyepiece - $E$): आँख की ओर वाला लेंस। इसकी फोकस दूरी ($f_e$) तथा द्वारक अभिदृश्यक की तुलना में बड़ा होता है। यह एक सरल सूक्ष्मदर्शी की भांति कार्य करके $A'B'$ का काल्पनिक, सीधा (मूल वस्तु के सापेक्ष उल्टा) व अत्यधिक विशाल अंतिम प्रतिबिंब $A''B''$ बनाता है।

4.2 आवर्धन क्षमता ($m$) के सूत्र

कुल आवर्धन क्षमता दोनों लेंसों के आवर्धन का गुणनफल होती है: $m = m_o \times m_e = \left(-\frac{v_o}{u_o}\right) \times m_e$

• केस 1: जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी ($D = 25\text{ cm}$) पर बने:$$\mathbf{m = -\frac{v_o}{u_o} \left(1 + \frac{D}{f_e}\right)} \approx -\frac{L}{f_o} \left(1 + \frac{D}{f_e}\right)$$सूक्ष्मदर्शी की नली की लंबाई: $\mathbf{L = v_o + u_e}$
• केस 2: सामान्य समायोजन (Normal Adjustment - अंतिम प्रतिबिंब अनंत $\infty$ पर बने):$$\mathbf{m = -\frac{v_o}{u_o} \left(\frac{D}{f_e}\right)} \approx -\frac{L}{f_o} \left(\frac{D}{f_e}\right)$$नली की लंबाई: $\mathbf{L = v_o + f_e}$ (जहाँ $L$ अभिदृश्यक व नेत्रिका के बीच की दूरी है)।

5.1 अपवर्ती खगोलीय दूरदर्शी (Refracting Astronomical Telescope)

दूर स्थित आकाशीय पिंडों (ग्रह, चंद्रमा, तारे) को देखने हेतु प्रयुक्त यंत्र:

• अभिदृश्यक लेंस: वस्तु (तारे) की ओर वाला लेंस। इसकी फोकस दूरी ($f_o$) तथा द्वारक अत्यधिक विशाल होते हैं ताकि दूरस्थ तारों से अधिक से अधिक प्रकाश एकत्रित कर चमकीला प्रतिबिंब बना सके।
• नेत्रिका: आँख की ओर वाला छोटा लेंस, जिसकी फोकस दूरी ($f_e$) तथा द्वारक छोटे होते हैं।
• आवर्धन क्षमता ($m$):$$\text{सामान्य समायोजन (प्रतिबिंब } \infty \text{ पर): } \mathbf{m = -\frac{f_o}{f_e}} \quad \text{तथा नली की लंबाई } \mathbf{L = f_o + f_e}$$$$\text{प्रतिबिंब } D \text{ पर: } \mathbf{m = -\frac{f_o}{f_e}\left(1 + \frac{f_e}{D}\right)} \quad \text{तथा नली की लंबाई } \mathbf{L = f_o + u_e}$$
• उच्च आवर्धन की शर्त: $f_o$ का मान अत्यधिक बड़ा तथा $f_e$ का मान अत्यंत छोटा होना चाहिए।

5.2 परावर्ती दूरदर्शी (Cassegrain Reflecting Telescope) एवं इसकी श्रेष्ठता

आधुनिक खगोल विज्ञान में अपवर्ती दूरदर्शी के स्थान पर परावर्ती दूरदर्शी का उपयोग किया जाता है, जिसमें अभिदृश्यक के रूप में एक विशाल अवतल परवलयाकार दर्पण (Parabolic Mirror) तथा द्वितीयक उत्तल दर्पण का प्रयोग होता है।