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झारखण्ड बोर्ड (JAC) • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 10

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions)

झारखण्ड शैक्षिक परिषद् (JAC) एवं NCERT कक्षा 7 गणित का दशम अध्याय "बीजीय व्यंजक" (Algebraic Expressions) बीजगणित के प्रतीकात्मक ढाँचे और सामान्यीकरण (Generalization) का मूल आधार है। अंकगणित में हम केवल विशिष्ट संख्याओं (जैसे 2, 5, 10) पर कार्य करते हैं, जबकि बीजगणित हमें चरों (Variables) के माध्यम से किसी भी नियम या पैटर्न को एक सार्वभौमिक सूत्र के रूप में लिखना सिखाता है। इस अध्याय में चर, अचर, व्यंजकों का निर्माण, पद (Terms), गुणनखंड (Factors), संख्यात्मक गुणांक (Numerical Coefficients), समान एवं असमान पद (Like & Unlike Terms), एकपदी, द्विपदी, त्रिपदी, बीजीय व्यंजकों का जोड़ व घटाव, चरों के मान प्रतिस्थापन (Substitution) तथा संख्या पैटर्नों के सामान्य सूत्रों का संपूर्ण वैज्ञानिक अध्ययन प्रस्तुत किया गया है।

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🧩 क्या आपने कभी सोचा है?

🪪 जब आप माचिस की तीलियों से अंग्रेजी का अक्षर ‘E’ या वर्ग बनाते हैं, तो 1 वर्ग बनाने में 4 तीलियाँ, 2 वर्ग में 7 तीलियाँ, और 3 वर्ग में 10 तीलियाँ लगती हैं। 100 वर्ग बनाने में कुल कितनी तीलियाँ लगेंगी? क्या आप 100 बार तीलियाँ गिनेंगे या केवल एक सरल सूत्र $3n + 1$ लगाएँगे?

💻 कंप्यूटर प्रोग्रामर जब वीडियो गेम बनाते हैं, तो वे खिलाड़ी के स्कोर और गति को केवल अंकों में नहीं, बल्कि $2x^2 + 5x$ जैसे बीजीय व्यंजकों में क्यों कोड करते हैं?

🍎 यदि आपके पास 5 सेब और 3 संतरे हैं, तो क्या आप उन्हें जोड़कर "8 सेब-संतरे" कह सकते हैं? बीजगणित में $5x + 3y$ को $8xy$ क्यों नहीं लिखा जा सकता?

इन सभी तार्किक नियमों और सामान्यीकरण की शक्ति का स्रोत बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions) है। यह अध्याय गणित को केवल गिनने का साधन नहीं, बल्कि ब्रह्मांड के पैटर्नों को डिकोड करने की जादुई भाषा बना देता है।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

भौतिक विज्ञान के सूत्र (जैसे $s = ut + \frac{1}{2}at^2$), अर्थशास्त्र में लाभ-लागत समीकरण, कंप्यूटर कोडिंग में एल्गोरिद्म और ज्यामिति के सभी परिमाप व क्षेत्रफल सूत्र वस्तुतः बीजीय व्यंजक ही हैं। चरों के उपयोग से हम अज्ञात परिस्थितियों को सूत्रबद्ध कर सकते हैं और केवल मान बदलकर करोड़ों गणनाएँ एक सेकंड में कर सकते हैं।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

पूर्णांकों के जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम।
अज्ञात राशियों (चर $x, y, z$) का प्राथमिक ज्ञान।
घातांक (Exponents) का मूल अर्थ (जैसे $x^2 = x \times x$)।
समान और असमान राशियों की पहचान।

इस अध्याय के लक्ष्य

चर (Variable) और अचर (Constant) के संयोजन से बीजीय व्यंजक का निर्माण कर सकेंगे।
किसी व्यंजक के पद (Terms), गुणनखंड (Factors) और संख्यात्मक गुणांक (Coefficients) को वृक्ष आरेख (Tree Diagram) द्वारा अलग कर सकेंगे।
समान पदों (Like Terms) और असमान पदों (Unlike Terms) की अचूक पहचान कर सकेंगे।
पदों की संख्या के आधार पर एकपदी (Monomial), द्विपदी (Binomial), त्रिपदी (Trinomial) व बहुपद में वर्गीकरण कर सकेंगे।
बीजीय व्यंजकों का जोड़ (Addition) और व्यवकलन (Subtraction) समान पदों को संयोजित करके कर सकेंगे।
दिए गए संख्यात्मक मानों को चरों के स्थान पर रखकर व्यंजक का मान (Value of Expression) ज्ञात कर सकेंगे।
ज्यामितीय आकृतियों के परिमाप और संख्या पैटर्नों (जैसे विषम संख्याएँ $2n-1$) के लिए सामान्य नियम तैयार कर सकेंगे।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. बीजीय व्यंजक: पद, गुणनखंड एवं गु...

