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झारखण्ड बोर्ड (JAC) • कक्षा 6 • Mathematics • अध्याय 3

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

पूर्णांक

झारखण्ड बोर्ड (JAC) कक्षा 6 गणित में, "पूर्णांक" संख्या रेखा को नकारात्मक क्षेत्र में विस्तारित करता है: $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$। छात्र वास्तविक दुनिया के प्रतिनिधित्व (लाभ/हानि, समुद्र तल से ऊपर/नीचे, तापमान), संख्या रेखा क्रम, निरपेक्ष मान, और संख्या रेखाओं के साथ और बिना पूर्णांक जोड़ और घटाव नियमों का पता लगाते हैं।

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प्राचीन भारतीय गणित में ऋणात्मक संख्याओं को ऐतिहासिक रूप से "ऋण संख्या" कहा जाता था! पता लगाएं कि कैसे पूर्णांक बिना सीमाओं के घटाव को सार्वभौमिक रूप से संभव बनाते हैं।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

पूर्ण संख्याएं और संख्या रेखा
मूल जोड़ और घटाव

इस अध्याय के लक्ष्य

धनात्मक और नकारात्मक पूर्णांकों का उपयोग करके वास्तविक दुनिया की विपरीत स्थितियों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
संख्या रेखा पर पूर्णांकों का पता लगाएं और उनकी तुलना करें ($a < b$ यदि $a$ इसके बाईं ओर स्थित है) $b$).
चिह्न नियमों का उपयोग करके पूर्णांकों का योग करें.
योगात्मक व्युत्क्रम जोड़कर पूर्णांकों का घटाव करें: $a - b = a + (-b)$.

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 पाठ्यक्रम और पुस्तक का मिलान

2 1. ऋणात्मक संख्याओं और पूर्णांक रेख...

3 2. पूर्णांकों के लिए जोड़ और घटाव न...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

पाठ्यक्रम और पुस्तक का मिलान

JCERT 2026–27: सामान्य विद्यालय (Non-SOE) — अध्याय 3 · पूर्णांक। पाठ्यक्रम पृष्ठ 42–69। नीचे दिए नोट्स इसी विषय के हैं। आधिकारिक पाठ्यक्रम। आधिकारिक JCERT हिन्दी पुस्तक। DIKSHA की कुछ मूल PDF क्षतिग्रस्त हैं। सहायक संदर्भ पुस्तक की अध्याय संख्या अलग है।

1. ऋणात्मक संख्याओं और पूर्णांक रेखा की आवश्यकता

पूर्ण संख्याएँ शून्य से नीचे की मात्रा का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकती हैं (उदाहरण के लिए $-15^\circ\text{C}$ का उप-शून्य हिमालयी सर्दियों का तापमान, गहरे समुद्र की गहराई, या वित्तीय बैंक ऋण)। पूर्णांक का सेट है:$$\mathbb{Z} = \{\dots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \dots\}$$

धनात्मक पूर्णांक: $1, 2, 3, \dots$ (0 के दाईं ओर).
ऋणात्मक पूर्णांक: $-1, -2, -3, \dots$ (0 के बाईं ओर).
$0$ एक पूर्णांक है जो न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक.
आदेश नियम: प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक शून्य से बड़ा है और प्रत्येक ऋणात्मक पूर्णांक से बड़ा है। संख्या रेखा पर किन्हीं दो संख्याओं के लिए, दाईं ओर की संख्या हमेशा बड़ी होती है: $-1 > -100$!

2. पूर्णांकों के लिए जोड़ और घटाव नियम

जोड़ नियम

समान चिह्न: निरपेक्ष मान जोड़ें और सामान्य चिह्न रखें:
$(+5) + (+3) = +8$
$(-5) + (-3) = -(5 + 3) = -8$
अलग-अलग संकेत: बड़े से छोटे संख्यात्मक मान को घटाएं और बड़े मान का चिह्न संलग्न करें:
$(-8) + (+5) = -(8 - 5) = -3$
$(+8) + (-5) = +(8 - 5) = +3$

योगात्मक व्युत्क्रम के माध्यम से घटाव

गोल्डन घटाव नियम: एक पूर्णांक को घटाने के लिए $b$ $a$ से, $b$ का योगात्मक व्युत्क्रम (विपरीत) जोड़ें:$$a - b = a + (-b)$$

उदाहरण: $7 - (-3) = 7 + (+3) = 10$; $(-8) - (-5) = -8 + (+5) = -3$.

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

योगात्मक व्युत्क्रम नियम

a + (-a) = 0

-a, a का योगात्मक व्युत्क्रम है।

पूर्णांक घटाव नियम

$$a - b = a + (-b), \quad a - (-b) = a + b$$

ऋणात्मक घटाने का अर्थ है a जोड़ना सकारात्मक.

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

का मान ज्ञात करें: (-13) + 32 - 8 - 1.

विस्तृत समाधान / उत्तर:

समूह सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएँ:
सकारात्मक: $32$
नकारात्मक: $(-13) + (-8) + (-1) = -(13 + 8 + 1) = -22$
संयोजन: $32 + (-22) = 32 - 22 = \mathbf{10}$.

उदाहरण 2

इससे -4 घटाएँ -10.

विस्तृत समाधान / उत्तर:

$(-10) - (-4) = -10 + 4 = \mathbf{-6}$.

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

यह सोचना कि -10, -2 से बड़ा है।

सही वैज्ञानिक तथ्य

संख्या रेखा पर, -10, -2 से बाईं ओर आगे है, इसलिए $-10 < -2$! ऋण के बारे में सोचें: बकाया $10 is worse than owing $2.

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

The Integer Number Line

Negative Integers <-- 0 --> Positive Integers

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

Value INCREASES going rightwards | Value DECREASES going leftwards

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

पूर्णांक: $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$.

मुख्य बिंदु 2

0 न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक है।

मुख्य बिंदु 3

संख्या रेखा पर दाईं ओर की संख्याएँ बड़ी हैं।

मुख्य बिंदु 4

एक पूर्णांक को घटाना उसके योगात्मक व्युत्क्रम को जोड़ने के बराबर है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

एक पनडुब्बी समुद्र तल से 350 मीटर नीचे थी। यह 120 मीटर ऊपर चढ़ा। इसकी नई गहराई क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: प्रारंभिक गहराई $= -350\text{ m}$। आरोही का अर्थ है $+120\text{ m}$ जोड़ना। नई गहराई $= -350 + 120 = \mathbf{-230\text{ m}}$ (समुद्र तल से 230 मीटर नीचे).
आरोहण सकारात्मक ऊंचाई जोड़ता है।

अध्याय अभ्यास

इस अध्याय के CBT टेस्ट अभी प्रकाशित नहीं हुए हैं। ऊपर दिए प्रश्न हल करें और उत्तर से मिलान करें।

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