2 2. समान एवं असमान पद तथा बहुपदों का...

3 3. बीजीय व्यंजकों का योग एवं व्यवकल...

4 4. व्यंजक का मान ज्ञात करना एवं संख...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. बीजीय व्यंजक: पद, गुणनखंड एवं गुणांक (Terms, Factors & Coefficients)

1. पद (Terms) एवं गुणनखंड (Factors)

बीजीय व्यंजक चर और अचर राशियों को संक्रियाओं द्वारा मिलाने पर बनता है:

पद (Terms): व्यंजक के वे भाग जो पहले अलग-अलग बनकर योग या घटाव ($+$ या $-$) के चिह्नों द्वारा परस्पर जुड़ते हैं। जैसे व्यंजक $4x^2 - 3xy$ में दो पद हैं: $4x^2$ और $-3xy$।
गुणनखंड (Factors): प्रत्येक पद जिन राशियों के परस्पर गुणनफल से बनता है, वे उस पद के गुणनखंड कहलाते हैं। जैसे पद $4x^2$ के गुणनखंड $4, x, x$ हैं, तथा $-3xy$ के गुणनखंड $-3, x, y$ हैं।

2. संख्यात्मक गुणांक (Numerical Coefficient)

किसी पद के संख्यात्मक गुणनखंड को उस पद का संख्यात्मक गुणांक (या केवल गुणांक) कहा जाता है।

उदाहरण: पद $-7x^2y$ में:
- संख्यात्मक गुणांक = $-7$
- बीजीय गुणनखंड = $x^2y$ ($x, x, y$)
- $y$ का गुणांक = $-7x^2$

स्मरण रहे: यदि किसी पद में कोई संख्या नहीं लिखी है, तो उसका गुणांक $1$ माना जाता है (जैसे $x$ का गुणांक $1$ और $-y$ का गुणांक $-1$ है)।

2. समान एवं असमान पद तथा बहुपदों का वर्गीकरण (Like & Unlike Terms, Classification)

1. समान एवं असमान पद (Like & Unlike Terms)

प्रकार	परिभाषा एवं शर्त	उदाहरण
समान पद (Like Terms)	जिन पदों के बीजीय गुणनखंड बिल्कुल समान हों (घात सहित)। केवल संख्यात्मक गुणांक भिन्न हो सकते हैं।	$7x$ और $-5x$; $\quad 4x^2y$ और $-3yx^2$
असमान पद (Unlike Terms)	जिन पदों के बीजीय गुणनखंड भिन्न हों (चर अलग हों या चरों की घातें अलग हों)।	$7x$ और $7y$; $\quad 4x^2y$ और $4xy^2$

2. पदों की संख्या के आधार पर वर्गीकरण

एकपदी (Monomial): केवल एक पद वाला व्यंजक (जैसे $7xy, -5, 3x^2$)।
द्विपदी (Binomial): ठीक दो असमान पदों वाला व्यंजक (जैसे $a + b, 4l - 5m$)।
त्रिपदी (Trinomial): ठीक तीन असमान पदों वाला व्यंजक (जैसे $x + y + 7, a^2 + b^2 - ab$)।
बहुपद (Polynomial): एक या अधिक पदों वाला ऐसा व्यंजक जिसमें चरों के घातांक केवल अऋणात्मक पूर्णांक (Whole Numbers: 0, 1, 2...) हों।

3. बीजीय व्यंजकों का योग एवं व्यवकलन (Addition & Subtraction of Expressions)

जोड़ एवं घटाव का स्वर्णिम नियम

बीजगणित में केवल और केवल समान पदों (Like Terms) को ही आपस में जोड़ा या घटाया जा सकता है। असमान पद ज्यों के त्यों साथ लिखे जाते हैं:

$$7x + 5x = (7 + 5)x = 12x$$ $$7x + 5y = 7x + 5y \quad (\text{असमान पद होने के कारण नहीं जुड़ सकते!})$$

घटाव (Subtraction) में विशेष सावधानी: जब किसी व्यंजक को घटाया जाता है, तो घटाए जाने वाले व्यंजक के प्रत्येक पद का चिह्न बदल जाता है ($+$ का $-$, और $-$ का $+$)।

4. व्यंजक का मान ज्ञात करना एवं संख्या पैटर्न (Value of Expression & Patterns)

1. मान प्रतिस्थापन (Substitution Method)

जब किसी व्यंजक में उपस्थित चरों को किसी विशिष्ट संख्यात्मक मान से बदल दिया जाता है, तो प्राप्त अंकगणितीय परिणाम उस व्यंजक का मान कहलाता है।

यदि $x = 2$ हो, तो $3x^2 - 5x + 4$ का मान:
$$3(2)^2 - 5(2) + 4 = 3(4) - 10 + 4 = 12 - 10 + 4 = 6$$

2. संख्या पैटर्न के सामान्य सूत्र

सम संख्याएँ: $2n$ ($n = 1, 2, 3... \implies 2, 4, 6...$)
विषम संख्याएँ: $2n - 1$ ($n = 1, 2, 3... \implies 1, 3, 5...$)
5 के गुणज: $5n$ ($5, 10, 15, 20...$)

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

समान पदों का संयोजन सूत्र

ax + bx = (a + b)x

केवल संख्यात्मक गुणांक जुड़ते हैं; बीजीय चर अपरिवर्तित रहता है।

समान पदों का व्यवकलन सूत्र

ax - bx = (a - b)x

संख्यात्मक गुणांकों का अंतर लिया जाता है।

व्यंजक का मान प्रतिस्थापन सूत्र

$$f(a) = \left. f(x) \right|_{x = a}$$

चर x के स्थान पर संख्या a रखकर गणितीय संक्रिया की जाती है।

n-वीं विषम संख्या का सूत्र

$$T_n = 2n - 1$$

जहाँ n = 1, 2, 3... प्राकृत संख्याएँ हैं।

n-वीं सम संख्या का सूत्र

$$T_n = 2n$$

प्रत्येक प्राकृत संख्या को 2 से गुणा करने पर सम संख्या प्राप्त होती है।

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

व्यंजक $7x^2y - 5xy + 9$ में पदों की पहचान कीजिए तथा प्रत्येक पद के गुणनखंड और संख्यात्मक गुणांक लिखिए।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

दिए गए व्यंजक में 3 पद हैं:

1. पद $7x^2y$:
- गुणनखंड: $7, x, x, y$
- संख्यात्मक गुणांक: $7$

2. पद $-5xy$:
- गुणनखंड: $-5, x, y$
- संख्यात्मक गुणांक: $-5$

3. पद $9$:
- अचर पद, संख्यात्मक मान: $9$
उत्तर: यह 3 पदों वाला एक त्रिपदी (Trinomial) है।

उदाहरण 2

जोड़िए: $7x^2 - 4x + 5$ और $9x - 10$

विस्तृत समाधान / उत्तर:

दोनों व्यंजकों के समान पदों को एक साथ रखें:

$$(7x^2 - 4x + 5) + (9x - 10)$$

$$= 7x^2 + (-4x + 9x) + (5 - 10)$$

समान पदों के गुणांकों को जोड़ें:
- $x^2$ का पद = $7x^2$
- $x$ के पद = $(-4 + 9)x = 5x$
- अचर पद = $5 - 10 = -5$

$$= 7x^2 + 5x - 5$$

उत्तर: $7x^2 + 5x - 5$

उदाहरण 3

$3xy + 5yz - 7zx$ में से $5xy - 2yz - 2zx + 10$ को घटाइए।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

घटाते समय दूसरे व्यंजक के सभी पदों के चिह्न बदल जाते हैं:
$$(3xy + 5yz - 7zx) - (5xy - 2yz - 2zx + 10)$$
$$= 3xy + 5yz - 7zx - 5xy + 2yz + 2zx - 10$$
समान पदों को एक साथ व्यवस्थित करें:
$$= (3xy - 5xy) + (5yz + 2yz) + (-7zx + 2zx) - 10$$
$$= (3 - 5)xy + (5 + 2)yz + (-7 + 2)zx - 10$$
$$= -2xy + 7yz - 5zx - 10$$
उत्तर: $-2xy + 7yz - 5zx - 10$

उदाहरण 4

यदि $m = 2$ और $n = -1$ हो, तो $2m^2 - 3mn + n^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

दिए गए मानों $m = 2$ और $n = -1$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$$2(2)^2 - 3(2)(-1) + (-1)^2$$
चरण 1: घातों का हल:
$2^2 = 4$ तथा $(-1)^2 = +1$
$$2(4) - 3(2)(-1) + 1$$
चरण 2: गुणन:
$2 \times 4 = 8$
$-3 \times 2 \times (-1) = +6$
चरण 3: योग:
$$8 + 6 + 1 = 15$$
उत्तर: व्यंजक का अभीष्ट मान 15 है।

उदाहरण 5

माचिस की तीलियों से बने किसी पैटर्न में $n$ आकृतियाँ बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या $4n + 1$ द्वारा दी गई है। 25 आकृतियाँ बनाने के लिए कितनी तीलियों की आवश्यकता होगी?

विस्तृत समाधान / उत्तर:

दिया है: तीलियों की संख्या का सूत्र = $4n + 1$
आकृतियों की संख्या ($n$) = 25
$n = 25$ प्रतिस्थापित करने पर:
$$\text{तीलियों की कुल संख्या} = 4(25) + 1 = 100 + 1 = 101$$
उत्तर: 25 आकृतियाँ बनाने के लिए 101 तीलियों की आवश्यकता होगी।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

असमान पदों को आपस में जोड़ देना (जैसे $3x + 2y = 5xy$ लिख देना)!

सही वैज्ञानिक तथ्य

असमान पद कभी नहीं जुड़ते। $3x + 2y$ का सरलतम रूप $3x + 2y$ ही रहेगा, $5xy$ इसका गुणनफल ($3x \times 2y = 6xy$) भी नहीं है!

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

घटाव करते समय कोष्ठक के अंदर के पदों के चिह्न बदलना भूल जाना!

सही वैज्ञानिक तथ्य

जब भी किसी व्यंजक के बाहर ऋण चिह्न ($-$) हो, तो कोष्ठक हटाते समय अंदर का प्रत्येक पद विपरीत चिह्न वाला हो जाता है: $-(2x - 3) = -2x + 3$।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

ऋणात्मक संख्या का वर्ग करते समय ऋणात्मक मान लिख देना (जैसे $(-3)^2 = -9$ लिखना)!

सही वैज्ञानिक तथ्य

किसी भी ऋणात्मक संख्या का वर्ग सदैव धनात्मक होता है: $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9$।

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

बीजीय व्यंजक चर और अचर को +, -, ×, ÷ संक्रियाओं द्वारा मिलाने पर बनते हैं।

मुख्य बिंदु 2

व्यंजक के जो भाग + या - द्वारा अलग होते हैं, वे पद (Terms) कहलाते हैं।

मुख्य बिंदु 3

प्रत्येक पद गुणनखंडों का गुणनफल होता है; संख्यात्मक गुणनखंड को गुणांक (Coefficient) कहते हैं।

मुख्य बिंदु 4

समान पदों (Like Terms) के बीजीय गुणनखंड बिल्कुल एक जैसे होते हैं।

मुख्य बिंदु 5

असमान पदों के बीजीय गुणनखंड भिन्न होते हैं (चर भिन्न हों या उनकी घातें)।

मुख्य बिंदु 6

एक पद वाला व्यंजक एकपदी, दो पदों वाला द्विपदी तथा तीन पदों वाला त्रिपदी कहलाता है।

मुख्य बिंदु 7

जोड़ और घटाव केवल समान पदों के बीच ही संभव है; असमान पद नहीं जुड़ सकते।

मुख्य बिंदु 8

घटाव में घटाए जाने वाले व्यंजक के प्रत्येक पद का चिह्न बदल जाता है।

मुख्य बिंदु 9

चरों के स्थान पर दी गई संख्याएँ रखकर व्यंजक का विशिष्ट मान प्राप्त किया जाता है।

मुख्य बिंदु 10

बीजगणित संख्या पैटर्नों और ज्यामितीय नियमों को सामान्य सूत्रों में लिखने की शक्तिशाली भाषा है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

व्यंजक $7xy - 5x + 3$ में $xy$ का संख्यात्मक गुणांक क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: 7
$7xy$ में संख्यात्मक गुणनखंड 7 है, अतः इसका गुणांक 7 है।

क्या $4x^2y$ और $-3xy^2$ समान पद हैं?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: नहीं (असमान पद)
पहले पद में $x$ की घात 2 है जबकि दूसरे पद में $x$ की घात 1 है। घातें असमान होने से पद असमान हैं।

हल कीजिए: $5a + 3b - 2a + 4b$

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $3a + 7b$
समान पदों को संयोजित करने पर: $(5a - 2a) + (3b + 4b) = 3a + 7b$।

यदि $x = 3$ है, तो $2x^2 - 1$ का मान क्या होगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: 17
$2(3)^2 - 1 = 2(9) - 1 = 18 - 1 = 17$।

$3x^2 + 5$ पदों की संख्या के आधार पर किस प्रकार का व्यंजक है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: द्विपदी (Binomial)
इसमें दो असमान पद ($3x^2$ और $5$) हैं, अतः यह द्विपदी है।

अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?

अभ्यास के लिए तैयार?

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एडवांस्ड टेस्ट

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